1 Kurven und Kurvenintegrale

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1 1.1 Kurven Kurven sind eindimensionle geometrische Ojekte. In der Mechnik kommen Kurven z.b. ls Bhnen von Mssenpunkten vor. Dünne Stngen, Drähte oder Seile werden in der Regel ls Kurven idelisiert. In der Geometrie treten Kurven ls Ränder von Flächen uf Prmeterdrstellung Beispiel 1: Schiefer Wurf Ein Mssenpunkt wird mit der Anfngsgeschwindigkeit v unter dem Anfngswinkel α geworfen. Für die Bewegung in -Richtung gilt: t=v cost e v r(t) Für die Bewegung in -Richtung gilt: α e t=v sin t 1 g t Der Ortsvektor r(t) ist lso gegeen durch r t=v cos t e v sin t 1 g t e. Die Koordinten hängen von der Zeit t. Der Ortsvektor ist eine Funktion des Prmeters t. Beispiel : Schruenlinie Ein Punkt ewege sich uf einer Schruenlinie mit Rdius r. Der Höhengewinn pro Umluf sei h. Dnn gilt für seine Koordinten: z t = r cost t = r sint z t = h t h Durchläuft der Prmeter t den Werteereich von t= is t=, ist ein Umluf vollendet. Der Ortsvektor ist gegeen durch r t=r coste r sint e h t e z. 1. Eine stetige Aildung r :[,] R n heißt ein Weg im R n. FH Lndshut 1-1 Prof. Dr. Wndinger

2 . Der Werteereich des Weges r wird eine Kurve gennnt. Die Kurve ist lso die Menge der Punkte =r t mit t. Diese Gleichung heißt Prmeterdrstellung der Kurve. 3. r wird ls Anfngspunkt un ls Endpunkt der Kurve ezeichnet. z r(t) t R In Koordinten lutet die Prmeterdrstellung einer Kurve im R n : 1 t = r 1 t t = r t n t = r n t mit t [, ] Kurven im R werden ls eene Kurven und Kurven im R 3 ls räumliche Kurven ezeichnet. Eine Kurve im R n eschreit z.b. die zeitliche Entwicklung eines phsiklischen Sstems mit n Freiheitsgrden. Funktionsgrphen Jeder Funktionsgrph einer stetigen Funktion Aus = f folgt die Prmeterdrstellung =t, = f t für t [,]. f :[, ]R definiert eine eene Kurve. Nicht jede eene Kurve lässt sich ls Funktionsgrph drstellen, d eine Kurve n der Stelle mehrere verschiedene Werte für hen knn. = f() Drstellung ls Funktionsgrph möglich Drstellung ls Funktionsgrph nicht möglich FH Lndshut 1- Prof. Dr. Wndinger

3 Es sei r :[,] R n ein Weg. 1. Gilt r t 1 =r t für t 1 t, so wird der Punkt 1 =r t 1 ls Doppelpunkt ezeichnet. Ein Weg ohne Doppelpunkte im Intervll [, ) heißt doppelpunktfrei oder einfch. Die zugehörige Kurve wird Jordnkurve gennnt.. Gilt r =r, so heißt der Weg geschlossen. 3. Eine geschlossene Jordnkurve wird von einem geschlossenen doppelpunktfreien Weg erzeugt. Zusmmengesetzte Kurven Kurven können uch schnittsweise definiert werden. Dzu wird ds Intervll [, ] in m Teilintervlle zerlegt: [, ]=[t, t 1 ] [t 1,t ] [t,t 3 ] [t m 1,t m ] t =,t m = Auf jedem Intervll ist ein Weg r i :[t i 1, t i ]R n definiert. Dei müssen die Anschlussedingungen r i t i =r i1 t i erfüllt sein. Durch r :=r i t für t [t i 1,t i ],,,m ist ein Weg uf gnz [, ] definiert, der ls Summe der Wege r i ezeichnet wird. Beispiel 3: Streckenzüge Seien P und P 1 zwei Punkte mit den Ortsvektoren r und r 1. Die Verindungsstrecke [r, r 1 ] zwischen den eiden Punkten ht die Prmeterdrstellung r t=r r 1 r t, t [, 1]. r(t) r r 1 Ein Streckenzug ist eine Vereinigung von endlich vielen Strecken [r, r 1 ],[r 1, r ],,[r m 1, r m ]. Die Prmeterdrstellung lutet r t=r i 1 r i r i 1 t i1 für t [i 1,i ] r r 1 r r 3 FH Lndshut 1-3 Prof. Dr. Wndinger

4 1.1. Tngentenvektor Der Verindungsvektor zwischen zwei Punkten P 1 und P einer Kurve wird ls Sekntenvektor ezeichnet. Wenn der Punkt P gegen den Punkt P 1 stret, so ergit sich ls Grenzwert der Tngentenvektor im Punkt P 1. P 1 P 1 r(t 1 ) r 1 r(t 1 ) dr/ z P z r(t ) Sekntenvektor: r 1 =r t r t 1 Mit t=t t 1 folgt: r 1 =r t 1 t r t 1 Tngentenvektor: = lim r tt r t t t In Komponenten gilt Drus folgt = lim t tt t e t = d e d e dz e z. tt t e t z tt z t e t z. Wenn die Kurve die Bewegung eines Mssenpunktes eschreit und ls Kurvenprmeter die Zeit gewählt wird, dnn entspricht der Tngentenvektor der Geschwindigkeit des Mssenpunktes. Beispiel: Schruenlinie Die Prmeterdrstellung der Schruenlinie lutet r t=r cost e r sint e h t e z. Drus folgt für den Tngentenvektor: = r sinte r cost e h e z FH Lndshut 1-4 Prof. Dr. Wndinger

5 1. Ein Weg r :[,] R n heißt stetig differenzierr, wenn der Tngentenvektor uf [, ] eistiert und stetig ist. Ist r ein geschlossener Weg, so wird zusätzlich / = / gefordert.. Ein Weg r :[,] R n heißt gltt, wenn er stetig differenzierr ist und sein Tngentenvektor in keinem Punkt t [, ] verschwindet. Eine Kurve heißt gltt, wenn sie von einem gltten Weg erzeugt wird. Eine gltte Kurve ht in jedem Punkt einen Tngentenvektor, dessen Länge nicht verschwindet. Eine gltte Kurve ht dher keine Ecken. Für eine gltte Kurve lässt sich in jedem Punkt ein Tngenteneinheitsvektor ilden: T r = mit = n d i 1. Ein Weg r :[,] R n heißt stückweise stetig differenzierr, wenn er Summe endlich vieler differenzierrer Wege r i ist.. Ein Weg r :[,] R n heißt stückweise gltt, wenn er Summe endlich vieler gltter Wege r i ist. 3. Eine Kurve heißt stückweise stetig differenzierr zw. stückweise gltt, wenn sie von einem stückweise stetig differenzierren zw. stückweise gltten Weg erzeugt wird Bogenlänge Um die Länge einer Kurve zu definieren und zu erechnen, wird die Kurve durch Streckenzüge pproimiert. Sei r :[,] R n ein elieiger Weg und Z ={[t, t 1 ],[t 1, t ],,[t m 1,t m ]}, t =,t m = eine Zerlegung des Intervlls [, ] in Teilintervlle. Diese Zerlegung definiert einen Streckenzug S Z r={[r t, r t 1 ],[r t 1,r t ],,[r t m 1, r t m ]}. Die Länge des Streckenzuges ist definiert durch m L Z r := r t r t i 1 i. Wird die Zerlegung durch Hinzunhme weiterer Teilungspunkte verfeinert, so nimmt die Länge wegen der Dreiecksungleichung zu. FH Lndshut 1-5 Prof. Dr. Wndinger

6 P 8 P 7 P 6 P 3 P P 5 P 4 P 1 Z 1 ={[t, t ],[t, t 4 ],[t 4, t 6 ],[t 6, t 8 ]} Z ={[t, t 1 ],[t 1, t ],[t, t 3 ],[t 3, t 4 ], [t 4, t 5 ],[t 5, t 6 ],[t 6, t 7 ],[t 7, t 8 ]} L Z r L Z 1 r Je mehr Teilungspunkte gewählt werden, desto esser wird die Kurve durch den Streckenzug pproimiert. P Stz: 1. Die Bogenlänge eines Weges r :[,] R n ist definiert durch L r =sup L Z r. Z. Ein Weg heißt rektifizierr, wenn seine Bogenlänge endlich ist. 3. Die Bogenlänge einer Kurve ist gleich der Bogenlänge des sie erzeugenden Weges. Jeder stetig differenzierre Weg ist rektifizierr. Beweis: Zu zeigen ist, dss die Menge { L Z r } Für eine elieige Zerlegung ist L Z r = m m r t i r t i 1 = i =1 eschränkt ist. n k t i k t i 1. k =1 D der Weg stetig differenzierr ist, folgt us dem Mittelwertstz der Differenzilrechnung: Mit k t i k t i 1 = d k k k i t i t i 1 für i [t i 1,t i ]. M k =m t [, ] d k n M = M k k=1 wr. n t folgt weiter k t i k t i 1 k =1. Drus folgt schließlich L z r m n k =1 M t i t i 1 =M M k t i t i 1 =M t i t i 1 mit, ws zu eweisen FH Lndshut 1-6 Prof. Dr. Wndinger

7 Stz: Die Bogenlänge eines stetig differenzierren Weges ist L r = t. Beweisskizze: Für eine elieige Zerlegung gilt L z r= m m r t i r t i 1 = n k t i k t i 1. k =1 Mit dem Mittelwertstz der Integrlrechnung und t i =t i t i 1 gilt k t i k t i 1 = d k Für t i folgt: m L z r i k t i = n d k k =1 d i t d k m t i = t i d k t i i k d k t i t i. t i = Lr Beispiel: Schruenlinie Der Tngentenvektor der Schruenlinie = r sinte r cost e h e z. Er ht den Betrg = r sin t r cos t h L= r r t=r coste r sint e h t e z = r h Dmit erechnet sich die Bogenlänge für t [, ] zu h = r h.. ist Prmetertrnsformtion Sei r :[,] R n ein stetig differenzierrer Weg und :[c, d ][, ] eine stetig differenzierre Funktion mit d /d. Dnn ist uch r=r :[c,d ]R n ein stetig differenzierrer Weg. Dei gilt: r =r =r t Beide Wege erzeugen die gleiche Kurve. r t t R c τ r d R FH Lndshut 1-7 Prof. Dr. Wndinger

8 Für die Tngentenvektoren folgt: d r d = d d d = d d Die Tngentenvektoren hen die gleiche Richtung, er unterschiedliche Länge. Die Tngenteneinheitsvektoren eider Wege stimmen üerein. Ntürliche Prmeterdrstellung Ist r :[,] R n ein gltter Weg, so ist t s= d =:t die Bogenlänge des Wegstückes, ds zum Teilintervll [, t] gehört. Die Funktion s=t ist stetig differenzierr mit d =. Sie eschreit dher eine Prmetertrnsformtion :[, ] [, L] mit L=L r. Die Prmeterdrstellung r N s=r 1 s, s [, L] wird ls ntürliche Prmeterdrstellung der Kurve ezeichnet. Die Bogenlänge s heißt ntürlicher Prmeter oder Bogenlängenprmeter. Für den Tngentenvektor gilt: T = N ds = Für seine Länge folgt T =1. ds = d = Die ntürliche Prmeterdrstellung ist vor llem für theoretische und geometrische Untersuchungen nützlich. 1. Kurvenintegrle 1..1 Sklrfelder und Vektorfelder Sei D eine nicht leere Teilmenge des Rumes R n : D R n Eine reellwertige stetige Funktion : D R mit der Funktionsgleichung = heißt ein Sklrfeld. Die Menge D wird ls Definitionsereich (engl. domin) ezeichnet. Die Menge W = { = } R wird ls Werteereich (engl. rnge) ezeichnet. FH Lndshut 1-8 Prof. Dr. Wndinger

9 Beispiel: Die Temperturverteilung in einem Körper und die Druckverteilung in einer Flüssigkeit sind Sklrfelder üer einer Menge D R 3. Eine stetige Aildung V : D R n mit der Funktionsgleichung v=v heißt ein n- dimensionles Vektorfeld. Der Werteereich ist die Menge W = {v v=v } R n. Beispiel: Die Geschwindigkeitsvektoren einer Strömung, ds elektrische und ds mgnetische Feld sind 3-dimensionle Vektorfelder. Grdient eines Sklrfeldes Sei D eine gltte Kurve, die durch den Weg r :[,] D erzeugt wird, d.h. ={ =r t }, und : D R ein Sklrfeld. Dnn ist f := r :[, ]R eine gewöhnliche Funktion mit der Funktionsgleichung f t= r t. R Mit der Kettenregel gilt für die Aleitung: n df = i =1 d i i = n n i e i i =1 d i i e 1 r R Ds Vektorfeld n grd:= i e i heißt Grdient des Sklrfeldes. Mit dem Tngentenvektor n = i =1 d i e i nimmt die Aleitung der Funktion n. df =grd f die Form Jedes Sklrfeld erzeugt üer die Grdientenildung ein Vektorfeld. FH Lndshut 1-9 Prof. Dr. Wndinger

10 Ds Sklrfeld heißt Potenzil des Vektorfeldes V =grd. Beispiel: Die Funktion, = uf der Menge D=R. Der Grdient erzeugt ds Vektorfeld V =grd= e e. Der Weg Ihre Aleitung ist definiert ein Sklrfeld r 1 t=t, t, t [ 1, 1] definiert die Funktion f 1 t = r 1 t =t. df 1 =4 t=grd 1 = t e t e e e. grd Der Weg r t=cost,sin t, t [, ] definiert die Funktion Ihre Aleitung ist f t = r t=cos tsin t=1. =const. df == coste sin t e sinte coste. Auf dem Weg r ist die Funktion konstnt. Die zugehörige Kurve ist eine Höhenlinie. Der Grdient steht senkrecht uf der Höhenlinie. 1.. Kurvenintegrle, deren ntürliche P- Es sei : =r t, t eine stückweise gltte Kurve im R n rmeterdrstellung durch =r N s, s L t gegeen ist. Dei gilt st= d und ds =. Außerdem sei : D R n R ein Sklrfeld und V : D R n R n ein Vektorfeld. Ds Kurvenintegrl eines Sklrfeldes ist definiert durch L ds := r N sds= r t t. Ds Kurvenintegrl eines Vektorfeldes ist definiert durch FH Lndshut 1-1 Prof. Dr. Wndinger

11 L V d := V r N s T sds= V r t t. Wird die Kurve in umgekehrter Richtung durchlufen, so ändert sich ds Vorzeichen des Kurvenintegrls des Vektorfeldes, während ds Kurvenintegrl des Sklrfeldes sein Vorzeichen eiehält. Anwendungen: 1. Für ein Krftfeld F git ds Kurvenintegrl die Areit n, die ds Krftfeld n einem Mssenpunkt verrichtet, der sich entlng der Kurve ewegt.. Für ein Geschwindigkeitsfeld v wird ds Kurvenintegrl entlng einer geschlossenen Kurve ls Zirkultion ezeichnet. Der Auftrie eines Trgflügelprofils ist proportionl zur Zirkultion entlng einer geschlossenen Kurve, die ds Profil umschließt. Beispiel: Gegeen ist ds Vektorfeld V = r e r e z r e z mit r = z sowie die Kurven und 1 :r 1 =cos t e sin t e, t :r = e t e z, t. Die Tngentenvektoren sind 1 = sin t e coste und =e z. Die Kurvenintegrle erechnen sich zu und V d = cos t e sin t e sint e cost e 1 = V d = Weitere Definitionen: 1. L V ds := costsintsintcos t = 4t e t 4t z e e z = V r N sds= V r t t t 4t = 1 [ ln4t 1 ] = ln 4 4. FH Lndshut 1-11 Prof. Dr. Wndinger

12 . 3. L d := L V d := r N st sds= r t t V r N s T sds= V r t t im R3 Diese vektoriellen Kurvenintegrle werden komponentenweise erechnet. Wird die Kurve in umgekehrter Richtung durchlufen, so ehält ds erste Kurvenintegrl sein Vorzeichen ei, während die nderen eiden Kurvenintegrle ihr Vorzeichen ändern Potenzil Besonders einfch lssen sich Kurvenintegrle erechnen, wenn ds Vektorfeld ein Potenzil esitzt. Sei ds Potenzil des Vektorfeldes V =grd uf D R n und r :[,] D ein stetig differenzierrer Weg, der die Kurve erzeugt. Dnn gilt: V d = V r t = t = grdr t t d r t= r r Der Wert des Integrls hängt nur vom Anfngspunkt r und vom Endpunkt r der Kurve, nicht jedoch vom Verluf der Kurve. Ds Kurvenintegrl eines Vektorfelds V heißt wegunhängig, wenn sein Wert nur vom Anfngs- und Endpunkt hängt, nicht jedoch von der verindenden Kurve. Ein Vektorfeld, ds ein Potenzil esitzt, heißt konservtiv. Kurvenintegrle von konservtiven Vektorfeldern sind wegunhängig. D es ei wegunhängigen Kurvenintegrlen nicht uf die Kurve nkommt, die Anfngsund Endpunkt verindet, werden sie uch in der Form V d = V d 1 geschrieen, woei 1 der Anfngs- und der Endpunkt der Kurve ist. Folgerung: Für ein konservtives Vektorfeld sind lle Kurvenintegrle üer geschlossene Kurven null: V d = FH Lndshut 1-1 Prof. Dr. Wndinger

13 Es soll nun untersucht werden, o uch die Umkehrung gilt, d.h. o ein Vektorfeld ein Potenzil esitzt, wenn lle Kurvenintegrle wegunhängig sind. Dzu muss die Menge, uf der ds Vektorfeld definiert ist, gewisse Anforderungen erfüllen. Eine offene Menge G R n heißt zusmmenhängend, wenn je zwei Punkte in G durch eine Kurve in G verunden werden können. Eine offene zusmmenhängende Menge wird ls Geiet ezeichnet. Sei V :G R n R n ein uf dem Geiet G definiertes Vektorfeld, dessen Kurvenintegrle wegunhängig sind. Sei weiter G ein elieiger, fest gewählter Punkt us G. Dnn ist die Funktion = V d ein Sklrfeld uf G. Die Kurve, die die Punkte und verindet, knn so gewählt werden, dss sie in einer Umgeung von prllel zur i-ten Koordintenchse verläuft. In dieser Umgeung ht sie die Prmeterdrstellung r t= t e i, t mit dem i-ten Einheitsvektor e i gilt: h e i = 1 h e i V d h h h = 1 h V t e i e i = 1 h. Für ein h mit h h V i t e i Nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung git es ein, h, für ds h V i t e i =h V i e i gilt. Für h folgt drus: i =V i D die Koordintenchse elieig gewählt wr, gilt grd =V, d.h. ds Sklrfeld ist ein Potenzil des Vektorfeldes V. e i G i Ist ein nderes Potenzil von V, dnn gilt = V d = grd d =, FH Lndshut 1-13 Prof. Dr. Wndinger

14 d.h. = =c. Die eiden Potenzile unterschieden sich nur durch eine Konstnte. Der Kurvenhuptstz fsst die gefundenen Ergenisse zusmmen: Stz: 1. Ein Vektorfeld V :G R n uf einem Geiet G R n esitzt genu dnn ein Potenzil :G R, wenn die Kurvenintegrle von V wegunhängig sind.. Ds Potenzil ist is uf eine dditive Konstnte eindeutig durch ds Vektorfeld V estimmt. Integrilitätsedingung Es wurde gezeigt, dss ein Vektorfeld konservtiv ist, wenn seine Kurvenintegrle wegunhängig sind. Die Erfüllung dieser Bedingung ist im konkreten Fll jedoch schwer nchprüfr. Für differenzierre Vektorfelder lässt sich ein einfcheres Kriterium ngeen. Sei V ein uf dem Geiet G R n definiertes Vektorfeld, ds ds Potenzil esitzt. Dnn gilt: Drus folgt: V i = i,,, n V i = = = V j j j i i j i Die Integrilitätsedingungen V i = V j, i, j=1,, n j i sind eine notwendige Bedingung dfür, dss ein Vektorfeld konservtiv ist. Beispiel: Im R 3 luten die Integrilitätsedingungen: V V z V z Ds Vektorfeld V V z V z = = = rot V = V z V z e V z V z e V V e z FH Lndshut 1-14 Prof. Dr. Wndinger

15 wird ls Rottion des Vektorfeldes V ezeichnet. Die Integrilitätsedingungen verlngen lso, dss die Rottion verschwindet: rot V = O die Integrilitätsedingungen uch hinreichend sind, hängt von den Eigenschften des Geietes. Ein Geiet heißt einfch zusmmenhängend, wenn sich jede im Geiet enthltene geschlossene Kurve stetig uf einen Punkt zusmmenziehen lässt. Beispiele: Einfch zusmmenhängende Geiete im R Nicht einfch zusmmenhängende Geiete im R Im R 3 ist z.b. ds Innere einer Kugel ein einfch zusmmenhängendes Geiet, während ds Innere eines Torus kein einfch zusmmenhängendes Geiet ist. Eenflls einfch zusmmenhängend ist ds Geiet, ds durch die Oerflächen zweier Kugeln egrenzt wird, von denen die kleinere Kugel sich gnz im Innern der größeren Kugel efindet. Es lässt sich zeigen, dss für einfch zusmmenhängende Geiete die Integrilitätsedingungen uch hinreichend dfür sind, dss ds Vektorfeld konservtiv ist. Stz: Ein stetig differenzierres Vektorfeld V :G R n uf einem einfch zusmmenhängenden Geiet G R n esitzt genu dnn ein Potenzil, wenn seine Komponenten die Integrilitätsedingungen erfüllen. V i = V j, i, j=1,, n j i Ds Potenzil ist is uf eine dditive Konstnte eindeutig durch ds Vektorfeld estimmt. Beispiel: Betrchtet wird ds Vektorfeld FH Lndshut 1-15 Prof. Dr. Wndinger

16 V, = e e, G=R { }. Zunächst wird üerprüft, o die Integrilitätsedingungen erfüllt sind: V = = = V = = Die Integrilitätsedingungen sind erfüllt. = Ds Geiet G ist jedoch nicht einfch zusmmenhängend. Geschlossene Kurven um den Nullpunkt lssen sich nicht stetig uf einen Punkt zusmmenziehen. Dher ht ds Vektorfeld im Geiet G kein Potenzil. Kurvenintegrle üer geschlossene Kurven um den Nullpunkt sind von null verschieden. Ds Geiet G =R {, } ist einfch zusmmenhängend. Auf G ht ds Vektorfeld ein Potenzil. Kurvenintegrle üer geschlossene Kurven, die die negtive -Achse nicht schneiden, sind dher null. Allgemein lässt sich us dem Geiet G ein einfch zusmmenhängendes Geiet G gewinnen, indem eine vom Nullpunkt usgehende Kurve vom Geiet gezogen wird, d.h. G =R. Drus folgt, dss ds Kurvenintegrl üer jede geschlossene Kurve, die den Nullpunkt nicht umschließt, null ist. Dmit lässt sich zeigen, dss ds Kurvenintegrl üer jede geschlossene Kurve, die den Nullpunkt umschließt, den gleichen Wert ht. FH Lndshut 1-16 Prof. Dr. Wndinger