Bögen und Kreise II wo liegen denn die Mittelpunkte? - wie groß ist der Radius?

Transkript

1 1. Die folgenden, kreisförmigen Fenster findet mn in der Zisterzienserbtei Huterive in Fribourg (Schweiz). Anlysiere die Konstruktion und fertige eigene Fenster uf der Grundlge des Konstruktionsprinzips n.. Ergänze die nebenstehende Skizze durch geeignete Bezeichnungen. Berechne für die Berührkreise den Abstnd der Mittelpunkte über der Kämpferlinie sowie deren Rdiusgröße. Überprüfe deine Berechnungen durch eine entsprechende Konstruktion der Berührkreise im Heft. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur. 3. Der Pssbogen erscheint zunächst ls eine einfche Figur, doch bei näherem Hinsehen ist der Rdius der einbeschriebenen Kreise und die Länge der Bögen vielleicht doch nicht so leicht zu sehen. Konstruiere einen Pssbogen unter Bechtung der eingezeichneten Hilfslinien der. Figur. Bestimme den rechnerischen Zusmmenhng der Rdiusgröße des äußeren Hlbkreises zur Rdiusgröße der einbeschriebenen Kreisbögen. Beweise: Der Pssbogen ist ein hlbierter Vierpss. Erinnerung: r ' sin(α) R mit α ' 1 % sin(α) n

2 4. In ds nebenstehend skizzierte Spitzbogenfenster ist oben ein Dreibltt eingefügt, dessen Konstruktionsprinzip gr nicht so schwer zu entdecken ist. Versuche ein Dreibltt seprt im Heft zu konstruieren. Ergänze die nebenstehende Skizze durch geeignete Bezeichnungen und führe eine entsprechende Konstruktion dieses Fensters im Heft durch. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur. 5. Die nebenstehende Figur zeigt einen Nonnenkopf, ein bei gotischen Kirchenfenstern häufig vorkommendes Muster. Der Nonnenkopf ist us mehreren Kreisbögen zusmmengesetzt, wobei die jeweiligen Enden der Bögen sich tngentil nschließen müssen, dmit keine ungewollten Ecken entstehen. Anlysiere die nebenstehende Figur und versuche Mittelpunkte von Kreisbögen, sowie die zugehörigen Rdien zu entdecken. Mit eingezeichneten Hilfslinien erkennt mn die Konstruktion sicher leichter. Benenne geeignet die Mittelpunkte von Kreisbögen und begründe, wrum keine ungewollten Knickstellen entstehen. Konstruiere einen Nonnenkopf im Heft. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur.

3 6. Ds gotische Dreibltt besteht us 3 oberen Teilen eines Nonnenkopfes, die, jeweils um 10E gedreht, neinnder gefügt wurden. Die äußere Begrenzung ist ein Reuleuxsches Dreieck, wie mn den Roller (uch Gleichdick gennnt) heutzutge bezeichnet. Nutze bei der Konstruktion dieses Dreibltts geeignet die Drehsymmetrie us. 7. Ds folgende Fenster findet mn im Kloster Hin. Ergänze die untenstehende Skizze durch geeignete Bezeichnungen und nlysiere die Konstruktion mit den eingezeichneten Hilfslinien. Bestimme für die Bögen und Berührkreise die Lge der Mittelpunkte und berechne deren Rdiusgröße. Überprüfe deine Berechnungen durch eine entsprechende Konstruktion im Heft. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur.

4 8. Ds nebenstehende Fenster findet mn in Frnkfurt.M. m Dom. Die grundsätzliche Konstruktion ist ähnlich der des vorherigen Fensters us dem Kloster Hin. Bestätige, dss für den Rdius r o des oberen Berührkreises gilt: r o ' 3 und für den Rdius r u der unteren beiden Berührkreise: r u ' 7 Überprüfe ds Ergebnis durch eine entsprechende Konstruktion im Heft. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur. 9. Ds nebenstehende Fenster findet mn in Frnkfurt.M. m Dom (und Deutschordenskirche). Ergänze die nebenstehende Skizze durch geeignete Bezeichnungen und nlysiere die Konstruktion mit den eingezeichneten Hilfslinien. Bestimme für Berührkreise und Bögen die Lge der Mittelpunkte und berechne deren Rdiusgröße (ws nicht so gnz einfch ist). Überprüfe deine Berechnungen durch eine entsprechende Konstruktion im Heft. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur.

5 10. Auch ds folgende Fenster findet mn im Kloster Hin. Dieses Fenster stellt eine Erweiterung einer Konstruktion in der Kthedrle von Reims dr. Ergänze die nebenstehende Skizze durch geeignete Bezeichnungen und Hilfslinien und nlysiere die Konstruktion. Bestimme für Bögen und Berührkreise die Lge der Mittelpunkte und berechne deren Rdiusgröße. Überprüfe deine Berechnungen durch eine entsprechende Konstruktion im Heft. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur. 11. Ds nebenstehend skizzierte Fenster findet mn in den Chorkpellen des Kölner Domes. Ergänze die nebenstehende Skizze durch geeignete Bezeichnungen und Hilfslinien und nlysiere die Konstruktion. Bestimme für Bögen und Berührkreise die Lge der Mittelpunkte und berechne deren Rdiusgröße. Überprüfe deine Berechnungen durch eine entsprechende Konstruktion im Heft. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur.

6 1. Ds nebenstehend skizzierte Fenster findet mn m Portl der Mtthiskirche in Budpest. Ergänze die nebenstehende Skizze durch geeignete Bezeichnungen und Hilfslinien und nlysiere die Konstruktion. Bestimme für Bögen und Berührkreise die Lge der Mittelpunkte und berechne deren Rdiusgröße. Überprüfe deine Berechnungen durch eine entsprechende Konstruktion im Heft. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur. Zum Vergleich: Ds dem oberen Spitzbogen ngefügte Rechteck ht die Höhe: h ' 1 33 & 13. Die nebenstehend skizzierten Fenster findet mn in der Kirche Orsnmichele in Florenz. Mittelpunkte und Rdien der Berührkreise sind nicht llzu schwer zu ermitteln. Die Rdien sind jeweils ein ntürlicher Anteil der hlben Kämpferlinie. Ergänze die Skizzen durch geeignete Bezeichnungen und nlysiere die Konstruktionen. Bestimme für die Bögen und Berührkreise die Lge der Mittelpunkte und berechne deren Rdiusgröße. Überprüfe deine Berechnungen durch eine entsprechende Konstruktion im Heft. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur.

7 14. Ds nebenstehende Fenster findet mn in einem Erker des Frnkfurter Doms. Es ist leicht zu sehen, dss für den Rdius r g des großen Berührkreises gilt: r g ' 1 Etws schwieriger ist der Rdius r k des kleinen Berührkreises zu bestimmen. - Bestätige, dss für diesen Berührkreis gilt: r k ' % 3 & 4 Bechte: Ds umgebende Viereck ist kein Qudrt. - Überprüfe ds Ergebnis durch eine entsprechende Konstruktion im Heft. Achte uf eine geeignete Größe der Gesmtfigur. 15. Ds nebenstehend skizzierte Kirchenfenster findet mn in Frnkfurt m Min n der Leonhrdkirche und der Kthrinenkirche. Mit den eingezeichneten Hilfslinien erkennt mn, dss es sich z.t. um ein Berührkreisproblem von 3 Kreisen hndelt. Anlysiere die Gesmtfigur und bestimme Lge und Rdius r des Berührkreisbogens in Abhängigkeit von Rdius R des äußeren Hlbkreises (R ist hlb so groß wie die Kämpferlinie). Überprüfe deine Rechnung durch exemplrische Konstruktion der Figur im Heft. Achte uf eine vernünftige Größe der Gesmtfigur.

8 Lösungsskizze zu 9.: Bezeichnungsvereinbrungen: :' AB; x :' FD; y :' AE; h :' FZ Es gilt: MD ' 3 ; BC 3 h ' 3 %r & x% 6 ' &r & x% AC ' % y ' % 4 Y x ' & 4@r Y y 7 3 & 1 h ' &x (y % r) ' 3 % & x Y h ' &@x 7 & 1 & r 7 ' 3 ' & x 7 4@r & r ' 7 & % 1 3 Lösungsskizze zu 7.: Die Höhe des kleinen Spitzbogens 3. 6 Dmit ergibt sich für den Rdius des kleinen Berührkreises us den Berührbedingungen: 3%r % 5 ' (&r) Ergebnis: r 99 6&

9 Lösungsskizze zu 15.: Bezeichnungsvereinbrungen: x :' CL; h :' LZ Es gilt: h % ' (R&r) h % x ' 1 % & x ' 1 ] h % x & r ' h % x & r ' 5 % 4 1 % h % x & r ' & 7 % % 4 % 4 Aus der. und 3. Gleichung ergibt sich: h%x ' Aus der 1. und. Gleichung ergibt sich: x & 1 und dmit gilt: h ' R Die letzten beiden Beziehungen eingesetzt in die. Gleichung führt über die Lösung einer qudrtischen Gleichung zu den Ergebnissen: 1 r ' 3 & ; h ' 1 ; x ' 11 & 6@ Bechte, dss die. Lösung der qudrtischen Gleichung einen Kreis beschreibt, der die Kreise mit den Mittelpunkten C, M und D umfsst.

10 Lösungsskizze zu 14.: Es gilt: h 6 & r@ 3 & r h ' ( % r) & ( & r) Durch Gleichsetzen der rechten Terme erhält mn nch Umformungen die qudrtische Gleichung r & 4@ % r % 3 ' 0 deren eine Lösung für r (negtives Vorzeichen vor der Wurzel) die ngegebene und eingezeichnete ist. Bei der zweiten Lösung würde der Kreis den Spitzbogen innen berühren.

11 Die Konstruktion von 1. mit Hilfslinien: Bögen und Kreise II