Kurvenintegrale. (Eine reguläre Kurve besitzt also in jedem Punkt einen nicht verschwindenden Tangentenvektor.)

Transkript

1 Kurvenintegrle Definition: (Kurve) Eine stetige Abbildung : [, b] R n heißt ein Weg im R n. Ds Bild C := ([, b]) heißt Kurve im R n. Die Punkte () bzw. (b) heißen Anfngsbzw. Endpunkt der Kurve. heißt geshlossener Weg, wenn () = (b) ist. In diesem Fll bezeihnet mn ds Bild ls geshlossene Kurve. heißt einfher Weg, wenn uf [, b[ injektiv ist. Die zugehörige Kurve nennt mn doppelpunktfrei. Behte: Mn muss zwishen Weg und Kurve untersheiden. Zwei vershiedene Wege können dieselben Bilder besitzen, lso die gleihe Kurve definieren. Ist mn nur n der Kurve interessiert, so nennt mn uh eine Prmetriesierung der Kurve. Definition: (Jordnkurve) Gibt es zu einer Kurve eine Prmetrisierung, so dss der Weg einfh wird, so nennt mn die Kurve eine Jordn-Kurve. Definition: (Reguläre Kurve) Eine Kurve heißt regulär, wenn es eine stetig differenzierbre Prmeterisierung : [, b] R n der Kurve gibt, so dss gilt (t) 0 für lle t [, b]. (Eine reguläre Kurve besitzt lso in jedem Punkt einen niht vershwindenden Tngentenvektor.) Eine Kurve C = {(t) t [, b]} ist die Summe zweier Kurven C 1, C 2, wenn es ein < t 0 < b gibt, so dss gilt C 1 = ([, t 0 ]) und C 2 = ([t 0, b]). Wir shreiben dfür C = C 1 + C 2. (Dies bedeutet, die Einshränkung von uf [, t 0 ] ergibt die Kurve C 1 und die Einshränkung von uf [t 0, b] ergibt die Kurve C 2 ). Beispiele: 1. Strekenstük: Seien x A, x B R n, dnn ist (t) := x A + t(x b x A ) mit t [0, 1] eine Prmetrisierung des Strekenstükes zwishen x A und x B. Also ist jedes Strekenstük eine reguläre Kurve 2. Kreislinie eines Kreises vom Rdius r > 0: C := {(x, y) R 2 x = r os t, y = r sin t, t [0, 2π]}. Offenbr ist dies wegen (0) = (2π) eine geshlossene Kurve, die doppelpunktfrei ist. Außerdem ist uh diese Kurve regulär. 1

2 Definition: Eine Kurve C heißt stükweise stetig differenzierbr, wenn es stetig differenzierbre Kurven C 1,..., C l gibt, so dss gilt C = C C l. (Dies bedeutet, es gibt endlih viele Punkte < t 1 < < t l 1 < b, so dss die Einshränkungen von uf jedes der Intervlle [t i 1, t i ] stetig differenzierbr sind. In den Punkten t i selbst bruht niht differenzierbr zu sein, ist dort ber nh Vorussetzung stetig.) Definition: Ein Weg : [, b] R n heißt rektifizierbr, flls es ein reelles M 0 gibt, so dss für jede Zerlegung Z mit Z = {t 0,... t m } und = t 0 < t 1 < < t m = b des Intervlls [, b] gilt (t j ) (t j 1 ) M. j=0 (Offenbr beshreibt (t i ) (t i 1 die Länge der Streke, die die Kurvenpunkte (t i ) und (t i 1 ) verbindet. Die Zerlegung Z definiert dher einen der Kurve einbeshriebenen Polygonzug und obige Summe gibt die Länge dieses Polygonzuges n. Eine Kurve heißt lso genu dnn rektifizierbr, wenn die Menge der Längen ller möglihen einbeshriebenen Polygonzüge beshänkt ist.) Wir definieren noh P Z := m j=0 (t j) (t j 1. Definition: (Länge eines Weges) Sei eine rektifizierbrer Weg. Dnn heißt die Länge des Weges. L() := sup P Z Z (Behte: Niht jeder stetige Weg ist rektifizierbr. Als Beispiel sei hier nur erwähnt der Weg im R 2 gegeben durh (t) := (t, t os 1 t ) für t ]0, 1] und (0) = (0, 0). Im übrigen gibt es stetige Wege über [0, 1], deren Bild ds gesmte Einheitsqudrt ist.) Definition: Sei : [, b] R n ein Weg und ϕ : [, b ] [, b] eine surjektive und streng monoton whsende (bzw. streng monoton fllende) Abbildung. Dnn heißt ϕ eine orientierungserhltende (bzw. orientierungsumkehrende) Prmetertrnsformtion. Behten Sie, dss die Vorussetzungen n ϕ sihern, dss ϕ eine stetige Abbildung ist. Stz: (Invrinz der Weglänge unter Prmetertrnsformtionen) 2

3 Sei : [, b] R n ein rektifizierbrer Weg und ϕ : [, b ] [, b] eine Prmetertrnsformtion. Dnn gilt L() = L( ϕ). Beweis: Wir zeigen die Behuptung für orientierungserhltende Prmetertrnsformtionen. Es genügt zu beweisen, dss die Mengen { m } M := (t j ) (t j 1 ) m N, = t 0 < t 1 < < t m = b und { m } M := ( ϕ)(t j ) ( ϕ)(t j 1 ) m N, = t 0 < t 1 < < t m = b übereinstimmen. Denn dnn ist L() = sup M = sup M <. Ist = t 0 < t 1 < < t m eine Zerlegung des Intervlls [, b ], so ist mit t k = ϕ(t k ) eine Zerlegung = t 0 < t 1 < < t m = b eine Zerlegung des Intervlls [, b]. Offenbr gilt (t j ) (t j 1 ) = ( ϕ)(t j ) ( ϕ)(t j 1 ) Drus folgt M M. Ist ungekehrt eine Zerlegung = t 0 < t 1 < < t m = b von [, b] gegeben, so setzen wir t 0 =, t m = b und wählen t k ϕ 1 ({t k }) beliebig für k {1,..., m 1}. Dnn ist = t 0 < t 1 < < t m = b eine Zerlegung von [, b ] und wieder gilt obige Gleihung für die Längen der Polygonzüge. Drus folgt nun M M. Stz: Jeder stükweise stetig differenzierbre Weg : [, b] R n ist rektifizierbr und es gilt L() = b (t) dt = b 1 (t)2 + + n(t) 2 dt. Beweis: Sei ein setig differenziierbrer Weg. Wir zeigen zunähst L() b (t) dt. Sei dzu eine Zerlegung Z von [, b] durh = t 0 < t 1 < < t m = b gegeben. Dnn gilt gilt für P Z : (t j ) (t j 1 = (t) dt t j 1 tj m tj 1 t j 1 (t) dt = b (t) dt. 3

4 D L() ds Supremum über lle möglihen solhen Polygonzüge ist, folgt L() Wir betrhten nun die Funktionen b (s) ds. s : [, b] R, t L( [,t] ) und s : [, b] R, t t (u) du. Für t 1 t 2 b gilt dnn, weil die Länge einer Kurve ds Supremum über die Längen ller einbeshriebenen Polygonzüge ist, (t 2 ) (t 1 ) L( [t1,t 2 ]) = s(t 2 ) s(t 1 ) Somit folgt t2 t 1 (u) du = s(t 2 ) s(t 1 ). (t 2 ) (t 1 ) t 2 t 1 s(t 2) s(t 1 ) s(t 2) s(t 1 ) t 2 t 1 t 2 t 1 Ntürlih gelten diese Ungleihungen uh für t 2 < t 1. Für t 2 t 1 konvergiert sowohl der linke Term ls uh der rehte Term gegen (t 1 ). Dies zeigt uh s s(t 2 ) s(t 1 ) (t 1 ) = lim = (t 1 ). t 2 t 1 t 2 t 1 Somit ist s neben s eine Stmmfunktion von. D ußerdem gilt s() = 0 = s() folgt s = s und dies beweist die Behuptung. Ist nun ein stükweise stetig differenzierbrer Weg, = l, so folgt die Behuptung zunähst für jedes Teilstük i und nshließend für. Ist ein stükweise differenzierbrer Weg, so ist = l mit stetig differenzierbren Wegen i. Es wird dnn L() = l L( j ). Definition: (Bogenlänge) Sei : [, b] R n ein stükweise stetig differenzierbrer Weg. Dnn heißt die Funktion s : [, b] [0, L()] mit s(t) := t (u) du die Bogenlängenfunktion des Weges. Offenbr ist s monoton whsend, surjektiv und stetig differenzierbr. 4

5 Definition: (Kurvenintegrl 1. Art) Sei U R n eine offene Menge, f : U R und : [, b] U ein stükweise stetig differenzierbrer Weg, so dss die Abbildung t f((t)) von [, b] in R stetig ist. Dnn heißt ds Integrl b f ds := f((t)) (t) dt ds Kurvenintegrl 1. Art (sklres Kurvenintegrl) von f längs des Weges. Bemerkung: Ds Kurvenintegrl 1. Art knn in ntürliher Weise ähnlih wie ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwishensummen ufgefsst werden. Es ist f ds = lim S(f, Z, T ) = f((s j )) (t j ) (t j 1 ), Z wobei Z = {t 0, t 1,..., t m } eine Zerlegung von [, b] ist und T = {s 1,... s m } mit s i [t i 1, t i ]. (Der Grenzwert ist über eine Folge von Zerlegungen zu erstreken, deren mximle Intervlllänge gegen Null strebt.) Folgerung: Ds Kurvenintegrl 1. Art ist invrint unter stetig differenzierbren Prmetertrnsformtionen, d.h. es gilt: Ist ϕ : [, b ] [, b] eine stetig differenzierbre Prmetertrnsformtion, so gilt f ds = f ds Beweis: Es genügt zu zeigen: b ϕ f( ϕ(u)) ( ϕ) (u) du = b f((t)) (t) dt. Für eine orientierungserhltende Prmetertrnsfomtion folgt dies unmittelbr us der Substitutionsregel für Integrle mittels t = ϕ(u). Ist die Prmetertrnsformtion orientierungsumkehrend, so behte mn dzu noh ϕ (u) = ϕ (u) und die gleihzeitig stttfindende Vertushung der Integrtionsgrenzen. Folgerung: Ist = l, so folgt f ds = l j f ds. Beweis: Dies folgt unmittelbr us der entsprehenden Summeneigenshft des Riemnn-Integrls. Berehnung des Kurvenintegrls 1. Art: 5

6 1. Zunähst prmetrisiert mn die Kurve (bzw. jedes Kurvenstük bei stükweise stetig differenzierbren Kurven): 1 (t) 2 (t) (t) =., t b. n (t) 2. Jetzt berehnet mn ds sklre Bogenelement ds = (t) dt = 1 (t) n(t) Eintrgen von im Integrnden f: 4. Berehnung von b f( 1 (t),..., n (t)) f( 1 (t),..., n (t)) 1 (t) n(t) 2 dt ls gewöhnlihes Riemnn-Integrl. Beispiel: Eine Sphäre S 1 R 2 vom Rdius R > 0 und Mittelpunkt (x 0, y 0 ) ist gegeben durh ( ) R os t + x0 t (t) =, t [0, 2π]. R sin t + y 0 1. Prmetrisierung ist shon gegeben. 2. Es wird ds = x (t) 2 + y (t) 2 dt = R 2 = R dt. 3. Die Funktion f ist uf dem gesmten Intervll gleih Eins. 4. Berehnung des Integrls: ds = 2π 0 = 2πR, der Umfng des Kreises vom Rdius R R dt 6

7 Kurvenintegrle 2. Art Definition: Eine Abbildung f : U R n einer offenen Menge U R n in den R n nennen wir ein Vektorfeld. (Anshulih ordnet f jedem Punkt von U einen Vektor us R n zu, diesen knn mn sih ls im betreffenden Punkt ngeheftet denken, dher die Bezeihnung.) Mn knn nun wieder für ein solhes stetiges Vektorfeld f entlng eines stetigen Weges ein Kuvenintegrl mittels Zwishensummen definieren: < f, dx >:= lim S(f, Z, T ) Z mit S(f, Z, T ) := < f((s j )), (t j ) (t j 1 ) >, wobei <, > ds euklidishe Sklrprodukt im R n bezeihnet und wobei Z = {t 0, t 1,..., t m } eine Zerlegung von [, b] ist und T = {s 1,... s m } mit s i [t i 1, t i ]. (Der Grenzwert ist über eine Folge von Zerlegungen zu erstreken, deren mximle Intervlllänge gegen Null strebt.) Definition: Sei f : U R n ein stetiges Vektorfeld und : [, b] U ein stetig differenzierbrer Weg. Dnn heißt ds Integrl < f, dx >:= b ds Kurvenintegrl 2. Art von f entlng. Stz: < f((t)), (t) > dt 1. Ds Kurvenintegrl ist liner: Für lle α, β R gilt < αf(x) + βg(x), dx >= α < f, dx > +β < g, dx >. 2. Bezeihnet den in umgekehrter Rihtung durhlufenen Weg, so gilt < f, dx >= < f, dx >. 3. Für die Summe = zweier Wege gilt < f, dx >= < f, dx > + 1 < f, dx >. 2 7

8 4. Ds Kurvenintegrl 2. Art ist invrint unter Prmetertrnsformtionen, die den Durhlufsinn der Kurve erhlten. Beweis: Folgt unmittelbr us der prmetrisierten Form des Kurvenintegrls. Bemerkung: Ein Kurvenintegrl hängt ntürlih von f und vom Weg b. Wenn zwei Punkte des R n durh zwei vershiedene Wege verbunden sind, so wird ds Integrl i.. einen untershiedlihen Wert besitzen. Wihtig sind ber insbesondere die Fälle, wo ds Integrl wegunbhängig ist, d.h. wenn zwei vershiedene Wege dieselben Punkte verbinden, so ht ds Integrl immer den gleihen Wert. Wir untersuhen nun diese Sitution genuer. Definition: Eine Teilmenge U M eines metrishen Rumes (M, d) heißt bogenweise zusmmenhängend, flls sih zwei beliebige Punkte us U durh einen stetigen Weg verbinden lssen, der gnz in U verläuft. Dies bedeutet: Zu beliebigen x, y U gibt es eine stetige Abbildung : [0, 1] U mit (0) = x, (0) = y und (t) U für lle t [0, 1]. Definition: Ein metrisher Rum (M, d) heißt zusmmenhängend, wenn M niht die Vereinigung zweier nihtleerer, disjunkter und offener Teilmengen von M ist. Eine Teilmenge U von M heißt zusmmenhängend, wenn der metrishe Rum (U, d U ) zusmmenhängend ist. Folgerung: Ein metrisher Rum (M, d) ist genu dnn zusmmenhängend, wenn M und die leere Menge die einzigen Teilmengen von M sind, die sowohl bgeshlossen ls uh offen sind. Stz: Ds stetige Bild (bogenweise) zusmmenhängender Mengen ist wieder (bogenweise) zusmmenhängend. Beweis: Für bogenweise zusmmenhängende Mengen folgt dies sofort, weil die Hintereinnderusführung stetiger Abbildungen wieder stetig ist. Stz: Es gilt: 1. Jede bogenweise zusmmenhängede Teilmenge eines metrishen Rumes ist uh zusmmenhängend. 8

9 2. Für offene Mengen U des R n gilt: U bogenweise zusmmenhängend U ist zusmmenhängend. Beweis: (Nur für 2.) Sei U R n eine offene und zusmmenhängende Menge. Für x U sei V (x) die Menge ller Punkte us U, die sih mit x durh einen stetigen Weg verbinden lssen. Dnn ist V (x) immer eine offene Menge: Sei y V (x). dnn existiert ein stetiger Weg von x nh y. Weil y U gilt und U offen ist, gibt es ein ɛ > 0 mit U ɛ (y) = {z R n x y < ɛ} U. Dnn knn jeder Punkt us der Kugel U ɛ (y) mit y durh einen stetigen Weg in U ɛ (y) verbunden werden. Also knn uh jeder dieser Punkte durh einen stetigen Weg mit x verbunden werden. Dher gilt U ɛ (y) V (x) und V (x) ist eine offene Menge. Angenommen, U wäre niht bogenweise zusmmenhängend. Dnn gibt es zwei Punkte, b U, die niht durh einen stetigen Weg verbunden werden können. Es ist V () und b V (b), lso V (), V (b). Für x M \ V () ist V (x) V () =. Dies zeigt: U \ V () = x U\V () V (x) und d die V (x) offene Mengen sind, ist U \ V () eine offene Menge. Dmit würde sih U ls Vereinigung zweier disjunkter offener Mengen drstellen lssen, ws der Annhme widerspriht, dss U zusmmenhängend ist. Folglih ist U bogenweise zusmmenhängend. Die umgekehrte Aussge folgt us obigem Stz. Definition: Eine offene und zusmmenhängende Teilmenge U R n heißt Gebiet. Stz: Sei G R n ein Gebiet und sei f : G R n ein stetiges Grdientenfeld mit f = F. Ist dnn : [, b] G ein stetig differenzierbrer Weg in G mit Anfngspunkt A = () und Endpunkt B = (b), so gilt < f, dx >= F (B) F (A). Beweis: Aus der Definition des Kurvenintegrls 2. Art folgt < f, dx >= = b b < f((t)), (t) > dt = b n d dt F ((t)) dt = [F ((t))]b = F (B) F (A). F x j ((t)) j(t) dt 9

10 Folgerung: Die Aussge des letzten Stzes bleibt uh für stükweise stetig differenzierbre Wege gültig. (Mn zerlegt den Weg in der üblihen Weise in Teilwege, uf die der Stz nwendbr ist und summiert dnn über lle diese Teilwege.) Definition: Ein Kurvenintegrl < f, dx > heißt wegunbhängig, wenn ds Kurvenintegrl entlng jedem (stetig differenzierbren) Weg, der die Punkte A = (0) und B = (b) verbindet, unbhängig vom Weg ist. Obiger Stz zeigt, dss ds Kurvenintegrl für ein Grdientenfeld über einem Gebiet stets wegunbhängig ist. Stz: Sei G ein Gebiet und f : G R n ein stetiges Vektorfeld mit f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)). Ist ds Kurvenintegrl < f, dx > fur lle Punkte A, B G wegunbhängig, so ist f ein Grdientenfeld. Beweis: Sei ds Kurvenintegrl wegunbhängig. Wähle x 0 G beliebig, ber fest. Für x G sei ein Weg in G, der x 0 und x verbindet und definiere F (x) := < f, dx >. Die Abbildung F ist wohldefiniert. Sei nun h klein und C i die gerdlinige Verbindungsstreke von (x 1,..., x n ) nh (x 1,..., x i 1, x i + h, x i+1,..., x n ). Dnn wird durh x+th(0, 0,..., 1, ) (wobei 1 n der i-ten Position steht), mit t [0, 1] eine Prmetriesierung i dieser Streke gegeben. Es folgt F (x 1,..., x i 1, x i + h, x i+1,... x n ) = < f, dx >. + i und dmit wird F (x 1,..., x i 1, x i + h, x i+1,... x n ) F (x 1,... x n ) h = 1 h 1 0 = 1 h f i (x + th(0,..., 0, 1, 0,..., 0))h dt. i < f, dx > Die letzte rehte Seite strebt für h 0 wegen der Stetigkeit von f gegen f i. Somit ist gezeigt und F ist ein Grdientenfeld. F x i (x) = f i (x) 10

11 Die ndere Beweisrihtung wr shon oben gezeigt. Bemerkung: Es folgt dmit unmittelbr für Gebiete: f Grdientenfeld < f, dx >= 0 für jede geshlossene stükweise C 1 -Kurve in G. Wir wissen, dss die Integrbilitätsbedingungen f i x j = f j f i für lle i, j = 1,... n notwendig sind dfür, dss ein stetig differenzierbres Vektorfeld f ein Grdientenfeld ist. Unter gewissen Bedingungen sind diese Bedingungen uh hinreihend. Allerdings hängt dies von der Beshffenheit des Gebietes G b. Ist G z.b. ein offener Quder im R n, lso G = {(x 1,..., x n ) x i ] i, b i [, i = 1,..., n}, so gilt für f C 1 : f : G R n ist ein Grdientenfeld f erfüllt die Integrbilitätsbedingungen Berehnung von Kurvenintegrlen 2. Art. Sei C < f, dx > zu berehnen mit f = (f 1,..., f n ) : G R n. 1. Prmetrisierung : [, b] G, (t) = ( 1 (t),..., n (t)). 2. Berehnung des vektoriellen Bogenelements 1 (t) 2 dx = (t). dt n(t) 3. Prmeterdrstellung und vektorielles Bogenelement in ds Kurvenintegrl einsetzen und ds Sklrprodukt berehnen. C < f, dx >= b n f j ((t)) j(t) dt 4. Ds gewöhnlihe Integrl usrehnen. Beispiel: Sei f : R 3 R mit f(x, y, z) := 1 x 2 +y 2 ( y, x, 0) T soll entlng des Kreises vom Rdius r um den Ursprung in der x, y-ebene integriert werden. 11

12 1. Prmetrisierung: (t) = ( 1 (t), 2 (t), 3 (t)) mit 1 (t) = r os t, 2 (t) = r sin t, 3 (t) = 0, t [0, 2π]. 2. Vektorielles Bogenelement r sin t dx = r os t dt 0 3. < f, dx >= 4. 2π 0 1 r 2 [r2 sin 2 t + r 2 os 2 t] dt. < f, dx >= 2π. 12