In diesem Kapitel soll untersucht werden, wann umgekehrt zu einer solchen Funktion f eine Funktion F existiert mit grad F = f T, d.h.

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1 9 2 Wegintegrle 2. Vorbemerkungen Die Ableitung einer differenzierbre Funktion F : IR n IR ist durch f T = grd F gegeben. In diesem Kpitel soll untersucht werden, wnn umgekehrt zu einer solchen Funktion f eine Funktion F existiert mit grd F = f T, d.h. wnn f ein Grdientenfeld ist und mn die Differentition umkehren knn. F heißt dnn nlog zum eindimensionlen Fll Stmmfunktion und F Potentil von g. Dzu untersuchen wir zunächst Kurven im IR n. Die Definition des Wegintegrls benutzt (Riemnn-)Integrle von Funktionen einer Vriblen. Dieses Integrl knn uf verschiedene Weise definiert werden, je nchdem, welche Eigenschft der pproximierenden Folge im Vordergrund steht. Allen gemeinsm ist diesen Definitionen die Betrchtung von Zerlegungen Z := (,,..., m ) mit = < <... < m = b eines kompkten Intervlls [, b] IR mit Feinheit Z := mx k m k k und die Beschränkung uf beschränkte Funktionen f : [, b] IR. Definition 2.. f : [, b] IR heißt Regelfunktion, wenn f Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge von uf [, b] definierten Treppenfunktionen ist. Für eine Treppenfunktion ϕ mit zugehöriger Zerlegung Z und ϕ(x) = c k für x ( k, k ), k m, sei und für f = lim l ϕ l b ϕ(x) dx := c k ( k k ), b f(x) dx := lim l b ϕ l (x) dx (Regelintegrl). Ntürlich existiert ds Regelintegrl für Regelfunktionen und der Wert ist unbhängig von der Auswhl der gegen f gleichmäßig konvergenten Folge von Treppenfunktionen.

2 2. Wegintegrle 2 Definition 2..2 Für eine beschränkte Funktion f : [, b] IR und eine Zerlegung Z von [, b] heißt U(f, Z) := ( inf f(x)) ( ( k k ), O(f, Z) := sup f(x) ) ( k k ) x [ k, k ] x [ k, k ] die Unter- bzw. Obersumme von f bezüglich Z und b { } f(x) dx := sup U(f, Z); Z Zerlegung von [, b] b } f(x) dx := inf{o(f, Z); Z Zerlegung von [, b] unteres Drboux-Integrl, oberes Drboux-Integrl f heißt in [, b] Drboux-integrierbr genu dnn, wenn oberes und unteres Drboux-Integrl gleich sind, d.h. b f(x) dx = b f(x) dx =: b f(x) dx.. Die Existenz der Drboux-Integrle sichert Stz 2..3 Für eine beschränkte Funktion f : [, b] IR, beliebige Zerlegungen Z, Z 2 von [, b] und eine Verfeinerung Z von Z (mit mehr Zwischenpunkten) gilt () U(f, Z ) U(f, Z ) O(f, Z ) O(f, Z ), (b) U(f, Z ) O(f, Z 2 ), (c) b f(x) dx b f(x) dx. (d) f ist Drboux-integrierbr genu dnn, wenn es zu jedem ɛ > eine Zerlegung Z gibt mit O(f, Z) U(f, Z) < ɛ. Definition 2..4 Sei f : [, b] IR beschränkt, Z eine Zerlegung von [, b]. Weiter sei beliebig gewählt. Dnn heißt x = (ξ,..., ξ m ) mit ξ k ( k, k ), k m, S(f, Z, x) := f(ξ k ) ( k k ) Riemnn-Summe, eine Folge ( S(f, Z l, x l ) ) mit lim l IN Z l = Riemnn-Folge. l f heißt in [, b] Riemnn-integrierbr genu dnn, wenn jede Riemnn-Folge konvergiert. Der (gemeinsme) Grenzwert wird mit b f(x) dx bezeichnet. Stz 2..5 Sei f : [, b] IR beschränkt. Dnn gilt: () f ist Drboux-integrierbr genu dnn, wenn f Riemnn-integrierbr ist, und die Werte beider Integrle sind gleich. (b) Jede Regelfunktion ist Riemnn-integrierbr, und der Wert des Regelintegrls ist gleich dem Wert des Riemnn-Integrls.

3 2. Wegintegrle Die Bogenlänge Beknntlich heißt eine in einem Intervll I IR stetige Funktion : I IR n Kurve oder (wie wir im folgenden sgen werden) Weg im IR n, und rektifizierbre Wege hben eine Kurvenlänge bzw. Weglänge, die mn bei stetig differenzierbren Wegen reltiv einfch berechnen knn. Dvon soll im folgenden die Bildmenge eines Weges unterschieden werden, die wir Bogen nennen wollen. Ein Weg ist lso eine Funktion, ein Bogen eine Punktmenge im IR n, und der zu dem Weg : I IR n gehörende Bogen ist Γ := (I). Zu einem Bogen knn mn leicht Wege finden, die den Bogen mehrfch durchlufen (lso nicht injektiv sind), und dnn ist die Weglänge sicher uch ein mehrfches der Länge des Bogens. Ist eine Punktmenge Bogen verschiedener injektiver Wege, dnn sollten nschulich lle Weglängen gleich sein und die Länge des Bogens beschreiben. Definition 2.2. Sei I IR ein Intervll, : I IR n ein Weg und Γ der zugehörige Bogen. Gibt es einen injektiven Weg : I IR n mit (I ) = Γ, dnn heißt der Weg Jordn-Weg und Γ Jordn-Bogen. heißt uch Jordn-Drstellung von Γ. Bemerkungen () Durch eine Jordn-Drstellung : [, b] IR n erhält ein Jordn-Bogen eine Orientierung durch (t ) < (t 2 ) t < t 2. (2) Jordn-Bögen sind nch Definition doppelpunktfrei, wobei wir geschlossene Jordn-Bögen mit Drstellung : [, b] IR n und () = (b) zulssen wollen. Ein Jordn-Bogen knn ntürlich mehrere Jordn-Drstellungen hben und drüber hinus Weg- Drstellungen, die nicht Jordn-Wege sind. Im folgenden wird gezeigt, dß lle Jordn-Drstellungen eines Bogens dieselbe Weglänge hben. (3) Anschulich ist klr, ws mit einem Bogen gemeint ist. Dß mn sich nicht uf die Anschuung stützen, geschweige denn verlssen knn, zeigt ds Beispiel der flächenfüllenden Kurven. Peno stellte 89 erstmls eine solche Kurve vor, d.h. eine uf einem reellen Intervll definierte und stetige Funktion, deren Bild lle Punkte eines Qudrts enthält. Zwr hben Jordn-Bögen eine solche Eigenschft nicht, ber uch sie können für unsere Anschuung höchst seltsm sein. Stz Seien Γ ein Jordnbogen und : [, b ] IR p und 2 : [ 2, b 2 ] IR p Jordn-Drstellungen von Γ. () Dnn existiert eine stetige und streng monotone Funktion ϕ : [ 2, b 2 ] [, b ] mit 2 = ϕ. (b) Ist ψ : [ 3, b 3 ] [, b ] eine stetige und streng monotone Funktion, dnn ist eine Jordn-Drstellung von Γ. 3 : [ 3, b 3 ] IR p mit 3 := ψ

4 2. Wegintegrle 22 (c) Gibt es eine stetige und streng monotone Funktion ϕ : [ 2, b 2 ] [, b ] mit 2 = ϕ, dnn sind und 2 entweder beide gleichzeitig rektifizierbr oder beide gleichzeitig nicht rektifizierbr. Sind beide rektifizierbr, dnn sind ihre Weglängen gleich. Definition Ht ein Jordn-Bogen Γ eine rektifizierbre Jordn-Drstellung, dnn heißt er ebenflls rektifizierbr und die (einheitliche) Länge ller Jordn-Drstellungen heißt Länge des Bogens L(Γ) von Γ. Beispiel Der Umfng des Kreises mit Mittelpunkt (x, y ) und Rdius r ht die Jordn-Drstellung und dmit die Länge Γ = {(x, y) IR 2 ; (x x ) 2 + (y y ) 2 = r 2 } : [, 2π] IR 2 mit (t) := L(Γ) = 2π ( ) x + r cos t y + r sin t r 2 sin 2 t + r 2 cos 2 t dt = 2πr. Für den Teilbogen Γ ϕ = ([, ϕ] gilt nlog L(Γ ϕ ) = ϕ r. Mn knn sich die Jordn-Drstellung (t) eines Jordn-Bogens ls Durchlufen des Bogens mit der (vriblen) Geschwindigkeit (t) (und der Zeit t ls Prmeter) vorstellen. Wir betrchten jetzt eine spezielle Jordn-Drstellung, die ls Durchlufen des Bogens mit Geschwindigkeit Längeneinheit/Zeiteinheit ufgefßt werden knn. Definition Sei : [, b] IR n eine Jordn-Drstellung eines rektifizierbren Bogens Γ, für jedes t [, b] sei Γ t := ([, t]) der Teilbogen von () bis (t), und Γ t hbe die Länge L(Γ t ). Dnn heißt Bogenlängenfunktion oder kurz Bogenlänge. Beispiele s : [, b] [, L(Γ)] mit s(t) := L(Γ t ) () : [, ] IR 2 mit (t) := (t, t 2 ) T beschreibt die obere Hälfte des Einheitskreises. Dmit folgt (t) = ( ) t T t du und s(t) = t 2 = rcsin t + π u 2 2. Ist α der Winkel eines Kreisrdius zum Punkt ((t)) gegen die positive x Achse, dnn gilt für die zugehörige Bogenlänge s(t) zwischen () und (t) s(t) = s() s(t) = π 2 rcsin t, und dmit t = sin ( π 2 s(t)) = cos s(t), es ergibt sich dmit die geometrische Definition des Kosinus ls Funktion der Bogenlänge.

5 2. Wegintegrle 23 (2) Für die Kettenlinie (t) := ( ) t, t IR, ergibt sich s(t) = cosh t t cosh u du = sinh t. (3) Seien R, h IR, R, h >. Für die gewöhnliche Schrubenlinie mit der Drstellung (t) = ( R cos t R sin t ht ) T gilt s(t) = R 2 + h 2 t. Stz Sei Γ ein rektifizierbrer Bogen mit (rektifizierbrer) Jordn-Drstellung : [, b] IR n und Länge L(Γ). () Dnn gibt es zu Γ die (ntürliche) Jordn-Drstellung mit der Bogenlänge ls Prmeter. : [, L(Γ)] IR n (b) Ist in [, b] stetig differenzierbr mit (t) für lle t [, b], dnn ist uch (s) stetig differenzierbr und es gilt (s) := d (s) = für lle s [, L(Γ)]. ds Bemerkung Ein stetig differenzierbrer Weg : [, b] IR n mit (t) für lle t [, b] heißt gltt. Entsprechend nennt mn einen Jordnbogen Γ mit einer gltten Jordn-Drstellung ebenflls gltt. Ein gltter Bogen knn ber uch Drstellungen hben, die nicht gltt und sogr nicht durchweg differenzierbr sind. Anlog wie bei stückweise stetigen und stückweise differenzierbren Funktionen definiert mn stückweise gltte Wege und Bögen. Ist Γ ein gltter Jordn-Bogen mit gltten Drstellungen und 2, dnn gilt für Trnsformtionsfunktion ϕ us Stz 2.2.3, dß ϕ differenzierbr ist mit ϕ (t) für lle t. 2.3 (Orientierte) Wegintegrle Beispiele 2.3. () Ist im IR 3 ein konstntes Krftfeld f gegeben, dnn ist die Arbeit, die mn leisten muß, um eine Einheitsmsse längs eines Vektors s zu bewegen, durch f s gegeben. Ist f nicht konstnt und bewegt mn die Msse längs eines Bogens Γ mit Drstellung : [, b] IR 3, ist weiter Z = (t,..., t m ) eine Zerlegung von [, b] und x k ein Punkt uf der Strecke (t k, (t k ), k m, so wird die Arbeit näherungsweise gegeben durch f(x k ) ((t k ) (t k ) ) Anlog zur Definition der Länge des Bogens wird mn die zu leistende Arbeit ls Grenzwert für Z definieren. (2) Auf einer offenen konvexen Menge G IR n sei eine reellwertige Funktion ϕ definiert. Wir kennen ber nur die Ableitung grd ϕ uf G (lso ihr Änderungsverhlten im Kleinen ) sowie einen Funktionswert ( Anfngswert ) ϕ(). Knn mn nun ϕ rekonstruieren?

6 2. Wegintegrle 24 Nch dem Mittelwertstz gilt für jedes b G ϕ(b) = ϕ() + grd ϕ(x ) (b ) mit x b, d.h. theoretisch ist dies möglich. D mn ber den Wert von x nicht kennt, bringt die Gleichung zur Bestimmung wenig. Wir gehen dher wie bei der Bestimmung der Länge eines Bogens vor. Dbei beschränken wir uns nicht uf eine Verbindungsstrecke zwischen und b, sondern betrchten einen gnz in G liegenden Bogen mit Drstellung : [t, t m ] und (t ) =, (t m ) = b und eine Zerlegung Z = (t,..., t m ) des Prmeterintervlls. Der Mittelwertstz, ngewndt uf die Teilstrecken des entsprechenden Polygonzuges, ergibt ϕ(b) ϕ() = ϕ ( (t k ) ) ϕ ( (t k ) ) = grd ϕ(x k ) ( (t k ) (t k ) ) mit Punkten x k ((t k ), (t k )), k m. Ntürlich kennt mn uch hier die genuen Werte der x k nicht, ber mn hofft, dß bei vernünftigem grd ϕ und und bei genügend feiner Zerlegung Z diese Punkte durch beliebige Zwischenpunkte der Teilintervlle, lso z.b. die Anfngs- oder Endpunkte ersetzen knn, d.h. dß Summe rechts für jede Whl der Zwischenstellen gegen denselben Grenzwert konvergiert. Anlog zur Definition des Integrls in IR mit Hilfe von Riemnn-Folgen legen wir fest: Definition Sei [, b] IR ein Intervll, Z = (t =, t,..., t m = b) eine Zerlegung von [, b], x = (ξ,..., ξ m ) T mit t k ξ k t k ein beliebiger Zwischenvektor, : [, b] IR n ein rektifizierbrer Weg mit Bogen Γ und f : Γ IR n stetig. Dnn heißt S(f,, Z, x) := f T ((ξ k )) ((t k ) (t k )) Riemnn-Summe von f uf Γ. Für eine Folge (Z i, x i ) mit Z i nennt mn S(f,, Z i, x i ) Riemnn-Folge. Stz Sei [, b] IR ein Intervll, : [, b] IR n ein stetig differenzierbrer Weg und f : Γ IR n stetig. Dnn hben lle Riemnnfolgen den gleichen Grenzwert b f T ((t)) (t)dt. Definition Der Grenzwert us Stz heißt Weg- (oder Kurven-) Integrl von f längs und wird mit f(x) dx bezeichnet. D ds Wegintegrl über ds normle Integrl definiert ist, ergeben sich folgende einfche Eigenschften des Wegintegrls:

7 2. Wegintegrle 25 Stz Sei [, b] IR ein Intervll, c (, b), : [, b] IR n ein stetig differenzierbrer Weg mit Weglänge L(), und Teilwege mit =, (t) := ( + b t) der in entgegengesetzter Richtung durchlufene Weg, und f, g : ([, b]) IR n stetig, K IR. Dnn gilt: () (f + g) dx = f dx + g dx, cf dx = c f dx, (b) 2 f dx = f dx + 2 f dx, f dx = f dx, (c) f dx ( mx x ([,s]) f(x) ) L(). Die in einem Wegintegrl zu integrierenden Funktionen sind zwr uf dem Bogen definiert, die Aussge von Stz über den Weg zeigt, dß der Wert des Wegintegrls nicht nur vom Bogen, sondern uch von der speziellen Prmeter-Drstellung bhängt. Für Prmeterwechsel unter bestimmten Vorussetzungen (die zumindest stückweise in der Prxis fst immer vorliegen), gilt Stz Seien [, b], [c, d] Intervlle, : [, b] IR n ein stetig differenzierbrer Weg, ϕ : [c, d] [, b] eine stetig differenzierbre Prmetertrnsformtion mit ϕ(c) =, ϕ(d) = b und f : ([, b]) IR n stetig. Dnn ist ϕ ein stetig differenzierbrer Weg mit demselben Bogen wie und es gilt f dx = f dx. ϕ Stz und ds folgende Korollr zeigen, dß ds Wegintegrl eines Jordn-Bogens nur vom Bogen und seiner Orientierung bhängt. Korollr Ist Γ ein gltter Jordnbogen und f uf Γ stetig, so ist für zwei Jordndrstellungen und 2 von Γ mit monoton steigender Prmetertrnsformtion ϕ f dx = f dx. 2 Bemerkungen () Stz und Korollr besgen, dß mn bei der Berechnung des Wegintegrls eine Jordndrstellung eines Jordnbogens Γ gegen eine beliebige gleichorientierte Jordndrstellung von Γ ustuschen knn. (2) Mit einer geeigneten Prmetertrnsformtion knn mn k verschiedene rektifizierbre Wege j : [ j, b j ] IR n, mit Bogen Γ j, j k, zu einem rektifizierbren Gesmtweg : [, b ] IR n zusmmensetzen, indem mn zu einer Zerlegung von [, b ] in Intervlle [ j, b j ], j k, übergeht. Dnn ist ([, b]) = Γ = und für jede uf Γ stetige Funktion f gilt k Γ j, L() = j= f(x) dx = k j= k L(Γ j ), j= j f(x) dx.

8 2. Wegintegrle 26 Beispiele () Gegeben seien die stückweise lineren Wege und 2 von ( ) nch ( ) durch ( ) bzw. durch ( ) und der Weg 3 des Normlprbelbogens von ( ) nch ( ), d.h. mit ( ) t : x = ( 2 : x = t ( ) t 3 : x = t 2 () Für f(x) := (b) Für f(x) :=, : x = ), 2 : x =, 3 : x = ( ξ2 = 2, 2 = 2 22 ( ) (, t, 2 : x = t ( ) ( ) t, t, 22 : x = ( ), t. 2t ), 2 : x =, 22 : x = ) ergibt sich ξ ξ 2 f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx = ( ξ2 ) ergibt sich ξ 2 ξ f(x) dx = 2, 2 f(x) dx = 3 2, 3 f(x) dx = 6. ( ), t, ( ), t, (2) Ein Mssenpunkt gleite im Schwerefeld f = ( mg) T reibungsfrei uf einer Kurve Γ mit Prmeterdrstellung : [, b] IR 3, und die virtuelle Krft, die (uf Grund der Mssenträgheit) den Mssenpunkt uf der Kurve hält, sei h. Sei {t, e, b} ds begleitende Dreibein der Kurve, d.h. t der Tngenteneinheitsvektor, e der Normleneinheitsvektor in Richtung ṫ und b = t e der Binormlenvektor, h = h e e + h b b, dnn lutet die Bewegungsgleichung m = f h e e h b b. Für die Arbeit gilt (mit der Bogenlänge s, dx = ds = t ds und e t = b t = ) m dx = f dx h e e dx h b b dx = f dx h e (e t) ds h b (b t) ds = f dx. Die virtuelle Krft leistet lso keinen Beitrg zur Energiebilnz. Mit v(u) := ẋ(u) gilt b m dx = m du = m [ 2] b 2 = m ( v 2 (b) v 2 () ). 2 Aus = vt folgt weiter = vt + v 2 κe, d.h. h e = f e mv 2 κ, h b = f b.

9 2. Wegintegrle Grdientenfelder Aus der Physik kommen die Bezeichnungen Vektorfeld für eine vektorwertige Funktion uf einer Menge X IR n, X, und Sklrfeld für eine reellwertige (bzw. komplexwertige) Funktion uf X. Wir wollen nun untersuchen, wnn ein Vektorfeld ein Grdientenfeld ist. Dzu smmeln wir zuerst Eigenschften von Grdientenfeldern. Stz 2.4. Ist G IR n ein Gebiet und f : G IR n ein Grdientenfeld, d.h. es existiert ein Sklrfeld ϕ uf G mit f T = grd ϕ. Dnn gilt: ϕ ist genu dnn ebenflls Grdientenfeld zu f uf G, wenn es ein c IR gibt mit ϕ(x) = ϕ (x) + c für lle x G. Ds Gegenstück zum Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung ist Stz Ist G IR n ein Gebiet,, b G beliebig, : I G ein stückweise stetig differenzierbrer Weg, der gnz in G verläuft, mit Anfngspunkt und Endpunkt b, und ϕ : G IR ein stetig differenzierbres Sklrfeld. Dnn gilt grd ϕ(x) dx = ϕ(b) ϕ(). Bemerkung Stz zeigt, dß für Grdientenfelder ds Wegintegrl nur vom Anfngs- und Endpunkt des verbindenden Weges bhängt, nicht vom speziellen Verluf dzwischen. Ein solches Wegintegrl heißt wegunbhängig. Mn beschreibt es oft durch b grd ϕ(x) dx. Außerdem knn mn mit Hilfe von Stz die Stmmfunktion ϕ us dem Grdientenfeld f rekonstruieren, denn es gilt ϕ(b) := ϕ() + grd ϕ(x) dx = ϕ() + b grd ϕ(x) dx. mit einem beliebigen, stückweise stetig differenzierbren, und b verbindenden und gnz in G verlufenden Weg. Nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung existiert für eine stetige Funktion f : IR IR und festes IR die Integrlfunktion F (x) = x f(t)dt, sie ist in ihrem Definitionsbereich differenzierbr und es gilt F (x) = f(x). Für ein Anlogon im IR n ist ntürlich die Wegunbhängigkeit des Integrls notwendig, d.h. die Existenz von ϕ(x) := x f dy mit einem festen.

10 2. Wegintegrle 28 Es gilt dnn Stz Ist G IR n ein Gebiet, G beliebig, f : G IR n stetig in G und ds Integrl wegunbhängig für lle x G. Dnn ist die Funktion x f dy ϕ : G IR mit ϕ(x) := in G wohldefiniert und stetig differenzierbr mit Bemerkungen grd ϕ = f T. x f dy () Unter den Vorussetzungen des Stzes ist ds Integrl über eine geschlossene Kurve Null. (2) Die Wegunbhängigkeit ist eine in der Prxis sehr nützliche Eigenschft, d mn sich zur Berechnung einen günstigen Weg ussuchen knn, z.b. einen Polygonzug mit Strecken prllel zu den Koordintenchsen oder einen Kreisbogen. Unser Problem, zu einem Vektorfeld die Stmmfunktion zu bestimmen, ist mit Stz theoretisch gelöst. Prktisch müßte mn zum Nchweis der Wegunbhängigkeit des Integrls die Wegintegrle über lle in Frge kommenden Wege uswerten. Für stetig differenzierbre Vektorfelder erhält mn ein viel leichter zu hndhbendes Differentitionskriterium: Stz Ist G IR n eine nichtleere offene Menge und f : G IR n stetig differenzierbr in G. () Ist f ein Grdientenfeld, dnn gilt f j x k = f k x j für lle j, k =,..., n. (2.) (b) Ist G zusätzlich sternförmig, d.h. gibt es ein G, so dß für lle x G die Verbindungsstrecke x in G liegt, dnn gilt uch die Umkehrung, d.h. us (2.) folgt, dß f ein Grdientenfeld ist. Zum Schluß werden die beiden gängigsten Methoden zur Bestimmung einer Stmmfunktion vorgestellt, die Whl eines geeigneten einfchen Weges und die Methode der iterierten unbestimmten Integrtion nch den einzelnen Vriblen. Beide Methoden setzen vorus, dß die zu integrierende Funktion eine Stmmfunktion besitzt, lso die Vorussetzungen von Stz erfüllt sind. Wir beschränken uns dbei uf zweidimensionle Beispiele. Beispiele () Ist ds zugrundeliegende Gebiet ein offenes Rechteck, dnn bieten sich Wege von einem Punkt nch x n, die chsenprllel verlufen. Diese sind stückweise differenzierbr und hben Tngentenvektoren in Richtung der Koordintenchsen.

11 2. Wegintegrle 29 Die Funktion tn y f : G IR 2 x mit f(x, y) := 2 + 2xy + x 2 x cos 2 y + x2 + y 2 ist uf G = IR 2 \ {(x, y); x = oder cos y = } definiert und stetig differenzierbr. Wegen f y = x 2 cos 2 y + 2x = f 2x ht f eine Stmmfunktion ϕ(x, y). Zum Beispiel mit = (; ) G und dem stückweise stetig differenzierbren Weg (t) := und erhält mn (, : [, ] G mit + t(x ) (t) := ), (t) := ( ) x ty ϕ(x, y) = f ( + t(x ), ) (x ) dt + f 2 (x, ty)y dt = tn y x + x2 y + x3 3 + y (2) Eine ndere Methode ist die der iterierten unbestimmten Integrtion : Ist f ein Grdientenfeld mit Stmmfunktion ϕ, so gilt für die erste Komponente f von f f (x) = ϕ ξ (x). Integrtion dieser Beziehung nch ξ liefert ϕ(x) = f (x) dξ + c. Dbei ist die Integrtionskonstnte c zwr unbhängig von ξ, ber nicht notwendigerweise von ξ 2,..., ξ n. Es ist dher besser, diese Gleichung in der Form ϕ(x) = f (x) dξ + g 2 (ξ 2,..., ξ n ) zu schreiben. Weiter ist g 2 differenzierbr mit g 2ξ2 (ξ 2,..., ξ n ) = ϕ ξ2 (x) ξ 2 f (x) dξ = f 2 (x) ξ 2 f (x) dξ. Hängt die rechte Seite von ξ b, dnn ist f kein Grdientenfeld. Ansonsten liefert die Integrtion der letzten Gleichung nch ξ 2 eine Funktion g 3 (ξ 3,..., ξ n ) mit ( g 2 (ξ 2,..., ξ n ) = f 2 (x) ) f (x) dξ dξ 2 + g 3 (ξ 3,..., ξ n ). ξ 2 Nch spätestens n Itertionen ergibt sich lso, dß f kein Grdientenfeld ist, oder mn ht die Stmmfunktion ϕ bestimmt.

12 2. Wegintegrle 3 () Für die Funktion us Beispiel () erhält mn ϕ(x, y) = ( tn y x 2 + 2xy + x 2 ) dx + g(y) = tn y x + x2 y + x3 3 + g(y), dmit bzw. g(y) = y3 3 g y (y) = x cos 2 y + x2 + y 2 y (tn y x + x2 y + x3 3 ) = y2 + C und ϕ(x, y) = tn y x + x2 y + x3 3 + y3 + C mit C IR. 3 (b) Die Funktion ist wegen f : IR 2 IR 2 mit f(x, y) = (y, x) T f y = = f 2x kein Grdientenfeld. Der Anstz (d.h die Annhme der Existenz einer Stmmfunktion ohne Kontrolle der notwendigen Bedingung) liefert ϕ(x, y) = xy + g(y) und mit den Widerspruch. g y (y) = x x = 2x (3) Ist f : IR IR eine gebrochen rtionle Funktion, die keine reellen Polstellen ht, dnn bestimmt mn ds uneigentliche Integrl uf folgende Art: f(x) dx Mn setzt f uf die komplexe Ebene fort (d.h. mn mn läßt ls Vriblenwerte lle komplexen Zhlen ußer den Polstellen zu) und betrchtet für ein festes R IR, R >, ds Wegintegrl, dessen geschlossener Bogen zusmmengesetzt ist us dem reellen Intervll [ R, R] und dem Hlbkreis C R mit Rdius R, Mittelpunkt, dessen Punkte nichtnegtiven Imginärteil hben (in der oberen Hlbebene). f ist zwr in der oberen Hlbebene nicht stetig differenzierbr (nämlich nicht in den Polstellen), d.h. ds Integrl ist nicht Null, ber nch dem Residuenstz us der komplexen Anlysis ht für hinreichend großes R jedes der Wegintegrle denselben Wert, den mn mit Hilfe des Residuenstzes berechnen knn. Die Folge dieser Wegintegrle ist lso konstnt und konvergiert. Ist der Grd des Nennerpolynoms um mindestens 2 größer ls der Grd des Zählerpolynoms, dnn geht ds Wegintegrl über den Hlbkreis für R gegen Null, und mn ht den Wert des uneigentlichen Integrls bestimmt. Zum Beispiel ht f(x) = + x 2 die Polstellen z,2 = ±i, von denen z = i in der oberen Hlbebene liegt. Für R < ist ds Wegintegl Null, für R > nch dem Residuenstz gleich 2πi lim z z f(z) (z z ) = π.

13 2. Wegintegrle 3 Der Hlbkreis C R ht die Prmeterdrstellung und dmit folgt lim f(z)dz = lim R C R R z(t) = R e it = R (cos t + i sin t), t π, π + R 2 e 2it Reit dt lim R π R R 2 = und ws ntürlich wegen f(x) dx = π, f(x) dx = rctn x schon beknnt wr. 2.5 Integrtion reellwertiger Funktionen bezüglich der Weglänge (nichtorientierte Wegintegrle) Zum Schluß wird ein nderer Typ von Wegintegrl betrchtet: Ein rektifizierbrer Bogen im IR 3 (Drht, Seil) sei mit Msse m belegt. Betrchtet mn um einen Punkt P nur ein kleines Stück S des Bogens mit der Länge L, der Msse m und der mittleren Dichte m L, dnn bezeichnet mn den Grenzwert m ρ(p ) := lim L L (wenn er existiert) ls Mssendichte im Punkt P. Anlog zum Integrl und zum (orientierten) Wegintegrl wird mn umgekehrt erwrten, dß mn zu einer gegebenen Mssendichte ρ(x) eines Bogens die Gesmtmsse näherungsweise erhält durch p ρ(x k, y k, z k ) s k, wobei der Bogen in p hinreichend kleine Stücke der Länge s k zerlegt wird und (x k, y k, z k ) ein beliebiger Punkt des k-ten Teilbogens ist. Definition 2.5. Sei [, b] IR ein Intervll, Z = {t =, t,..., t m = b} eine Zerlegung von [, b], x mit t k ξ k t k ein beliebiger Zwischenvektor, : [, b] IR n ein rektifizierbrer Weg mit Weglängenfunktion s(t), Γ = ([, b]) und φ : Γ IR stetig. Dnn heißt S(φ,, Z, x) := φ((ξ k )) (s(t k ) s(t k )) Riemnn-Summe von φ uf Γ. Für eine Folge (Z i, x i ) mit Z i nennt mn S(φ,, Z i, x i ) Riemnn-Folge.

14 2. Wegintegrle 32 Stz Sei [, b] IR ein Intervll, : [, b] IR n ein stetig differenzierbrer Weg mit Weglängenfunktion s(t) und φ : Γ IR stetig. Dnn hben lle Riemnnfolgen den gleichen Grenzwert b φ((t)) (t) dt. Definition Der Grenzwert us Stz heißt Weg- (oder Kurven-) Integrl von φ längs bezüglich der Weglänge und wird mit φ(x) ds bezeichnet. Bemerkung Die Eigenschften von Stz gelten nlog mit Ausnhme der 2. Eigenschft von (b). Für Wegintegrle bezüglich der Weglänge gilt φ ds = φ ds. Sie sind lso nicht von der Orientierung des Bogens bhängig und heißen dher uch nichtorientierte Wegintegrle.