10 Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen

Transkript

1 Integrlrechnng für Fnktinen mit mehreren Vrilen d gewöhnliches Integrl einer Fnktin vn einer nhängigen Vrilen Jetzt Integrtin einer Fnktin vn zwei (Dppelintegrl) zw. drei (Dreifchintegrl) Vrilen. nwendng ei der Berechnng vn - Flächeninhlt - Schwerpnkt einer Fläche - Flächenträgheitsmmente - Vlmen nd Msse eines Körpers - Schwerpnkt eines Körpers - Mssenträgheitsmmente

2 . Dppelintegrl nter Verwendng krtesischer Krdinten Ziel: Vlmen des Zylinders (esteht s: Sälen in y-richtng Schichten Schichten in -Richtng Zylinder) Wir etrchten eine im Zylinder liegende Vlmenschicht (Scheie) der Breite d. Sie entsteht, wenn in der y-richtng Säle n Säle gereiht wird is mn n die eiden Rndkrven des Bereiches () stößt. y zw. y

3 . Schritt Ds Vlmen dv Scheie dieser Scheie erhlten wir dnn drch Smmtin ller in der Vlmenschicht gelegenen Sälenvlmin, d.h. drch Integrtin vn dv f (,y) dy d in der y-richtng zwischen der nteren Grenze y f( ) nd der eren Grenze y. y dvscheie dv f (, y) dy d y f f ( ) ( ) Integrtinsschritt: Bei der Integrtin vn f (,y) nch y wird die Vrile ls eine rt Knstnte etrchtet. Mit nderen Wrten: Die Fnktin f (,y) wird während der Integrtin ls eine nr vn y hängige Fnktin ngesehen. Es hndelt sich smit m eine gewöhnliche Integrtin nch der Vrilen y. Ne dei ist, dß die Integrtinsgrenzen keine Knstnten (Zhlen) mehr sind sndern nch vn der Vrilen hängige Fnktinen drstellen, die er wie Zhlen in die ermittelte Stmmfnktin eingesetzt werden. Ds Ergenis dieser sg. inneren Integrtin (Integrtin nch der Vrilen y) ist eine nch vm Prmeter (Vrile) hängige Fnktin.

4 . Schritt Nn setzen wir Vlmenschicht n Vlmenschicht in Richtng is der Zylinder vllständig sgefüllt ist. Mit nderen Wrten: Wir smmieren, d.h. integrieren in der -Richtng üer lle zwischen den Grenzen nd liegenden Scheien. Für ds Zylindervlmen erhlten wir: f( ) V dvscheie f (, y) dy d f (, y) d y ( d) Zerst wird die innere Integrtin nch der Vrilen y sgeführt. Es wird ls vn innen nch ßen integriert. Die Reihenflge der Integrtin ist eindetig drch die Reihenflge der Differentile im Dppelintegrl festgelegt. Sie ist nr dnn vertschr, wenn sämtliche Integrtinsgrenzen knstnt sind.

5 Beispiel: ) cs( y) dy d y Innere Integrtin nch y: y dy y dy cs( ) cs( ) sin( y) y y y sin sin Äßere Integrtin nch : d d Ergenis: cs( y) dy d y D ds Dppelintegrl knstnte Integrtinsknstnten ht, drf die Reihenflge der Integrtinsschritte vertscht werden. Wir integrieren jetzt in der mgekehrten Reihenflge. cs( y) d dy cs( y) d dy y y cs( y) dy cs( y) dy y y sin( y) sin sin

6 Beispiel: ) y dy d y, 5 5y 3) y e d dy y 7, 7

7 . Dppelintegrl in Plrkrdinten r csϕ, y r sinϕ ( r, ϕ < ) Die Fnktinsgleichng einer Krve ltet in Plrkrdinten r f (ϕ) der r r (ϕ) Eine Fnktin z f (,y), die vn zwei Vrilen nd y hängt, geht ei der Krdintentrnsfrmtin in die vn r nd ϕ hängige Fnktin z f ( r cs ϕ, r sin ϕ) F( r, ϕ) üer. Ein Dppelintegrl esitzt in Plrkrdinten ds flgende ssehen: f (, y) d f ( r cs ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ ( ) ϕ r d d r dr dϕ ist. ϕ i

8 Die ei Dppelintegrlen in Plrkrdintendrstellng ftretenden Integrtinsereiche () esitzen flgende Gestlt: Sie werden vn zwei Strhlen ϕ ϕ nd ϕ ϕ swie einer inneren Krve r r i (ϕ) nd einer äßeren Krve r r (ϕ) egrenzt nd lssen sich drch die Ungleichngen r i (ϕ) < r < r (ϕ), ϕ ϕ ϕ eschreien. Ds Flächenelement d wird in Plrkrdintendrstellng vn zwei infinitesiml enchrten Kreisen mit den Rdien r nd r + dr nd zwei infinitesiml enchrten Strhlen mit den Plrwinkeln ϕ nd ϕ + dϕ erndet.

9 Beispiel: y d vn ϕ is ϕ d vn r is r d r dr dϕ r csϕ, y r sinϕ ϕ ϕ r r ϕ y r dr dϕ r csϕ r sinϕ r dr dϕ ϕ r r innere Integrtin nch r: csϕ sinϕ r dr r 3 csϕ sinϕ csϕ sinϕ äßere Integrtin nch ϕ: csϕ sinϕ dϕ csϕ sinϕ dϕ ( ) csϕ sinϕ dϕ sin ϕ dϕ cs( ϕ ) cs cs ( ) der csϕ sinϕ dϕ d d + 3 Ergenis: y d r sinϕ csϕ dr dϕ ( ) ϕ r

10 Beispiel: Wenn z ( + y ) ist, erechne: f (, y) d z d ϕ vn ϕ is ϕ ( ) ( ) r vn r is r

11 .. Flächeninhlt Definitinsfrmel ( ) d In krtesischen Krdinten: y f ( ) dy d In Plrkrdinten: ϕ ϕ ϕ r i r dr dϕ

12 Beispiel: ) Flächeninhlt einer Ellipse mit der Gleichng + y mit Hilfe eines Dppelintegrls y y ( ) y d dy d ( ) y innere Integrtin nch y: y dy y y äßere Integrtin: d d + rcsin + ( rcsin)

13 Beispiel: ) Berechne den Flächeninhlt, der zwischen der Kreislinie + y 5 (im. Qdrnten) nd der Gerden y + 5 liegt. Lösng:. Bild Ds Flächenstück wird nten vn der Gerden nd en vm Kreisgen erndet.. Integrtinsgrenzen y - Integrtin: vn is - Integrtin: vn is 5 5 dy d + 5

14 3. Innere Integrtin (nch y) 5 dy y + 5. Äßere Integrtin (nch ) 5 ( 5 5) d + 7, 3

15 Beispiel: 3) Berechne den Flächeninhlt des im Bild drgestellten Flächenstücks. Bild: Krdiide r + cs ϕ ϕ < Lösng: s der Skizze erkennen wir, dß r i (ϕ) nd r (ϕ) + cs ϕ ist. Die Integrtinsgrenzen lten smit: r - Integrtin: vn is ϕ - Integrtin: vn is + csϕ ϕ r r dr dϕ

16 Innere Integrtin (nch der Vrilen r): + csϕ r dr r Äßere Integrtin (nch der Vrilen ϕ): + ( csϕ ) dϕ 3

17 .. Schwerpnkt einer hmgenen eenen Fläche S ( ) d y S ( ) y d d dy d krtesisch S y f ( ) dy d y S y f ( ) y dy d S ϕ r r dr d csϕ ϕ ϕ ϕ r i y S ϕ r r dr d sinϕ ϕ ϕ ϕ r i d r dr dϕ

18 Beispiel: ) W liegt der Schwerpnkt S der Fläche, die vn der Prel y + nd der Gerden y + egrenzt wird? Bild: - Berechnng der Fläche - Berechnng der Schwerpnktkrdinte S - Berechnng der Schwerpnktkrdinte y S Berechnng der Fläche y + d dy d ( ) y + innere Integrtin: y + + dy [ y] + + y + + äßere Integrtin: 3 ( + ) d +, 5 3

19 Berechnng der Schwerpnktkrdinte S : S d + ( ) y + dy d innere Integrtin: + dy y + äßere Integrtin: S (, 5) (, 5), 5, 5 Berechnng der Schwerpnktkrdinte y S : y S y d y dy d f ( ) + ( ) y y + y dy d innere Integrtin: + y dy y + äßere Integrtin: ys 8 (, ) 5,, 8, S (-,5;,)

20 ..3 Flächenträgheitsmmente Technische Mechnik [Länge] Definitinsfrmeln I y d ( ) I d y ( ) iles iles plres I r d r + y di p r d I p I + I y p ( ) In krtesischen Krdinten I y dy d y f ( ) I dy d y y f ( ) ( ) I + y dy d p y y In Plrkrdinten I r 3 sin ϕ dr dϕ ϕ ϕ ϕ r i I r 3 cs ϕ dr dϕ y ϕ ϕ ϕ r i I r 3 dr dϕ p ϕ ϕ ϕ r i Stz vn Steiner: I I + y I I + S S y S S I IS + d, wei ist I S - Flächenmment ezüglich der Schwerpnktchse

21 Beispiel: Die Qerschnittfläche eines Blkens esitze ds skizzierte Prfil. Mn erechne ds ile Flächenmment I S, ezgen f die zr -chse prllele Schwerpnktchse. Die ere Berndng sei drch einen Prelgen gegeen. Stz vn Steiner: I I + y S S ) I I y S S S ( S,y S ) mit S ) I y dy d y f ( ) - Integrtin: - 3) y S y f ( ) y dy d y - Integrtin: f (), f () Prel y + mit Hilfe vn zwei Pnkten P (,); P (,) ) dy d y f ( ) P : + P : 3 + ( ) 3 y + f( ) +

22 Berechnng der Fläche des Blkens: y + dy d dy d y y + y + d Berechnng vn y S : ys y dy d y dy d 9 9 y + y y + y y d 8 d y Berechnng vn I : I y dy d y dy d + y + y

23 innere Integrtin: + 3 y dy y y + y äßere Integrtin (nch ): d , 3 I , 95 IS I ys , 9