Technische Mechanik II

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1 Repetitorium Technische Mechnik II Version 3., Dr.-Ing. L. Pnning Institut für Dynmik und Schwingungen Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Dieses Repetitorium soll helfen, klssische Aufgbentypen us der Technischen Mechnik zu beherrschen, häufig uftretende ehler zu vermeiden und nhnd durchgerechneter Beispiele verschiedene Lösungswege beurteilen zu können. Dieses Repetitorium soll nicht ls Probeklusur interpretiert werden, den Anspruch uf eine vollständige Abdeckung des Lehrstoffes erheben und ls Hinweis uf den Klusurinhlt verstnden werden! Ziel ist es, eine Smmlung chrkteristischer rgestellungen mit entsprechenden Lösungswegen bereitzustellen. Einige usgewählte Aufgben werden dnn beispielhft während des Repetitoriums durchgerechnet und diskutiert. Dnk n die wissenschftlichen MitrbeiterInnen des IKM und IDS für die ttkräftige Unterstützung! Bei Anregungen oder Korrekturen bitte kurze E-Mil n lehre@ids.uni-hnnover.de. Dr.-Ing. Lrs Pnning

2 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite /8 Aufgbe Ein homogener Stb (Länge l, Querschnittsfläche A, Gewicht G, Elstizitätsmodul E, Wärmeusdehnungskoeffizient α) ist bei = 0 ufgehängt und berührt gerde den Boden ohne Druck. G ) Bestimmen Sie die Spnnungsverteilung σ() im Stb nch einer gleichmäßigen Erwärmung um ϑ! b) ür welche Temperturdifferenz ϑ herrscht im gesmten Stb Druck? E, A, g Gegeben: l, A, G, E, α, ϑ, g. Lösung ) Dehnung ε() = du d = σ() E + α ϑ() Spnnung σ() = N() A() Normlkrft durch Eigengewicht N G () = G Rndbedingungen u( = 0) = 0, u( = l) = 0 zusätzliche Stbverlängerung durch Erwärmung: =l l = u(l) u(0) = ε ϑ () d =! 0 =l N ϑ =0 [ ] =l Nϑ EA + α ϑ =0 0 = + α ϑ d = EA =0 [ ] Nϑ l 0 = EA + α ϑl N ϑ = EAα ϑ gesmte Normlkrft N() = N G () + N ϑ () = G gesmte Spnnung σ() = σ G () + σ ϑ () = G ( } A {{ l } Zug ( ) (linerer Verluf der Streckenlst q ()) l ( ) EAα ϑ l ) Eα ϑ }{{} Druck rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

3 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite /8 b) Die größte Zugkrft herrscht bei = 0 N( = 0)! < 0 G A Eα ϑ < 0 ϑ > G EAα Tipps und Tricks Der Normlkrftverluf ufgrund Eigengewicht muss bei einem homogenen Stb einem lineren Verluf folgen! Die größte Normlkrft ufgrund Eigengewicht muss hier in der Einspnnung vorliegen und m Stbende null sein! Die Spnnungen ufgrund Normlkrft und ufgrund der Wärmedehnung können ufgrund der Linerität des Systems getrennt voneinnder betrchtet und überlgert werden! Dimensionskontrolle: Einheit der Spnnung [σ] = N m ( ) N m [ ] [ ] = N m rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

4 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 3/8 Aufgbe Ein zweiseitig spiel- und zunächst spnnungsfrei fest eingespnnter Stb (konstnte Querschnittsfläche A) ist us zwei verschiedenen Mterilien (Sthl, Aluminium) gefertigt, die im Querschnitt C neinnderstoßen. In C wirkt wie skizziert die äußere Krft. ) Wie groß sind die Normlkräfte in der rechten und linken Einspnnung? b) Bestimmen Sie die Normlkräfte, wenn ds System zusätzlich um die Temperturdifferenz ϑ erwärmt wird! Gegeben: l,, A,, ϑ, E St, E St /E Al = 3, α St, α St /α Al = /. Sthl C Aluminium Lösung Ds Gesmtsystem ist sttisch überbestimmt, d nur eine Kräftesumme horizontl für zwei Unbeknnte zur Verfügung steht. ) Kräftegleichgewicht N + N = 0 N = + N () Verlängerung der Stäbe: l = N l E A = N E St A l = N l = N (l ) E A E Al A Rndbedingung: l ges = l + l! = 0 (4) Vier Gleichungen für vier Unbeknnte (N, N, l, l ). Einsetzen von () bis (3) in (4) liefert: N E St A + ( + N ( )(l ) = 0 N E Al A E St A + l ) = l E Al A E Al A N l = E Al E St + (l ) N = 3l 3 3l (Druckkrft) N = + N N = 3l (Zugkrft) () (3) rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

5 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 4/8 Alterntive: Überlgerung zweier sttisch bestimmter Systeme und Bechtung der Rndbedingung (Krft N ersetzt die noch unbeknnte Krft im rechten estlger) N = + N u ( = l) = u ( = ) = E A u ( = l) = N E A + N (l ) E A Superposition: u( = l) = u ( = l) + u ( = l) =! 0 E A + N E A + N (l ) = 0 ( E A N E St A + l ) = E Al A E St A N = 3l N 3l 3 = 3l b) Verlängerung der Stäbe jetzt: l = N l E A + α ϑ = N E St A + α St ϑ l = N l E A + α ϑ(l ) = N (l ) E Al A + α Al ϑ(l ) N E St A + α St ϑ + ( + N )(l ) + α Al ϑ(l ) = 0 E Al A ( N E St A + l ) = l E Al A E Al A (α St + α Al (l )) ϑ 3l 3 N = 3l l 3l E StAα St ϑ N = Tipps und Tricks 3l l 3l E StAα St ϑ Ds System ist sttisch überbestimmt - dher müssen die Gleichungen zur Verformung herngezogen werden! Rndbedingungen bechten: Die Verformungen bei = 0 und = l müssen null sein! rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

6 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 5/8 Aufgbe 3 Ein gewichtsloser, strrer Stuhl wird durch drei elstische Stäbe (jeweils Dehnsteifigkeit EA) gehlten und durch die Krft belstet. ) Bestimmen Sie die Stbkräfte und die Verlängerung ller Stäbe! A y b) Wie groß ist die horizontle und vertikle Verschiebung des Punktes C? Gegeben:, EA,. B C 3 Lösung ) E A S B C S S 3 Stbkräfte: M (C) = 0 = S S = M (E) = 0 = S S = 0 V = 0 = S 3 sin 45 + S 3 = Stbverlängerungen: l = S l EA = EA (Verlängerung), l = S l EA = 0, l 3 = S 3l 3 EA = EA (Verkürzung) rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

7 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 6/8 b) Kleine Verformungen Richtungen der Stäbe bleiben erhlten. Stbkrft S = 0 Punkt C erfährt rein vertikle Verschiebung (klein!) u = 0 Verschiebungspln: y C 3 vertikle Verschiebung (C C ): C' u y = l 3 = EA (nch unten) rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

8 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 7/8 Alterntive: ormänderungsenergien Virtuelles System ) A b) A y y B C B C 3 3 reell virtuell ll ) virtuell ll b) i l i S i Si S i Si l i Si S i Si l i vertikle Verschiebung (ll ): 3 S i Si u y = EA l i = EA u y = (nch unten) EA i= horizontle Verschiebung (ll b): 3 S i Si u = EA l i = 0 u = 0 i= Tipps und Tricks Bei Anwendung der virtuellen Kräfte müssen sich diese m Ende wieder heruskürzen lssen! rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

9 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 8/8 Aufgbe 4 Der Krgblken mit dem skizzierten Querschnitt konstnter Wndstärke t wird m Ende mit der Krft belstet. Wie groß ist die mimle Biegespnnung in dem Träger? Gegeben:, l = 40, t, t,. t Lösung Schwerpunktberechnung: i A i z i A i z i t 0 0 t t 3 t t 4 t t 5 t t 8t 8 t z S = 8 t 8t = rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

10 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 9/8 z y S t 3 z 4 5 lächenträgheitsmoment: I yy = ( ) ( ) t3 + 3 t + 83 t + t3 + 3 t t (d t ) Widerstndsmoment: W = I yy z m = 63 t 3 = 6 3 t Mimles Biegemoment im Einspnnquerschnitt: M b,m = 40 Mimle Biegespnnung: σ b,m = M b,m W Tipps und Tricks = t = 5 t Neutrle ser geht bei gerder Biegung ohne zusätzliche Normlbelstung durch den Schwerpunkt des Profils! Schwerpunkt und entsprechendes lächenträgheitsmoment muss zunächst berechnet werden! Vorsicht bei schiefer Biegung (unsymmetrisches Profil und/oder Belstung)! Die Anteile der lächen, 4 und 5 m lächenträgheitsmoment I yy resultieren usschließlich us den Steiner-Anteilen, d t! rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

11 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 0/8 Aufgbe 5 Der einseitig eingespnnte Blken (Länge l, Biegesteifigkeit ) wird durch eine prbelförmige Streckenlst (Mimum q 0 bei = l/) beufschlgt. Er wird n seinem freien Ende durch eine eder (edersteifigkeit c) gestützt. q 0 Ermitteln Sie die Biegelinie w()! Gegeben: l, q 0,, κ, c = κ l 3. w () c Lösung ) Ermittlung der Biegelinie us M b () = w () (kleine Verformungen, Querkräfte vernchlässigt, = const.) Zusmmenhänge der Schnittgrößen: Q() = dm b() d = M b(), q() = dq() d = Q () = M b () q() = w () (Dgl. 4. Ordnung) 4 Rndbedingungen: geometrische Rndbedingungen: w( = 0) = 0 (keine Durchsenkung bei = 0 (Einspnnung!)) w ( = 0) = 0 (keine Neigung bei = 0 (Einspnnung!)) dynmische Rndbedingungen: M b ( = l) = w ( = l) = 0 w ( = l) = 0 (kein Biegemoment bei = l!) Q( = l) = w ( = l) = cw( = l) w ( = l) = c w( = l) (Querkrft muss m Ende des Blkens der ederkrft entsprechen, VZ. bechten!) rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

12 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite /8 Prbelförmige Streckenlst q() = + b + c mit q( = 0) = q( = l) = 0 und q( = l/) = q 0. q( = 0) = 0 = c c = 0 q( = l) = 0 = l + bl b = l q( = l/) = q 0 = 4 l + bl = 4 l = 4 q 0 l b = 4q 0 l q() = 4 q 0 l + 4 q [ ( 0 ) ( ) ] l = q l l Viermlige Integrtion der Streckenlst ergibt w () = q [ ( 0 ) ( ) ] l l w () = q [ 0l 4 ( ) 3 ( ) ] + + C 3 l l w () = q [ 0l ( ) 4 ( ) 3 ( ) ] + + C + C 3 l 3 l l w () = q [ 0l 3 ( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) ] l 6 l C + C + C 3 l l w() = q [ 0l 4 ( ) 6 ( ) 5 ( ) l 30 l 6 C ( ) ( ) ] + l C + C3 + C 4 l l Bestimmung der Integrtionskonstnten C,... C 4 us den Rndbedingungen w( = 0) = 0 C 4 = 0 w ( = 0) = 0 C 3 = 0 w ( = l) = 0 = q 0l [ ] + C + C 0 = 3 + C + C C = 3 C w ( = l) = c w( = l) rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

13 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite /8 q [ 0l 4 ] C = c [ q 0 l C + ] C [ ] [ 3 + C = cl C + ] [ C = κ C + ( )] 3 C [ 3 + C = κ 3 90 ] 3 C C ( + 3 ) ( κ = ) 90 κ κ C = κ C = 3 C κ C = κ w() = q 0l 4 [ ( ) 6 ( ) κ ( ) κ ( ) ] l 30 l κ l κ l b) w( = l) = q [ 0l κ κ = q [ ] 0l κ κ = q [ ] 0l κ ] κ κ w/ q 0l 4 [-] κ =0 κ = κ =5 κ = Tipps und Tricks /l [-] Im Allgemeinen lssen sich für den Blken n beiden Enden jeweils zwei Rndbedingungen (bis zur. Ableitung w () geometrisch oder b der. Ableitung w () dynmisch) formulieren! Die Rndbedingung zur Querkrft m Blkenende stellt eine so gennnte inhomogene Rndbedingung dr! rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 3/8 Aufgbe 6 Der Torsionsstb mit den skizzierten dünnwndigen Profilen (ungeschlitzt) und (geschlitzt) wird n seinem freien Ende mit dem Torsionsmoment M T beufschlgt. Die zulässige Schubspnnung beträgt τ zul. t t t t M T ) Wie groß ist ds miml ufnehmbre Torsionsmoment M T,m beider Stäbe? b) Wie groß ist die Verdrehung des freien Endes beider Stäbe in diesem ll? Gegeben: = 0 cm, t = mm, l = 5 m, G = 0, MP, τ zul = 40 MP. Lösung ) τ m = M T W T! < τ zul M T < W T τ zul = M T,m ll : Torsionswiderstndsmoment W T = A m b min = t (. Bredtsche ormel) M T < tτ zul M T < (0, m) 0, 00 m N/m = 6400 Nm ll : Torsionswiderstndsmoment W T = b 3 (s)ds = ( t 3 + (t) 3) = 3t 3b m 6t M T < 3t τ zul M T < 3 0, m (0, 00 m) N/m = 96 Nm s rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

15 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 4/8 b) Verdrehung ϕ = M Tl GI T ll : Torsionsflächenträgheitsmoment I T = 4A m ds b(s) (. Bredtsche ormel) = 4A m t + t = 44 3 t = t ϕ = tτ zul l tg = 3 τ zul l G ϕ = N/m 5 m = 0, 0875 =, 0, m 0, N/m ll : Torsionsflächenträgheitsmoment I T = b 3 (s)ds = ( t 3 + (t) 3) = 6t ϕ = 3t τ zul l 6t 3 G = τ zul l tg ϕ = N/m 5 m = 0, 65 = 35, 0, 00 m 0, N/m s Tipps und Tricks Mn bechte den großen Unterschied bei übertrgbrem Moment und Verdrehung (trotz ohnehin deutlich geringerem Moment beim geschlitzten Profil) zwischen beiden Profilen! Die Verdrehung wird zunächst in Bogenmß und nicht in Grd ngegeben! Bei Verwendung der Beziehungen us der Tbelle offenes und geschlossenes Profil nicht verwechseln: Ds gleiche Profil ist geschlitzt immer nchgiebiger ls ds entsprechende offene Profil! rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

16 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 5/8 Aufgbe 7 Der wie skizziert gelgerte Blken (Länge + b, Biegesteifigkeit ) wird n seinem freien Ende durch die Krft belstet. Ermitteln Sie mit Hilfe der ormänderungsenergien die Durchsenkung m freien Ende! Gegeben:, b,,. w () Hinweis: Verformungen durch Querkräfte können vernchlässigt werden. b Lösung w = +b 0 Mb () d b b _ Mb () w () Lösung mit Hilfe von Integrltbellen (sofern = const.): b b -b -b + -b -b w = ( 3 ( b)( b) + ) ( b)( b)b = b ( + b) 3 3 w = b ( + b) 3 rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

17 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 6/8 Probe : Ausintegrieren Biegemoment: Bereich 0 < : M b () = b Bereich + b: M b () = ( ( + b)) w = = = w = b ( + b) 3 ( b ) d + +b ( ( ( + b))) d ( 0 [ ] b [ ] ) +b ( ( + b))3 ( 3 b + ) 3 b 3 Probe : Biegelinientfeln Direktes Ablesen us Biegefll 8 möglich: w = f = 3 3 Tipps und Tricks ( ) ( b + b ) w = b ( + b) 3 Der Blken ist bei = nur gestützt und nicht durch ein Gelenk geteilt (durchgängiger Blken). Ds Biegemoment muss dher - im Gegenstz zu den Lgern n den Blkenenden - nicht verschwinden, im Gegenteil: In diesem ll ist es dort sogr miml! Biegemomentenverluf möglichst einfch konstruieren. Hier: Biegemoment muss bei = 0 und = + b null sein und dzwischen liner verlufen ufgrund konstnter Querkräfte in beiden Bereichen. Der Mimlwert bei = ergibt sich us der Querkrft im rechten Bereich multipliziert mit der Länge b. Anwenden der Integrltfeln sprt erheblich Zeit! Auf richtige ormen und Vorzeichen bei Integrltfeln chten! Bei Anwendung der Biegelinien uf ds richtige Einsetzen der Längen chten! rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

18 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 7/8 Aufgbe 8 Drei Stäbe (lle Elstizitätsmodul E, lächenträgheitsmomente I, I, I 3 ), sind wie skizziert miteinnder verbunden und durch die Krft belstet. ) Bestimmen Sie die Stbkräfte in llen Stäben! b) Ordnen Sie die Stäbe den Euler-Knickfällen zu! c) Welcher Stb weist die geringste Knicksicherheit uf und wird zuerst usknicken? Gegeben:, E, I, I = I, I = I, I 3 = I,. I I I 3 3 Lösung ) S = S =, S3 = S = (lles Druckstäbe lle uf Knicken zu überprüfen!) b) Stb Knickfll, Stb Knickfll, Stb 3 Knickfll 3, c) kritische Knicklst krit = π l K Knicksicherheit S k = krit = π l K Stb Stbkrft S Länge l Knickfll Knicklänge l K TM Knicks. 3 π I π I 3 I.0 π.0457 Stb ist somit m stärksten gegen Ausknicken gefährdert! rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II

19 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hnnover Repetitorium Technische Mechnik II rühjhr 00 Seite 8/8 Tipps und Tricks Ermittlung der Eulerfälle gelingt m besten unter Berücksichtigung der möglichen Verformung in den Lgerungen, d.h. einem Vergleich der Knickfiguren! Auf richtiges Einsetzen der Stblängen chten! Nicht von identischen Längen täuschen lssen: verschiedene Lgerungen, Belstungen und Mteril- oder Querschnitteigenschften können zu vollkommen unterschiedlichen Knicksicherheiten führen! Plusibilitätskontrolle: Stäbe und weisen gleiche Lgerung, Länge und Belstung uf, Stb llerdings ds größere lächenträgheitsmoment und somit die größere Sicherheit gegen Knicken! ür die Knicksicherheit des Gesmtsystems ist diejenige des Stbes geringster Knicksicherseit entscheidend! rühjhr 00 Repetitorium Technische Mechnik II