Elektro- und Informationstechnik WS 2012/2013. Mathematik II - Übungsblatt 03 mit Lösungsvorschlägen

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1 Dr.-ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik WS 22/23 Mthemtik Aufge Mthemtik - Üungsltt 3 mit Lösungsvorschlägen Berechnen Sie ds Doppelintegrl (enötigt zur Berechnung von Verformung und Mterilspnnungen n Blken unter Lsteinwirkung) = da zu einem mit den eiden Ktheten im Achsenkreuz eines --Koordintensstems liegenden rechtwinkligen Dreiecks, Seitenlänge uf der -Achse und uf der -Achse. Siehe Beispiel im Skript, Kpitel.4.3, hier ist nur ds Vorzeichen negtiv. Aufge 2 (Verwendung der Aufgenstellung wie ei Aufge gennnt) ) Bestimmen Sie ds Flächenträgheitsmoment = 2 da einer dünnen Hlkreisscheie (z. B. us Aluminium) mit dem Rdius r ezüglich der -Achse ls Smmetriechse (= Drehchse). da= d= 2 d Ds Doppelintegrl üer die Fläche A lässt sich ls Einfchintegrl üer schreien: = 2 da = = 2 d=2 = 2 d=2 [ 2 4 ( 2 ) ( 2 = π +rcsin())] 8. Die Lösung des ntegrls schut mn in einer Formelsmmlung nch (itte unedingt selst Seite von 5

2 Dr.-ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik WS 22/23 Mthemtik durchführen und vergleichen, sonst fehlt im Ernstfll die Routine). ) Bestimmen Sie gemäß der Vorgen ei Punkt ) ds Flächenträgheitsmoment = 2 da ezüglich der durch den Hlkreisschwerpunkt S = 4 3 π r.43 prllel zur - Achse lufende Drehchse. da= d=2 2 d Drehchse Die Lösung erfolgt ähnlich zu der unter Punkt ). Hier ist noch zu echten Der Ausdruck für die infinitesimle Fläche da enthält den Fktor 2, d die Wurzel nur den rechten Beitrg von erfsst (Proe für = muss = 2 sein) Die ntegrtion läuft jetzt von u = 4 3 π is o = 4 3 π.. = 2 da= u o o 2 d= 2 2 u d=[ 4 ( 2 ) 3 + o 8 ( 2 = +rcsin())] 9 π2 64 u 72 π (Lösung wie unter Punkt ) mithilfe einer Formelsmmlung). c) Bestimmen Sie gemäß der Vorgen ei Punkt ) ds Flächendevitionsmoment = da (Doppelintegrl). Selst durchführen, Lösung zu Aufge verwenden). Aufge 3 Bestimmen Sie ds Volumen einer Kugel mit dem Rdius R. Die Kugelsmmetrie erfordert nur die Berechnung einer Achtelkugel (Kugel hlieren und die Hlkugeln in je vier gleiche Stücke teilen). Die ntegrtionsgrenzen lufen dnn für jede Vrile von is R. Zwei Wege, hier R =: ) Als Dreifchintegrl V= (V) Seler lösen, Ergenis: dv= = 2 = 2 2 d d dz mit der Kugelgleichung z 2 = z= V= 8 π 6 = 4 3 π, llgemein V= 4 3 π R ) Als Einfchintegrl durch Summtion infinitesimler Kreisscheien dv üer z mit Seite 2 von 5

3 Dr.-ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik WS 22/23 Mthemtik Aufge 4 dv=a dz= 2 π dz, V=2 2 pi dz=2 ( z 2 )dz= 4 3 π = ( z 2 ) (Kreisgleichung für R=)) Geen Sie den Schwerpunkt des in folgender Skizze drgestellten Dreiecks n: c ( s, s ) da Für den Schwerpunkt s gilt s = da. Um die ntegrle erechnen zu können, müssen die Funktionen für die linke und die rechte Dreiecks-Seite eknnt sein. Dzu führt mn die Höhe h und den Aschnitt d ein: d h c ( s, s ) Dnn gilt h 2 = 2 d 2 = 2 (c d) 2 d= 2c (c ). Die gesuchten Funktionen sind ()= h +h (Proe: Für = -d ist =, für = ist =h) d ()= h (c d) +h (Proe mchen!) Mn unterteilt die ntegrle nun in die eiden Aschnitte d und c d und ersetzt ds infinitesimle Flächenstück da durch da= d. ntegrl im Zähler da= = d c d d+ d= d c d ()d+ ( )d, Ds ntegrl im Nenner ist einfch die Fläche der eiden rechtwinkligen Teildreiecke: (da ) da= d h+(c d) h = c h 2 2 Seler lösen, Ergenis: s = c 2 d 3, s seler lösen. Seite 3 von 5

4 Dr.-ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik WS 22/23 Mthemtik Aufge 5 Lösen Sie ds Dreifchintegrl = 2 = = + d d dz. z= Seler lösen, siehe Aufge 3. Ergenis = 4 3 Aufge 6 Gegeen ist ein rechtwinkliges --z-koordintensstem. Hierin liegt eine von den 3 Koordinteneenen und der Eene ++z= egrenzte Prmide. ) Fertigen Sie eine groe Skizze n. Seler mchen, siehe Üung. ) Bestimmen Sie ds Volumen V (es ist ein Dreifchintegrl). Wie ei Aufge 3: Seler mchen, Ergenis: V= 6 Aufge 7 Bestimmen Sie den Erdungswiderstnd eines Blitzleiters mit hlkugelförmiger Elektrode (Rdius ) der folgenden Anordnung: Strom Die Stromdichte S in jeder gedchten Hlkugelfläche mit dem Rdius r im Erdreich ist S=S r = 2 r 2, die elektrische Feldstärke E eträgt E=E(r)= κ 2 π r 2 mit κ ls spezifischem Leitwert des Erdreichs. Der Widerstnd lässt sich üer R= U mit U= E ds mit ds ls Weg von der Hlkugelektrode is zum ngenommenen Rdius ermitteln. ds=dr U= R selst estimmen. κ 2 π r dr= 2 κ 2 π r dr= 2 2 π κ [ = r ] 2 π κ. Seite 4 von 5

5 Dr.-ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik WS 22/23 Mthemtik Aufge 8 Der Betrg der mgnetischen Feldstärke H (die Norm des Feldstärkevektors H um einen vom Strom durchflossenen Leiter mit dem Rdius r Leiter Feldlinie r X wird us dem Linienintegrl H ds= [A ] estimmt. Geen Sie die Feldstärke im Astnd r vom Leiter n (innen und ußen). Hinweise: Der Kreis m ntegrlzeichen edeutet, dss ein vollständiger Umluf für den Kreis mit dem Rdius r gemcht wird (wie lng ist dnn der Weg?). Der Feldstärke-Vektor H steht uf dem gedchten Rdius r senkrecht und ht ei der hier ngenommenen homogenen Umgeung (Luft) für einen konstnten Rdius r einen konstnten Betrg. Selst rechnen, dei echten, dss ußerhl des Leiters ( r>r Leiter ) der gnze Strom umschlossen wird, innerhl er nur ein durch den Rdius r gegeener Anteil innen = r 2 (wrum?). Aufge 9 Der mgnetische Fluss Φ ist ls sklre Größe üer ds Flächenintegrl = B da [V s] A 2 r Leiter definiert. Hierin edeutet B die mgnetische Flussdichte (= mgnetische nduktion), die mit der Feldstärke üer die Mterilgleichung B= H= r H [ VS m ] 2 mit μ ls mgnetischer Permeilität in Zusmmenhng steht. Bestimmen Sie für eine zur Feldstärke senkrecht stehende Rechteckfläche A mit den Seiten und den mgnetischen Fluss in der Anordnung gemäß Aufge 8. Der ile Astnd vom Leiter liegt dei zwischen R und R+, R ist größer ls der Leiterrdius. Selst rechnen. Seite 5 von 5