Optimale Lagerung von Balken

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1 P. Will Optimle Lgerung von Blken In der Präzisionsmessung ht die optimle Lgerung von lngen elstischen Montgelinelen oder Messblken einen entscheidenden Einfluss uf die Genuigkeit des Messresultts. Finden Sie die Lgerpositionen bzw. (L-) für eine optimierte, symmetrische Lgerung des skizzierten Biegeträgers. Der Träger ist mit einer konstnten Linienlst belstet. Optimle Lgerung soll dnn vorliegen, wenn die mittlere Durchbiegung über die gesmte Länge L der Konstruktion ein Minimum nnimmt. Die Auflgerpositionen eines gleichmäßig belsteten Blkens, bei denen die mittlere Biegung des Blkens (genuer der neutrlen Achse) miniml ist, ergeben sich us folgenden Überlegungen. Lgerkräfte (symmetrische Lgerung) F = L Momentenbilnzen Lokle Biegemomente in den Bereichen x < x (x x*)* + M yi (x) = M yi (x) = x

2 x < L x (x x*)* F(x ) + M yii (x) = M yii (x) = ( x L(x )) L x L x (x x*)* F(x ) F(x L + ) + M yiii (x) = M yiii (x) = (x L) Differentilgleichung der Biegelinie d u z = M y (x) EI -fche Integrtion Teillösungen der Biegelinie in den Bereichen x < u zi (x) = 4EI ( x 4 + C 1 x + C ) x < L u zii (x) = 4EI ( x 4 L x + 6Lx + C x + C 4) L x L u ziii (x) = 4EI ( x 4 4L x + 6L x + C 5 x + C 6)

3 Die Integrtionskonstnten C 1...C 6 folgen us den Lgerbedingungen u zi (x = ) = u zii (x = ) = u zii (x = L ) = u ziii (x = L ) = C 1 + C = 4 C + C 4 = ( + 4L) C (L ) + C 4 = (L ) [ + 6L L ] C 5 (L ) + C 6 = (L ) [ + L + L ] und Anschlüssen zwischen den loklen Teillösungen n den Bereichsgrenzen du zi x= = du zii x= du zii x=l = du ziii x=l C 1 C = 6L C C 5 = 6L(L ) C 1 = L(L 6L + 6 ) C = ( + 6L 6L + L ) C = L (L 6) C 4 = ( + 4L 6L + L ) C 5 = L(6 6L + 5L ) C 6 = (L )( + 7L 5L + L )

4 Optimle Lgerung liegt priori dnn vor, wenn die Mittelung der Durchbiegungen über die gesmte Blkenlänge L ein Minimum in Abhängigkeit von der Lgerposition ergibt. 1 L u zi (x) + L u zii (x) + L u ziii (x) L = 4EIL L ( 4 5 L4 (L ) 4 4 ) + C 1 ( + C ) + C (L ) ( L + C 4) + C 5 ( (L ) + C 6) = L4 1 4EI [ 5 ( L ) + 6 ( L ) 4 ( L ) ( L ) 4 ] = min Ds folgende Digrmm vereinigt die mittlere Durchbiegung in Abhängigkeit von der normierten Lgerposition /L sowie die zugehörige Ableitung dieser Kurve Die Bedingung für einen Extremwert entspricht der Gleichung

5 [ 1 6 ( L ) + 6 ( L ) + 4 ( L ) ] = Ds Minimum liegt bei /L= Die Biegelinie bei optimler Lgerung zeigt die folgende Abbildung Die mittlere Durchbiegung ist in diesem Fll um den Fktor 65. ml kleiner ls der entsprechende Wert bei Lgerung n den Enden des Biegeträgers. Bechten Sie Die horizontle, grue Linie kennzeichnet den unverformten Biegeträger, die senkrechten, gepunkteten Linien mrkieren die Positionen der Lger. Die verschieden frbigen Teillösungen (Splines) sind nur innerhlb ihrer Bereiche (rot I, ornge II, rotbrun III) gültig; n deren Rändern (Lger) sind sie stetig differenzierbr zusmmengefügt. Zur Verdeutlichung der Unterschiede zwischen den Splines sind die Kurven teilweise in die Nchbrbereiche extrpoliert.

6 Hinweis Die historische Bezeichnung der im vorliegenden Abschnitt berechneten, optimlen Lgerpositionen nch Friedrich Wilhelm Bessel lässt sich durch den Autor dieses Beitrgs nicht belegen. In Normen der Längenmesstechnik werden die Bessel-Punkte ls Auflgepunkte definiert, die zum geringsten Wert des mximlen Biegepfeils m Blken führen. Die entsprechende Lösung unterscheidet sich vom ktuellen Resultt einer minimlen, mittleren Durchbiegung. Der vorliegende Artikel ist ein Auszug (p 1-16) us dem ibook P. Will, Technische Mechnik, Hochschulverlg Mittweid, korrigierte und erweiterte Version 9 zum 15. Jubiläum der Hochschule Mittweid, 17