v, a Aufgabe D1 H11 Geg.: a = c w v 2, c w = const, c w > 0, v 0, τ Ges.:

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1 Aufgbe D1 H11 Nchdem seine Mschinen gestoppt werden, verringert ein Continerschiff seine nfängliche eschwindigkeit v 0 lleine durch Reibung im Wsser. Für die Beschleunigung soll ngenommen werden, dss diese im Zeitintervll 0 t 2τ dem Qudrt der eschwindigkeit v des Frchters proportionl ist. eg.: = c w v 2, c w = const, c w > 0, v 0, τ es.: Bestimmen ie die Konstnte c w, wenn sich die eschwindigkeit des Frchters nch der Zeit τ vom Anfngswert v 0 uf dessen Hälfte verringert ht! Bestimmen ie für den Zeitpunkt t = 2τ b ds eschwindigkeitsverhältnis v 2τ /v 0, c den Weg s 2τ, den der Frchter nch der Zeit 2τ zurückgelegt ht! Hinweis: 1 d = ln + const v,

2 Aufgbe D2 H11 Ein tb bewegt sich us der senkrechten Ruhelge bei φ = 0 unter dem Einfluss seines ewichtes in die horizontle Position. Der Vorgng zerfällt in zwei Abschnitte. Phse I bis zum Erreichen der Ecke E wird der tb von der Wnd A und der Unterlge B geführt, dnch in der Phse II wird er nur von der Unterlge geführt. Bei Erreichen der horizontlen Lge stößt der tb ohne Rückfedern gegen die Unterlge Phse III und rutscht dnch prllel zur Unterlge in eine Endposition Phse IV. Annhmen: In den Phsen I und II soll Reibung mit den Wänden bei A und B vernchlässigt werden. In der Phse IV soll zwischen tb und Unterlge Reibung mit leitreibungskoeffizient µ uftreten. Der tb besitze eine homogene Mssenverteilung und seine Dicke sei gegenüber seiner Länge 2h vernchlässigbr. eg.: m, J, h, µ, g A g E 2 h h m, J B es.: Bestimmen ie die Winkelgeschwindigkeit ls Funktion des Winkels φ in der Phse I: 0 φ φ E, b die Winkelgeschwindigkeit ls Funktion des Winkels φ in der Phse II: φ E φ π/2, c die Auflgerrektionen bei A und B ls Funktion des Winkels φ für Phse I und II Angbe des leichungssstems reicht!, d den Verlust mechnischer Energie beim toß, Phse III, e die trecke R, die der tb in Phse IV zurücklegt, bis er wieder zur Ruhe kommt, f den Verlust mechnischer Energie in Phse IV und den Verlust n mechnischer Energie insgesmt!

3 Aufgbe D3 H11 Ein Quder mit Msse m und Trägheitsmoment J soll uf einem Fließbnd bewegt werden. Nch Betriebsstörungen tillstnd des Bndes soll ds Fließbnd wieder möglichst schnell uf Arbeitsgeschwindigkeit beschleunigen. Annhmen: Der Quder ht eine homogene Mssenverteilung. eg.: m, J, d, α, g g α m, J 2d es.: Für den Fll konstnter Beschleunigung des Fließbndes und dss der Quder nicht rutscht, die renzbeschleunigung = g des Fleißbndes, so dss der Quder gerde nicht in Rottion gerät, b den bei der renzbeschleunigung = g notwendigen Hftreibungskoeffizienten zwischen Quder und Fließbnd, Für den Fll konstnter Beschleunigung > g des Fließbndes und dss der Quder nicht rutscht, c die Winkelbeschleunigung φ des Quders ls Funktion des Winkels 0 < φ < π/2 α, d die Winkelgeschwindigkeit φ des Quders ls Funktion des Winkels 0 < φ < π/2 α!

4 Musterlösung Mechnik II 11 Aufgbe D1 H11 Definition: = dv dt = c w v 2 Trennung der Vriblen: dv v 2 = c w dt Integrtion: 1 v = c w t + C 1 Integrtionskonstnte us Anfngsbedingungen : t = 0 : v = v 0 C 1 = 1 v 0 Lösung llgemein: t = 1 v 0 v 0 c w v 1 Zeit t = τ für v = 1/2 v 0: τ = 1 c w v 0 b eschwindigkeit bei t = 2τ: Nch Einsetzen in Lösung us folgt: c Aus Definition: = dv dt = v dv ds = c w v 2 Trennung der Vriblen: ds = 1 dv c w v Integrtion: s = 1 c w ln v C 2 v v 0 = 1 3 Integrtionskonstnte us Anfngsbedingungen : s = 0 : v = v 0 C 2 = v 0 Lösung llgemein: s = 1 c w ln v v 0 Ort s für v = v 0 /3: s = ln 3 c w Aufgbe D2 H11 Energieerhltung Phse I mgh = mgh cos φ I +1/2 m v 2 +1/2 J φ 2 I mit v 2 = v 2 +v 2 Euler: v = 0 v A + h φ I cos φ I = +h φ I cos φ I v = 0 v B h φ I sin φ I = h φ I sin φ I φ I = } v 2 = h 2 φ 2 I 2mgh 1 cos φ I J + mh 2, 0 φ I φ E = rccos 1/2 b Energieerhltung Phse II v A v v,a v v,b v B mgh = mgh cos φ II + 1/2 m v 2 + v2 + 1/2 J φ 2 II v = const = h φ E cos φ E = h 1 2 mgh/j + mh 2, v = h φ II sin φ II 2mgh 1 cos φii m h φ II = 2 φ 2 E cos2 φ E J + mh 2 sin φ 2, φ E = rccos 1/2 φ II π/2 II

5 c leichungssstem Phse I: 1 J φ I = N A cos φ I + N B sin φ I h N A 2 m = N A 3 m = N B mg 4 =,A = h + φ I cos φ I φ 2 I sin φ I 5 =,B = h φ I sin φ I φ 2 I cos φ I A,,An,Bt Phse I,At,Bn Unbeknnte: φ I, N A, N B,, B leichungssstem Phse II: N B 1 J φ II = h N B sin φ II, m = N A = 0 2 m = N B mg 3 = h φ II sin φ II φ 2 II cos φ II,An,Bt,At = 0!,Bn Phse II Unbeknnte: φ II, N B, B d Energieverlust Phse III: E VIII = mgh 1/2 m vφ 2 E e leichmäßig beschleunigte Bewegung: N R N B m = R B = µ mg R = v 2 φ E /2 µ g f Energieverlust Phse IV und esmtenergieverlust: E VIV = 1/2 m v 2 φ E, E V = mgh

6 Aufgbe D3 H11 Flls keine Rottion in ng kommt, gilt: φ = 0, = 0 = b/2 chwerpunktstz in -Richtung: m = R, = R = m chwerpunktstz in -Richtung: h/2 R α m = 0 = N N = N e Drllstz um chwerpunkt: J s φ = 0 = N e+r h 2 N e = m h 2 = e m h/2 = g 2 e h Mimlwert der Beschleunigung flls e = e m = b/2: m = g = g b h = g cot α b Hftreibung: R µ H N µ H R N = g g = cot α c Flls > g : Drllstz um chwerpunkt:,b t,b n J s φ = R sinφ + α N cosφ + α chwerpunktstz in und -Richtung: m = R R B N α m = N Euler: = B,Bt sinφ + α,bn cosφ + α = 0 B +,Bt cosφ + α,bn sinφ + α } mit,bt = d φ,,bn = d φ 2 Einsetzen in Drllstz: J φ = m d sinφ + α d φ sinφ + α d φ 2 cosφ + α + m d cosφ + α g + d φ cosφ + α d φ 2 sinφ + α = m d sinφ + α g cosφ + α m d 2 φ J + md 2 φ = md sinφ + α g cosφ + α

7 oder φ = m d J + m d 2 g sinφ + α Die Winkelbeschleunigung wächst mit wchsendem α. Dher beim Einkufen lsflschen besser ufs Trnsportbnd der Ksse legen sttt stellen. d Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit knn die vorstehenden leichung mit φ erweitert werden. Dies liefert φ φ = 1 d m d 2 dt φ2 = J + m d 2 g sinφ + α φ = m d J + m d 2 g d cosφ + α. dt Die unbestimmte zeitliche Integrtion ergibt dnn 1 2 φ2 = m d J + m d 2 g cosφ + α + C 0. Die Konstnte wird us den Anfngsbedingung bestimmt: φφ = 0 = 0 : C 0 = m d J + m d 2 g cos α φ = 2 m d J + m d 2 g cos α cosφ + α > 0 für lle 0 < φ < π 2 α olnge ds Fließbnd beschleunigt wächst die eschwindigkeit mit wchsendem Winkel φ.

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