5 Integralrechnung. Einführung: y = f '( x) Integration y = f(x) Aus y = f(x) erhält man durch Differentiation y = f '( x)

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1 - - 5 Integrlrechnung. Einführung: Aus y = f() erhält mn durch Differentition y = f '( ) y = f() Differentition y = f '( ) Es esteht er in den nturwissenschftlich-technischen Anwendungen häufig die Aufge drin, von der gegeenen Aleitung y = f '( ) uf die Funktion y = f() zu schließen. Der Weg dzu heißt die Integrtion. y = f '( ) Integrtion y = f() ) Gegeen: y = Gesucht: sämtliche Funktionen y = f() mit y = Lösung: F() = + C, d F '( d ) = ( + C) = prllele Gerdenschr ) Gegeen: y = Gesucht: sämtliche Funktionen y = f() mit y = Lösung: F() = + C, d F d + C) Prelschr Jede Funktion F(), die die Bedingung F () = f() erfüllt, heißt Stmmfunktion der Funktion f().

2 ) sin = F( ) - - sin = cos + C ) du = du = F( u) du = u + C Ist F() eine elieige Stmmfunktion von f(), so heißt f ( ) = F( ) + C Integrl üer f() mit F () = f() C R ds unestimmte Integrl der Funktion f(). Dei ezeichnet mn f() ls Integrnd ls Integrtionsvrile F() ls Stmmfunktion und C ls Integrtionskonstnte des unestimmten Integrls f ( )

3 - 3 - Differenziert mn uf eiden Seiten der Gleichung nch der Vrilen, so erhält mn d d F f ( ) = [ ( ) + C ], wegen F () = f() drus folgt: d F( ) = F'( ) = f ( ) d f ( ) = f ( ) Differentition und Integrtion sind einnder entgegengesetzte Rechenopertionen.

4 Grundintegrle elementrer Funktionen n n+ = + C ; n n + = ln + C ; 0 e = e + C = + C ; f 0, ln sin = cos + C cos = sin + C = ( + tn ) = tn + C cos = ( + cot ) = cot + C sin = rctn + C = rccot + C + + = C + ln ; f = ln( + + ) + C + C = ln + + = rcsin + C = rccos + C! Die Grundintegrle dürfen nur dnn ohne weiteres ngewendet! werden, wenn der Integrnd (d.h. die Funktion) genu die elementre Form esitzt, in der er in der entsprechenden Formel ngegeen ist.

5 Einfche Integrtionsregeln C f ( ) = C f ( ) [ ] f ( ) ± g( ) = f ( ) ± g( ) 5 I = sin tn = 3 6 = + ln 4cos tn + C 3 I = dfür git es in der Telle keine Formel Umstellen! = C = + C 7 7 6

6 Berechnung der Integrle durch Umformung zu den elementren Grundintegrlen im Kp. 5. sin dz z cos z Würde sin z oder cos z lleine stehen, dnn wäre die Lösung der Aufge sehr leicht, d der Integrnd eine elementre Form wie in der Telle Kp. 5. hätte. Es geht lso drum den Integrnden so umzuformen, dß mn uf seine elementre Form (Grundintegrl) kommt. sin z + cos z sin z cos z dz = sin z sin z cos z + cos z sin z cos z dz = = dz dz + = tn z cot z + C cos z sin z = + = Potenzfunktion + Eponentilfunktion = C ln

7 - 7 - ) sin t dt =... = cot t + C ) sin t =...= + C sin t 3) sin t du =...= u sin t + C 4) ( ) =......= ln + rctn + C

8 Technik des Integrierens 5.4. Integrtion durch Sustitution Linere Sustitution ( 5 3). Methode: inomische Formel usrechnen ( ) = C. Methode: Sustitution z = 5-3. Schritt: dz = -3. Schritt: einsetzen 3 ( 5 3 ) ( ) = z dz = z = + C = ( ) = ( + ( ) ( ) ) = =

9 = 7 + C 7 Proe: ds Ergenis differenzieren

10 Bei den Grundintegrlen efindet sich ds Integrl: + Zu diesem soll ds gegeene Integrl geführt werden. 9 = rctn + C 45 5

11 zum Grundintegrl führen: = rcsin 5 = rcsin z + C = rcsin C

12 Integrle der Form ( ) f g( ) g ( ) Ds Integrl esteht us einem Produkt zweier Funktionen, wovon eine die Aleitung der nderen ist. z = g() dz = g () Dies ist eine sehr wichtige Sustitution. sin cos = ( ) f g( ) = sin g ( ) = cos sin = z cos = dz = z dz = z + C = sin + C Proe: ds Ergenis wird differenziert

13 Es wäre sehr günstig, wenn im Zähler die Aleitung 0-50 des Nenners stehen würde. Dnn könnte mn direkt sustituieren: mit = z erfolgt (0-50) = dz dz z z = z dz = + C = z + C Diese Aleitung ist er nicht unmittelr vorhnden; d jedoch im Zähler ein lineres (3) und ein solutes (-8) Glied uftreten, esteht die Möglichkeit den Zähler so umzuformen, dß der oen geäußerte Wunsch erfüllt wird: I wird dmit zu I = z + C = C

14 - 4 - Ds zweite Integrl wurde uf Seite ereits gelöst. I 5 = rcsin C Dmit läßt sich ds gesmte Ergenis ngeen: = + 50 I 5 I = 3 ( ) = + + C rcsin C = = + + rcsin C

15 Integrle der Form f '( ) f ( ) Wenn sich der Integrnd eines Integrls ls Bruch schreien läßt, in dessen Zähler die Aleitung des Nenners steht, dnn ist ds Integrl gleich dem ntürlichen Logrithmus des Betrges der Nenner- Funktion. f '( ) f = ln ( ) f ( ) + C mit f() = I = + dz = = z = ( + ) + C z ln ln + = z = dz I = + = rctn + C 3 3 ( ) = ln + + rctn + C

16 - 6 - ) =...= ln C ) =...= lnln + C ln 3) =... sin cos...= lntn + C 4) sin sin cos =......= lncot + C 5) =... sin...= lntn + C

17 Integrle der Form: Qudrtwurzeln us qudrtischen Ausdrücken ( ; ) f mit Sustitution: = sinz = cosz dz = cosz r = = C 4 + rcsin sin rcsin +

18 Prtielle Integrtion Die prtielle Integrtion siert uf der Produktregel der Differentilrechnung: ( u v) = u v + u v / eidseitige Integrtion üer führt zu : ( + ) = ( ) u v uv uv u v + uv = uv + C drus knn mn den Ausdruck uv erechnen: uv = uv + C u v Die Konstnte C wird weggelssen, d sie zur Integrtionskonstnten des nderen Integrls ddiert werden knn. uv = uv u v Schem der Integrtion: u v u v u u v v

19 - 9 - sin = ( cos ) ( cos ) = Zuerst muß die Entscheidung getroffen werden, welche Funktion zu u und welche zu v festgelegt wird. u = v = sin u = v = -cos = cos + cos = cos + sin + C Die Entscheidung drüer, welcher der eiden Fktoren für u und welcher für v verwendet wird, muß vorusschuend getroffen werden. Ds gleiche Beispiel noch einml: sin = sin cos u = sin v = sehr kompliziert führt lso nicht u = cos v = zum Ziel ln = ln = ln = Zuerst muß die Entscheidung getroffen werden, welche Funktion zu u und welche zu v festgelegt wird. u = ln v = = ln + C = u = v = = ln + C

20 e e 6 6 = C

21 Integrtion gerochenrtionler Funktionen Es ist ds Integrl zu erechnen. Um eine gerochenrtionle Funktion zu integrieren, muß zuerst eine Prtilruchzerlegung vorgenommen werden um dnch durch einfche Sustitution des Nenners uf Grundintegrle (Kp. 5.) zu kommen Nullstellen des Nenners = 3, = 5 6 A B = Nch der Lösung A =, B = = = ln 3 + 4ln 5 + C 8 + 5

22 I = = Der Integrnd ist eine unecht gerochenrtionle Funktion. Zuerst wird durch die Prtildivision eine echt gerochenrtionle und eine gnzrtionle Funktion hergestellt. ( ) : ( ) = = gerochen- rtionl gnzrtionl = ( 3 4)( 3) I ( ) 5 = dz 5 = z dz z 3 = ln ln 3 C 3-4 = z 3 = dz

23 I = Die Nennerfunktion esitzt die einfche Nullstelle = - sowie die doppelte Nullstelle,3 =. Der Anstz für die Prtilruchzerlegung lutet: A = B = C = A B C 3 + = + + ( ) + I = C 3ln 4ln

24 - 4 - I = = ln rctn + C

25 Ds estimmte Integrl 5.5. Der Begriff des estimmten RIEMANNschen Integrls. Ds estimmte Integrl ls Grenzwert einer Summenfolge A.: Zum Flächenprolem der Integrlrechnung Die Aufge: Flächeninhlt A zwischen y = ƒ(), -Achse im Intervll [, ] zu erechnen Flächen: A = f( 0 ) A = f( ) A k = f( k- ) k A n = f( n- ) n Der Flächeninhlt A ist nicht kleiner ls die Untersumme U n : A U n = A + A A n = f( 0 ) + f( ) + n k k = f( n- ) n = f ( ) k

26 - 6 - Bildet mn die Summe us A so folgt : A = f( ) A = f( ) A k = f( k ) k A n = f( n ) n der Flächeninhlt A ist dnn nicht größer ls die Oersumme O n : A O n = A + A A n = f( ) + f( ) f( n ) n = f ( ) n k = Mit zunehmender Verfeinerung der Zerlegung nehmen die Untersummen zu und die Oersummen. Beim Grenzüergng n streen Unter- und Oersumme gegen einen gemeinsmen Grenzwert. Diesen Grenzwert ezeichnet mn ls ds estimmte Integrl der Funktion ƒ() in den Grenzen von = is = : limu = limo = A = lim f ( ) = n n n n n k = k = f ( ) n Integrl von is üer f() k k k : untere Integrtionskonstnte (untere Grenze) : oere Integrtionskonstnte (oere Grenze) ƒ() : Integrnd

27 Der Grenzwert n lim f ( k ) n k = ist vorhnden, wenn der Integrnd ƒ() im Integrtionsintervll (, oder [ ; ] ) stetig ist. k A.: Anschuliche Interprettion des estimmten Integrls: Der Flächeninhlt vom schmlen Streifen entspricht näherungsweise dem Flächeninhlt da. Deutet mn ds Integrlzeichen selst ls eine Art verstümmeltes Summenzeichen, so knn ds estimmte Integrl f ( ) formle Summe sämtlicher zwischen = und = gelegener infinitesiml schmler Streifenflächen ufgefßt werden. ls Bernhrd Riemnn (86-866)

28 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Eigenschften des estimmten Integrls Die prktische Berechnung eines estimmten Integrls mit Hilfe der Grenzwertdefinition ist sehr umständlich und erfordert einen großen Areitsufwnd. Zur Berechnung eines estimmten Integrls f ( ) genügt die Kenntnis einer elieigen Stmmfunktion des Integrnden: [ ] f ( ) = F( ) = F( ) F( ) = = F( ) Die Berechnung des estimmten Integrls verläuft nch der Formel f ( ) = F( ) F( ) in drei Schritten:. Berechnung des unestimmten Integrls f ( ) und Ermittlung einer Stmmfunktion F(). Einsetzen der oeren und der unteren Integrtionsgrenze in die Stmmfunktion 3. Bildung der Differenz F() - F()

29 Mn knn nstelle von oder f ( ) eensogut uch f ( t) dt f ( z) dz oder f ( δ ) dδ schreien!!! Alle hier ufgeführten estimmten Integrle esitzen den Wert F() - F() Stz für eine gerde Funktion ls Integrnd f ( ) = f ( ) 0 wenn f(-) = -f() für lle im [- ; ] f ( ) = 0 wenn f(-) = f() für lle im [- ; ] f ( ) = 0 d F( ) = F( ) F( ) = 0 f ( ) = f ( ) Einige Regeln: c f ( ) = f ( ) + f ( ) für < c < c C f ( ) = C f ( ) ; C - Konstnte ( n ) = + + f ( ) f ( )... f ( ) f ( )... f ( ) n

30 ) ). Schritt: Ermittlung der Stmmfunktion F() 3 = + C F( ) = Schritt: F( ) = = = ( 3 3 ) π cos = 0 Geometrische Deutung des Ergenisses:

31 - 3-3) 5 5 ( + ) ( + ) D die Funktion f ( ) = nicht im gesmten Integrtionsereich [ -5 ; 5 ] stetig ist, knn ds vorliegende Integrl nicht gelöst werden. Es wird später uf die Lösung eingegngen. Geometrische Deutung: 4) e = Geometrische Deutung:

32 Integrtion mit Sustitution I. Methode π π 4 sin 5 cos Zuerst ds unestimmte Integrl 5 I = sin cos sin = z cos = dz I 6 z = z 5 dz = = 6 6 sin 6 π π π π 6 6 sin cos = sin = sin sin 6 π 6 4 π 4 = 6 6 = 6 = 6 = = 8 = 6 8 = 48 = ,

33 II. Methode Wenn mn sustituiert sin = z, so liefert die untere Grenze u = π 4 z u = und die oere Grenze o = π z o =, so dß ds estimmte Integrl für die Vrile in ds estimmte Integrl für die Vrile z üergeht. π π 4 sin cos 6 6 = z dz = z = 6 = = , Die zweite Methode ist rtionler (schneller) ls die erste, weil die Rücktrnsformtion entfällt. Bei der Umrechnung der Integrtionsgrenzen ist druf zu chten, dß die Sustitution im gesmten Integrtionsereich eine eindeutige Funktion liefert.

34 5.5.3 Ds uneigentliche Integrl Bei der Definition des RIEMANNschen Integrlegriffs wurde vorusgesetzt, dß: und - der Integrtionsereich [ ; ] endlich ist - der Integrnd ƒ() in I = [ ; ] eschränkt ist. Sind ei einem Integrl diese eiden Vorussetzungen nicht erfüllt, so spricht mn von einem u n e i g e n t l i c h e n Integrl. Mn unterscheidet dei die eiden Fälle: - uneigentliche Integrle mit uneschränktem Integrtionsereich = $ = $ (Kp ) - uneigentliche Integrle mit uneschränktem Integrnden ƒ() (Unstetigkeitsstelle) (kein normles Integrl, d Unstetigkeit) (Kp )

35 Uneigentliche Integrle mit uneschränktem Integrtionsereich A f ( ) = lim f ( ) Ds ht nur dnn einen Sinn, wenn der Grenzwert lim f ( ) eistiert. B f ( ) = lim f ( ) c C f ( ) = lim f ( ) + lim f ( ) c Hier müssen und unhängig voneinnder gegen - zw. streen Läßt mn sie gleichmäßig gegen gehen, so ezeichnet mn den entstehenden Wert ls CAUCHYschen Huptwert + D f ( ) = lim f ( ) k k k

36 Für A, B, C: Berechnungsvorschrift für die Ermittlung des uneigentlichen Integrls f ( ). Schritt Berechnung des Integrls f ( ) im [ ; ]. Schritt Bildung eines Grenzwertes für lim f ( )

37 ) 3 = lim = 3 Ds vorliegende uneigentliche Integrl konvergiert gegen. ) =

38 Uneigentliche Integrle mit uneschränktem Integrnden Wenn die Funktion ƒ() n der Stelle = c eine Unendlichkeitsstelle esitzt und sonst in den Teilintervllen lim f ( ) ε 0 + c ε [ ; c - ε ] und [ c + δ ; ] stetig ist und wenn die Grenzwerte lim f ( ) δ 0 + c+δ eistieren so ezeichnet mn die Summe dieser Grenzwerte ls uneigentliches Integrl der Funktion y = ƒ() im Intervll [ ; ] und schreit dfür c ε f ( ) = lim f ( ) + lim f ( ) ε 0 + δ 0 + c+ δ Die Grenzüergänge (ε,δ) sind hier unhängig voneinnder gewählt. Wählt mn die Grenzüergänge nicht unhängig voneinnder, sondern läßt mn die Annäherung gleichmäßig von eiden Seiten her n die Unendlichkeitsstelle erfolgen, so spricht mn uch hier vom CAUCHYschen Huptwert des uneigentlichen Integrls. c ε f ( ) = lim f ( ) + f ( ) ε 0 + c+ ε

39 Der Integrnd ht n der Stelle = 5 eine Unstetigkeit. Dher muß mn stückweise von is (5 - ε) und von (5 + ε) is 0 integrieren. Dei werden die Grenzüergänge [;(5 - ε)] und [(5 + ε);0] gleich gewählt (ε). D.h. mn erechnet den CAUCHYschen Huptwert. 0 5 ε 0 = lim ε ε 5 3 = NR: 5 3 = = ( ) = = = ~ 0, 3677

40 ln für > 0 0 lut CAUCHY 0 ln = lim ln = ε ε Hier ist die Unstetigkeitsstelle die Null, dher rucht nur ds zweite Glied der CAUCHYschen Gleichung erücksichtigt werden.

41 Geometrische Anwendungen der Integrlrechnung 5.6. Flächeninhlt eener Flächenstücke Flächen zwischen einer Kurve und einer Koordintenchse A.: Zum Flächeninhlt da = f ( ) ( + ) da = f ( ) A = da = f ( ) A = f ( ) im Intervll [ ; ] wenn > und f() < 0 f ( ) < 0

42 - 4 - Liegt der Flächeninhlt einer Fläche teils oerhl teils unterhl der -Achse, ist eine Zerlegung in mehrere Teilintegrle erforderlich. Die unter der -Achse liegende Fläche wird mit dem Betrg versehen. So wie der Flächeninhlt erechnet werden knn, der im Intervll I = [ ; ] von der -Achse und der Kurve y = ƒ() egrenzt wird, so läßt sich uch der Inhlt der Fläche zwischen der Kurve y = ƒ() und der y-achse ermitteln. Vorussetzung: Die Kurve muß im Bereich [ ; ] entweder - streng monoton steigen oder - streng monoton fllen A.: Flächeninhlt dmit eine eindeutige Auflösung der Funktionsgleichung y = ƒ() nch der Vrilen möglich ist. d ( ) A = dy = g y dy c d c dei ist c = ƒ() und d = ƒ() g(y) ist die Auflösung von y = ƒ() nch

43 Welchen Flächeninhlt esitzen die eiden endlichen Flächenstücke, die zwischen der -Achse und der kuischen Prel y = liegen? Nullstellen: = -, =, 3 = 3, = 0 y = 6 A = A + A = FE = FE 4 5 3

44 Flächeninhlt zwischen zwei Kurven y = f(), y = g() f() und g() sind stetig und es gilt f() g() da = f() - g() da = (f() - g()) A.: Zum Flächeninhlt [ ] A = f ( ) g( ) für f() g() Für den Fll, dß die -Achse im Flächeninhlt liegt: A.: -Achse liegt im Flächeninhlt knn mn ein neues Koordintensystem durch Prllelverschieung der -Achse einführen. Im neuen KS y = f() + C y = g() + C [( ( ) ) ( ( ) )] [ ( ) ( )] A = f + C g + C = f g

45 Für den Fll, dß sich die eiden Rndkurven im Intervll [ ; ] durchschneiden, ist die Fläche in Teilflächen zu zerlegen. A.: A = A + A = f f + f f = [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] = f f + f f

46 Flächenstück zwischen den eiden Kurven y ersten Qudrnten des KS. = n n und y = im Schnittpunkte: n n = n = n = 0 ( n ) = 0 = 0 A.: Flächeninhlt zwischen y = n und y = n n = = n n Es gilt >, so dß der Anstz lutet: n n A ( ) n n = = n n+ = + n + n 0 = = n = = + n n n + n n = FE n + II. Methode: 0 n ( ) A = 0 n oder = ( ) A

47 Flächeninhlt der von den Funktionen y = sin und y = cos eingeschlossenen Teilfläche zwischen den ersten eiden Schnittpunkten im ersten und vierten Qudrnten. A = FE

48 Bogenlänge eener Kurven A.: Bogenlänge eener Kurven Ds Bogenelement ds: ( ) ( ) ds = + dy ds Drus folgt: dy = + oder ds dy = + dy dy ds = + oder ds = + dy dy s = ds oder s = ds d c oder s = + y s d = + dy dy c

49 Wenn die Funktion in Prmeterdrstellung vorliegt, gilt: = (t) und y = y(t) y = y& &, woei &y und & Aleitungen nch dem Prmeter t sind. (t), y(t) & =, y dt & = dy dt dy dy dy dt y = = = dt = dt dt y& & so dß ds y = + dt & & = & & + y& & & dt ds = & + y& dt wird und somit die Bogenlänge nch der Formel t s = & + y& dt t erechnet werden knn.

50 Wenn die Kurve in Polrkoordinten in der Form r = r(ϕ) gegeen ist, so knn mn die Trnsformtionsformeln y = = r( ϕ)cosϕ r( ϕ)sinϕ ls Gleichung der Kurve in Prmeterdrstellung mit dem Prmeter ϕ uffssen. A.: Polrkoordinten r, ϕ eines Punktes P(,y) r > 0: r ist stets positiv ϕ [0 ;360 ] zw. ϕ [0,π] Bezeichnungen: Koordintenursprung 0: -Achse: Pol Polrchse Trnsformtionsgleichungen: = r cos ϕ r = + y zw. y = r sin ϕ tnϕ = y

51 - 5 - Es gilt: = r cos ϕ y = r sin ϕ r = r(ϕ) dϕ dr = & = cos ϕ + r( ϕ) ( sin ϕ ) = r sin ϕ + r& cosϕ dϕ dy dϕ dr = y& = sin ϕ + r( ϕ ) cosϕ = r cos ϕ + r& sinϕ dϕ & + y& = r sin ϕ r r& sinϕ cos ϕ + r& cos ϕ + + r cos ϕ + r r& sinϕ cos ϕ + r& sin ϕ & + y& = r + r& Dmit wird die Bogenlänge von Kurven, die in Polrkoordintendrstellung in der Form r = r(ϕ) gegeen sind, folgendermßen erechnet: ϕ s = r + r& dϕ ϕ ; mit &r dr = d ϕ Für Kurven, die in Polrkoordinten in der Form sind, erhält mn: ϕ = ϕ(r) gegeen r s = + r ϕ& dr r

52 - 5 - Wie lng ist der Prelogen, der im ersten Qudrnten von der Prel y = für [0;6] geildet wird? Lösung: Mit y = ( ) = in die Formel s = + y = + = + = = ständig Sckgsse! Aus dem Grund, Berechnung von A us der Umkehrfunktion. y = = y dy = y u = 0 y u = 0 o = 6 y o = 4 d s = + dy c dy ( ( ) ) = ln = 33, 6373 LE

53 Wie groß ist der Umfng des in sich geschlossenen Kurventeils, der durch die Prmeterdrstellung = t, y = t t 3 3 gegeenen Kurve? s = 4 3 LE

54 Volumen und Mntelfläche von Rottionskörpern Volumen eines Rottionskörpers Der Rottionskörper läßt sich in schmle Kreisscheien zerlegen, die senkrecht zur -Achse liegen dv = π y dv π f ( ) im Intervll [ ; ] ( ) = π V = dv = y Rotiert die Kurve y = f() um die y-achse, ist es erforderlich, dß die Gleichung y = f() nch ufgelöst wird: = f - (y) siehe A. 3 V = dy y Für die Funktion in Prmeterdrstellung gilt: t V = π [ y( t) ] &( t) dt t d c [ ] V = π ( t) y&( t) dt y t t 4 3 Für Kurven in Polrkoordinten gilt: ( ) V = π r sin ϕ r&cosϕ r sinϕ dϕ ( ) V = r π cos ϕ r&sinϕ + r cosϕ dϕ y ϕ ϕ ϕ ϕ

55 Mntelfläche eines Rottionskörpers Die schrffierte Fläche der Kreisscheien stellt die Teilfläche der Mntelfläche des Rottionskörpers dr. A.: Zur Mntelfläche da M = πy ds Fläche Höhe Kreisfläche ds ( π r) (ds) () + (dy) dmit dam = π y + y ei Rottion um die -Achse und ei Rottion um die y-achse damy = ds = + π π dy dy Die Mntelfläche der Kurve y = f() ei Rottion um die -Achse: AM = π y + y Bei Rottion um die y-achse: A My d = + π dy c dy

56 Wenn die Kurvengleichung in Prmeterdrstellung gegeen ist: A = π y( t) + y & & dt M t t A = π ( t) + y & & dt My t t Bei Kurven in Polrkoordinten gilt: ϕ AM = π r sin ϕ r + r & dϕ ϕ ϕ AMy = r r + r π cos ϕ & dϕ ϕ Bemerkung: Oerfläche = Mntelfläche + Grundfläche + Deckfläche

57 y Die oere Hälfte der Ellipse + =, > mit den Hlchsen, rotiert um die -Achse. Berechne ds Volumen und die Mntelfläche. Bild: A. Volumen: y = ( ) V = y = π V = 4 π 3 4 Für = = R ist der Rottionsellipsoid die Kugel: V = π R 3 3

58 B. Oerflächenerechnung: Die Oerfläche eines Rottionsellipsoiden ht nur eine Mntelfläche, keine Grund- und Deckfläche. y = y = AM = y + y = π π + rcsin