1. Aufgabe: (ca. 11 % der Gesamtpunkte)

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1 Institut für Mechnik Prof. Dr.-Ing. hbil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. hbil. Th. Seelig Prüfung in estigkeitslehre 6. März 08. Aufgbe: (c. % der Gesmtpunkte) ) P C P B.5L P A L.5L EI L EI EI A B C Gegeben sind die oben bgebildeten Stützensysteme A, B und C us einzelnen Euler-Stäben mit jeweils identischer Biegesteifigkeit EI. Ordnen Sie die zugehörige Knicklsten P A, P B, P C der Größe nch und begründen Sie Ihre Antwort. b) h/ h/ h h/ h/ h h h/ h/ h h/ h/ A B C D Ordnen Sie die gegebenen dünnwndigen Querschnitte A, B, C, D(konstnte Wndstärke t h) bezüglich des lächenträgheitsmoments um die skizzierte horizontle Achse und begründen Sie Ihre Antwort.

2 . Aufgbe Lösungsvorschlg: ) P = π EI l A : l = L B : l = L C : l =,5L P A = 0,5 π EI L P B = 0,5 π EI L P C = 0,44 π EI L P A = P B < P C b) I A hor th3 + ht3 +ht ( ) h 7 th3 Ihor B th3 + ht3 th3 Ihor C th3 h + t3 + h ( ) h t 4 th3 Ihor D = I C > Ihor; C Ihv C 0 Ivert C ht3 + (h )3 t + h ( ) h t 4 th3 Invrinz: I C hor +IC vert = IC +IC Ihorz D = I = Ihor C +Ivert C I C 4 th3 + th3 I C < 5 }{{} th3 >0 I C hor < I D hor < 5 th3 I A > I D > I C > I B

3 Institut für Mechnik Prof. Dr.-Ing. hbil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. hbil. Th. Seelig Prüfung in estigkeitslehre 6. März 08. Aufgbe: (c. 8 % der Gesmtpunkte) p 0 E, ν y z x Ein homogener liner-elstischer Quder (E, ν) wird einem Druck p 0 in z-richtung usgesetzt. Aufgrund der geringen Höhe des Quders knn dvon usgegngen werden, dss ein homogener (ortsunbhängiger) Spnnungs- bzw. Verzerrungszustnd herrscht. Wie groß sind die Dehnungen und die Spnnungen, wenn ) die Verformungen in x- und y-richtung behindert sind? b) nur die Verformung in y-richtung behindert ist? c) die Verformungen in x- und y-richtung nicht behindert sind? Gegeben: p 0, E, ν

4 . Aufgbe Lösungsvorschlg: σ z = p 0 E ε x = σ x ν σ y ν σ z = σ x +ν (p 0 σ y ) () E ε y = σ y ν σ x ν σ z = σ y +ν (p 0 σ x ) () E ε z = σ z ν σ x ν σ y = p 0 ν (σ x +σ y ) (3) ) ε x = ε y! = 0 : () σ x = ν (σ y p 0 ) (4) σ y = ν (σ x p 0 ) (4) = ν σ y ν p 0 ν p 0 (3) (6) ε z = p 0 E + ν E b) ε y! = 0; σ x! = 0 : c) σ x = σ y! = 0 : σ y = ν +ν ν p 0 = ν (+ν) ( ν)(+ν) p 0 = ν ν p 0 (5) (4) (5) σ x = ν ν p 0 ν ( ν) ν ( ) ν ν p 0 = ( ν)+ν ν p 0 = ν ν p 0 (= σ y ) (6) p 0 E = ν ν ν () σ y = ν p 0 (7) () ε x = ν E (p 0 σ y ) (7) = ν (+ν) p 0 E (3) ε z = p 0 E ν E σ () y = ( ν ) p 0 E () ε x = ν p 0 E () ε y = ν p 0 E (= ε x) (3) ε z = p 0 E p 0 E

5 Institut für Mechnik Prof. Dr.-Ing. hbil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. hbil. Th. Seelig Prüfung in estigkeitslehre 6. März Aufgbe: (c. 5 % der Gesmtpunkte) System Querschnitt bei A q/ y A t B z y x L q x 3 L z C Der drgestellte Krgrm ist in A eingespnnt und wird durch eine Streckenlst q und eine Einzellst 3 in negtiver y-richtung sowie eine Einzellst in negtiver x-richtung belstet. ) Bestimmen Sie die Schnittgrößen n der Einspnnstelle A. b) Bestimmen Sie die Schubspnnungen n der Einspnnstelle in den Punkten B und C. Hinweis: Der Querschnitt drf ls dünnwndig betrchtet werden (t ). Gegeben: L =.7m, = 00mm, t = 5mm, q = 00 N m, = 400N.

6 3. Aufgbe Lösungsvorschlg: ) Schnittgrößen n der Einspnnstelle A: R = 3 4 ql = ,7 N m m = 0,5 N R = L L 3 = L = 4 9 L =, m Q z N R Q y x = 0 : N = = 400 N y = 0 : Q y = R 3 = 40, N z = 0 : Q z = 0 M z R L M t M y R L M A x = 0 : M t = R R = 43 Nm M A y = 0 : M y = L = 080 Nm M A z = 0 : M z = (R+3) L = 7573,5 Nm

7 b) Schubspnnung infolge Querkrft: / t y z τ Q = Q y S z I z b(y) = 40, Nmm 3 mm 5,66 N mm S z = A ußen y u S Ainnen y in S = = 8 ( )mm 3 = mm 3 t ( t) t I y = ( 3 ( t)( t) 3 ) = ( )mm 4 = ( )mm mm 4 b(y) = t = 0 mm Schubspnnung infolge Torsion: dünnwndig. Bredt sche ormel τ T = M T = Nmm A m t min mm,69 N 3 mm A m = t min = 5 mm ( t ) = 95 mm = 905 mm Superpostition: B B τ Q τ T C C τ B = τ Q +τ T = (,66,69) τ C = τ Q τ T = (,66+,69) N mm = 4,35 N mm N mm =,03 N mm

8 Institut für Mechnik Prof. Dr.-Ing. hbil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. hbil. Th. Seelig Prüfung in estigkeitslehre 6. März Aufgbe: (c. 5 % der Gesmtpunkte) y x z EI EI A B C q 0 Der oben drgestellte Zweifeldträger mit Gelenk ist einseitig durch eine linere Streckenlst q(x) belstet. ) Geben Sie sämtliche Rnd- und Übergngsbedingungen in den Punkten A, B und C n. b) Ermittelns Sie die Biegelinie w(x) für den gesmten Träger. c) Skizzieren Sie qulittiv die Biegelinie. d) ür welche Biegesteifigkeit EI stellt sich eine Absenkung w c = w(x=3) = 5 m Punkt C ein? e) Wie ändert sich die Durchbiegung w b = w(x=) m Punkt B bei Verdoppelung der Biegesteifigkeit EI? (bitte nchfolgend nkreuzen!) wird kleiner bleibt gleich wird größer Gegeben: q 0,, EI, EI

9 4. Aufgbe Lösungsvorschlg: ) b) w(x) = { w (x) für 0 x I w (x) für x 3 II w (x = 0) = 0 () w I (x = 0) = 0 () w (x = ) = w (x = ) (3) EI w II (x = ) = 0 (4) 8 Bed. für 8 Integrtionskonstnten EI w II (x = ) = 0 (5) EI w III (x = ) = EI w III (x = ) (6) (x = 3) = 0 (7) w I EI w III (x = 3) = 0 (8) Bereich I Bereich II q(x) = q 0 x q(x) = 0 EI w IV (x) = q 0 x EI w III (x) = q 0 4 x +C EI w II (x) = q 0 x3 +C x+c EI w IV (x) = 0 EI w III (x) = C 5 EI w II (x) = C 5 x+c 6 EI w I (x) = q 0 48 x4 + C x +C x+c 3 EI w I (x) = C 5 x +C 6 x+c 7 EI w (x) = q 0 40 x5 + C 6 x3 + C x +C 3 x+c 4 EI w (x) = C 5 6 x3 + C 6 x +C 7 x+c 8 () w (0) = 0 C 4 = 0 () w I (0) = 0 C 3 = 0 (8) EI w III (3) = 0 C 5 = 0 q 0 4 () +C = 0 (6) EI w III () = EI w III () C = q 0 (4) EI w II () = 0 q 0 ()3 q 0 +C = 0 C = 3 q 0 +q 0 = 4 3 q 0 (5) EI w II () = 0 C 6 = 0 (7) w I (3) = 0 C 7 = 0 (3) w () = w ()

10 ( EI C 8 = q 0 EI 40 ()5 6 ()3 + ) 3 () = 5 w(x) = ( { q0 EI c) Verluf der Biegelinie 40 x5 q 0 6 x3 + q 0 3 x ) für EI EI q x EI 5 q 0 4 für x 3 x w(0) = w (0) = 0 w l () = w r () w = konst. w l () 0 w r() = 0 w (3) = 0 d) w(3) = EI 5 q 0 4! = 5 EI = 5 5 q 0 3 = q 0 3 e) Durchbiegung bleibt gleich, d w(x) unbhängig von EI ist.

11 Institut für Mechnik Prof. Dr.-Ing. hbil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. hbil. Th. Seelig Prüfung in estigkeitslehre 6. März Aufgbe: (c. % der Gesmtpunkte) EI EI v ) Bestimmen Sie zum drgestellten Trgwerk mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die vertikle Verschiebung v. b) Zur Verminderung der Verschiebung v soll ein zusätzlicher (gestrichelt drgestellter) gerder Stb eingebut werden. Bestimmen Sie die Stbkrft in diesem zusätzlichen Stb. Hinweise: Alle Trgwerksteile besitzen die Dehnsteifigkeit EA. Die Aufgbe ist mit dem Prinzip der virtuellen Kräfte zu lösen. Andere Lösungswege werden nicht bewertet. Gegeben:,, EA, EI = 3 EA

12 5. Aufgbe Lösungsvorschlg: ) 0-Lstfll: N M -Lstfll: N M 3 v = EA ( )( 3)+ EI 6 ( )( ) = 3 EA + 43 = 0 EA EA b) 0-Lstfll us ) -Lstfll: N M / / α 0 = EA ( )( )+ EI 3 ( )( ) = EA + ( α = ) +( ( ) + + EA EI 3 = EA (++ )+ 3 EA = (4+ ) EA S = α 0 = 3 α 4+ 3 = 3 EA EA )