ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK I-II ELEMENTE DER TECHNISCHEN MECHANIK I-II Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern

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1 ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK I-II ELEMENTE DER TECHNISCHEN MECHANIK I-II Lehrstuhl für Technische Mechnik, TU Kiserslutern SS 016, Aufgbe: (TMI) l/3 G, l µ 0 µ 01 3F G,r µ α g Ein homogener Blken mit vernchlässigbren Querschnittsbmessungen (Gewicht G, Länge l) wird von einer Anpresskrft der Größe 3F n ein Lger mit ruher Oberfläche gedrückt. Der Blken liegt uf einer homogenen Wlze (Gewicht G, Rdius r) und drückt diese n eine schiefe Ebene. In den drei Kontktpunkten zwischen Blken und Gleitlger, Blken und Wlze, sowie Wlze und schiefer Ebene liegen drei verschiedene Hftungskoeffizienten vor. Hinweis: sin α+cos α = 1 ) Berechnen Sie die Hft- und Normlkräfte n den drei Kontktpunkten. b) Betrchten Sie die Normlkräfte in den drei Kontktpunkten. Für welche Werte von F sind die drei Normlkräfte Druckkräfte, d. h. n keiner Stelle heben die Körper voneinnder b? Hinweis: Geben Sie die untere und obere Grenze fürf in Abhängigkeit vongn. c) Welchen Wert muss µ 03 mindestens hben, dmit ds System im Gleichgewicht bleibt? Verwenden Sie zur Berechnung ds Ergebnis us Aufgbenteil b). Gegeben:G, l, r,α, F (nur für )

2 Kurzlösung: N 1 G = N = G F H 1 A 3F N H = N 1 = F G N H H 3 G N 3 ) H 3 = (G F)sinα cosα+1 = H 1 = H N 3 = G F b) G < F < G c) µ 03 > sinα cosα+1

3 . Aufgbe: (TMI, ETMI, TMI-II, ETMI-II) g G q 1 = 3 G G 3 q 0 = G 4 y A Cptin J.S. ist mit seinem Boot uf Grund gelufen. Der Mst seines Bootes ist im Punkt A fest im Rumpf des Bootes eingespnnt. Der sich unterhlb der Wsseroberfläche befindende Teil des Mstes wird durch die Strömung, drgestellt durch eine konstnte Streckenlst mit dem Wert q 0 = G, belstet. Auf einer Querstrebe, die fest mit dem Mst verbunden ist, steht Cptin J.S., dessen Körpergewicht über beide Beine verteilt ls Einzellsten der Größe G uf die Querstrebe wirkt. Der obere Teil des Mstes wird durch den Wind, drgestellt durch die liner nwchsende Streckenlst mit dem Mimlwertq 1 = G und einen Ausguck mit GewichtGbelstet. 3 ) Fertigen Sie für ds System us Mst und Querstrebe ein Freikörperbild n. b) Berechnen Sie die Lgerrektionen im Punkt A. c) Skizzieren Sie die Verläufe von Normlkrft N, Querkrft Q und Biegemoment M im gesmten System. Geben Sie dbei usgezeichnete Werte n. Gegeben:, G

4 Kurzlösung: F q 1 F/ F/ q 0 A h ) M A A v b) A H = 3F M A = 1F A V = F

5 3F qudr F F 1F Q F/ lin qudr kub F 3F F F c) N 4F F/4 F M

6 3. Aufgbe: (TMI, ETMI, TMI-II, ETMI-II) 1 g 45 (7) 45 (6) () (5) 4 (4) y (1) (3) 3 Ds Logo der TU Kiserslutern soll m Gebäude 47 befestigt werden. Es besteht us mehreren homogenen Pltten (1)-(7) gleichen Mterils, die wie drgestellt uf einem näherungsweise msselosen Untergrund befestigt sind. Ds Gesmtgewicht der Pltten (1)-(7) beträgt G. Die Struktur wird von drei Stäben gehlten. Weiterhin ist ds Problem ls eben zu betrchten. ) Ermitteln Sie die Koordinten der Schwerpunkte ller Pltten (1)-(7) bezüglich des ngegebenen Koordintensystems. b) Ermitteln Sie die Koordinten des Schwerpunkts der Gesmtstruktur bezüglich des ngegebenen Koordintensystems. Nehmen Sie für den folgenden Aufgbenteil n, dss der Schwerpunkt der Gesmtstruktur die Koordinten S = 5, y S = 7 ht. c) Berechnen Sie lle Stbkräfte. Gegeben:, G für c): S = 5, y S = 7

7 Kurzlösung: Teilsystem A i i i A i y i y i A i ) (1) () (3) (4) (5) (6) (7) Σ b) S = y S = c) S 1 = 3 5 G,S = 3 5 G,S 3 = G

8 4. Aufgbe: (ETMI) 4 C E 3 A 1 3 D B 4 F 4 Ds skizzierte Fchwerk besteht us 7 Stäben und wird durch die Krft F im Punkt E belstet. Ds Fchwerk ist im Punkt A fest, sowie in den Punkten B und C verschieblich gelgert. Alle Stäbe besitzen die DehnsteifigkeitEA. ) Emitteln Sie die Lgerkrft im Punkt C mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte. Stellen Sie dzu zunächst ein geeignetes 0 - und 1 -System uf. b) Berechnen Sie die Stbkräfte der Stäbe 3 und 6. Hinweis: Lösungswege ohne Verwendung des Prinzips der virtuellen Kräfte werden nicht berücksichtigt. Gegeben:EA, F,

9 Kurzlösung: ) 0 -System: C E D F A (0) H A B A (0) V B (0) 1 -System: 1 C E D A (1) H A B A (1) V B (1) X = C = F b) S 3 = F S 6 = F

10 5. Aufgbe: (TMII, TMI-II) q 0 A l,ei B M 0 = 1 6 q 0l l,ea = 30EI l C Der drgestellte Blken (Länge l, Biegesteifigkeit EI) ist m linken Rnd durch ein Festlger und m rechten Rnd durch einen Stb der Länge l (Dehnsteifigkeit EA = 30EI l ) gestützt, sowie durch die liner veränderliche Streckenlst q() und ds MomentM 0 = 1 6 q 0l im Punkt B belstet. ) Geben Sie die Funktion fürq() n. b) Berechnen Sie die Biegeliniew() des Blkens. c) Wie groß ist die Stbkrft S? d) An welcher Stelle tritt ds betrgsmäßig größte Biegemoment uf, und welchen Wert ht es? Gegeben:q 0, M 0 = 1 6 q 0l, l, EI, EA = 30EI l

11 ) b) q() = q 0 l w() = 1 ( 1 EI 10 q ) l 10 q 0l 3 c) S = 1 q 0l d) Ds betrgsmäßig größte Moment liegt bei = l! M(l) = 1 6 q 0l

12 6. Aufgbe: (TMII) M B = 8q 0 q 0 1 A B EI C 1 EA = 3EI Gegeben ist ds skizzierte Trgwerk, welches us einem schub- und dehnstrren Blken (Biegesteifigkeit EI) und einem Stb (Dehnsteifigkeit EA) besteht. Die Belstung erfolgt durch ein Einzelmoment M B im Punkt B sowie durch eine konstnte Streckenlstq 0 m hinteren Teil des Blkens. Der Stb ist gelenkig mit dem Blken verbunden. ) Geben Sie eine geeignete Aufteilung in 0 - und 1 - System n, sodss ds EinspnnmomentM A im Punkt A mit dem Prinzip der virtuellen Kräfte berechnet werden knn. b) Ermitteln Sie ds EinspnnmomentM A im Punkt A sowie die Stbkrft mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte. Verwenden Sie dzu die in ) gewählten Hilfssysteme. Hinweis: Lösungswege in Aufgbenteil b) ohne Verwendung des Prinzips der virtuellen Kräfte werden nicht berücksichtigt. Gegeben:EA = 3EI, EI, q 0,, M B = 8q 0

13 Kurzlösung: Freikörperbild 0 -System: Freikörperbild 1 -System: ) A (0) H A (0) V M B R = q 0 S (0) 1 A (1) H A (1) V S (1) b) M A = X = q 0 S = q 0

14 7. Aufgbe: (TMII, TMI-II) q 0 l M 0 = 4 3 q 0bl Querschnitt: t q 0 t y z t b b b 5 t 5 t b M 0 = 4 3 q 0bl Ein homogener Träger mit dünnwndigem Kstenquerschnitt (t b) ist ezentrisch durch die konstnte Streckenlst q 0 belstet. Zusätzlich wirkt ds Moment M 0 m Ende des Trägers. Der Träger ht den SchubmodulGund die Verwölbung ist durch die Lgerung nicht behindert. ) Ermitteln Sie ds Torsionsmoment ls Funktion von. Skizzieren Sie den Verluf des Torsionsmoment und geben Sie usgezeichnete Werte n. b) Berechnen Sie ds TorsionswiderstndsmomentW T und ds TorsionsträgheitsmomentI T. c) Geben Sie den Schubfluss T() n. Ermitteln Sie den Ort und den Wert der mimlen Schubspnnung τ m. d) Berechnen Sie den Verdrehwinkel ϑ(). Geben Sie den Ort 0 und den Wert der mimlen Verdrehung ϑ m n. Gegeben:G, l, b, t b, q 0, M 0 = 4 3 q 0bl

15 Kurzlösung: ) M T () = 4q 0 b( 3 l) M T () M 0 = 4 3 q 0bl 8 3 q 0bl 3 l 1 3 l b) W T = 6b t I T = 1b 3 t c) T() = q 0 ( 3 l) 3bt τ m = 4 q 0 l 9 bt ( d) q 0 1 ϑ() = 3Gb t ) 3 l Etremwert für ϑ m : 0 = 3 l ϑ( 0 ) = q 0 l 7Gb t

16 8. Aufgbe: (ETMII) Ds bgebildete Koppelgetriebe (rechte Seite, Querformt) setzt eine Kreisbewegung des Punktes A in eine trnsltorische Bewegung des Punktes C um, sodss sich Punkt C usschließlich in y-richtung uf der gestrichelten Linie bewegt. In der skizzierten Position des Getriebes besitzt der Punkt C die Geschwindigkeitv C und die StngeEA rotiert mit konstnter Winkelgeschwindigkeitω 0. Hinweise: Alle bgebildeten Stngen sind in ihren Berührpunkten gelenkig miteinnder verbunden. Außer den Punkten A undd befinden sich lle Punkte uf dem Koordintengitter. Nutzen Sie zur Lösung der Aufgbe ds eingezeichnete Koordintensystem. Die StngenFD undfb hben die gleiche Länge. ) Zeichnen Sie die Geschwindigkeitsvektoren der Punkte A, B und D für die drgestellte Lge in die Aufgbenstellung. b) Zeichnen Sie den Momentnpol der StngeBC in die Aufgbenstellung. Lösungen, die nicht uf dem Koordintengitter liegen, können nicht gewertet werden. Berechnen Sie für die drgestellte Lge c) den Winkelgeschwindigkeitsvektor ω BC der Stnge BC und den Geschwindigkeitsvektor v B des Punktes B, d) den Winkelgeschwindigkeitsvektor ω FB der Stnge FB, e) den Geschwindigkeitsvektor v A sowie den Beschleunigungsvektor A des PunktesA. f) Kreuzen Sie n: Die PunkteB und D bewegen sich für die drgestellte Lge ufeinnder zu voneinnder weg g) Wo befindet sich der PunktC fürϕ = 0? Antwort: ( ) Gegeben:, b, ϕ, v C, ω 0

17 y z F E ω0 4 ϕ A D b b b B C vc b

18 D ω BC A b b b v D b C v C r MB r MC Π BC 4 v A B y F z E ϕ ω 0 v B Kurzlösung: ) Siehe Zeichnung. b) Siehe Zeichnung. 0 c) ω BC = 0 = ω BC v B = 0 0 v C v C 8 9 = d) ω FB = 0 = 0 ω FB v C 8 ω 0 4sinϕ e) v A = ω 0 4cosϕ 0 ω04cosϕ A = ω0 4sinϕ v C 9 8 v C 0. f) Die PunkteB und D bewegen sich für die drgestellte Lge voneinnder weg.. g) PunktC liegt fürϕ=0 in (10 0 0).....

19 9. Aufgbe: (ETMII, ETMI-II) g m,l α S ω y ϕ P v β Der bgebildete Speer (schlnker, homogener Stb mit Msse m, Länge l und Schwerpunkt S) stößt im Punkt P uf eine Unterlge. Zum Zeitpunkt des Auftreffens ist der Speer gegen die Horizontle um den Winkel β geneigt. Unmittelbr vor dem Stoß besitzt der Speer die Winkelgeschwindigkeit ω und die Schwerpunktsgeschwindigkeit v, die wie skizziert den Winkel α zur Horizontlen einschließt. Der Stoß erfolgt idel plstisch, sodss der Speer im Punkt P nch dem Stoß hftet. Hinweis: sin(±y) = sincosy ±cossiny, sin +cos = 1 ) Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit ω unmittelbr nch dem Stoß. Fertigen Sie hierfür ein Freikörperbild n. Verwenden Sie ds oben gegebene Koordintensystem. b) Welchen Wertω muss die Winkelgeschwindigkeit unmittelbr vor dem Stoß nnehmen, dmit die Winkelgeschwindigkeit ω unmittelbr nch dem Stoß verschwindet. Berechnen Sie für diesen Fll die Stoßkräfte ˆF und ˆF y. Gegeben:α, β,m, l, v, ω

20 Kurzlösung: ) Freikörperbild ˆF y ˆF ω = θω m l vsin(α β) θ+m l 4 mitθ = 1 1 ml b) ω = 6 v sin(α β) l ˆF = mvsinα und ˆFy = mvcosα

21 10. Aufgbe: (ETMII, ETMI-II) β r 3 r 4 s g α r 1 θ M,θ M µ m 45 Ds drgestellte System besteht us einer Msse m, einer homogenen zylindrischen Wlze (Msse M, Mssenträgheitsmoment θ, Rdius r), einer Stufenwlze (Rdien r und r, Mssenträgheitsmoment θ) sowie einer Msse M uf einer ruhen um 45 geneigten Ebene mit dem Reibungskoeffizienten µ. Die Seile sind msselos und undehnbr. Ds Verhältnis zwischen den Mssen M und m ist dbei so gewählt, dss sich die Mssembsenkt. Bechten Sie bei der Lösung der Aufgben die vorgegebene Nummerierung der Seile und benennen Sie die Seilkräfte entsprechend. ) Ermitteln Sie die kinemtischen Beziehungen für α, β und ṡ in Abhängigkeit von ẋ. b) Fertigen Sie Freikörperbilder ller vier mßgeblichen Teilsysteme n. c) Stellen Sie lle mßgeblichen Kinetik-Gleichungen n den jeweiligen Teilsystemen uf. d) Berechnen Sie die Seilkrft S 4 in Seil 4 (Seil zwischen der Stufenwlze und der Msse M uf der schiefen Ebene) in Abhängigkeit von ẍ. e) Ermitteln Sie die Beschleunigungẍder Mssem. Gegeben:r, g,m, θ, M, µ

22 Kurzlösung: ) b) α = ẋ r β = ẋ r ṡ = ẋ S S 3 TS 3: β TS : α Mg S 4 S 1 S 3 TS 1: S 1 TS 4: S 4 s m M mg N R = µn Mg c) TS 4: M s = S 4 µn Mg TS 4: 0 = N Mg TS 3: θ β = rs 3 rs 4 TS : θ α = rs 3 rs TS : Mẍ = Mg +S 1 S S 3 TS 1: mẍ = mg S 1 d) S 4 = Mẍ+(µ+1) Mg

23 e) ẍ = g m µm M m+m + θ r