8.2. KURVEN IM RAUM 37

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1 8.2. KURVEN IM RAUM 37 Lemma (Differenzierbarkeit der Wegelängenfunktion für glatte Kurven) Ist γ C 1 (I; V ), so ist die Abbildung t L t (γ) differenzierbar, die Ableitung an der Stelle t ergibt sih zu γ (t) V. Beweis. Wir beginnen mit einer einfahen Beobahtung: für a t 1 < t 2 b gilt γ(t 2 ) γ(t 1 ) V L t 2 (γ) L t 1 (γ) t 2 t 1 γ (s) V ds (8.2) und wollen diese beweisen. Wir approximieren γ [t1,t 2 durh einen Polygonzug ] p Z (t 1, t 2 ) der γ(t 1 ) mit γ(t 2 ) verbindet. Dann ist offensihtlih γ(t 2 ) γ(t 1 ) V L(p Z (t 1, t 2 )) L t 2 (γ) L t 1 (γ). Für jeden Abshnitt eines Polygonzuges der Form γ(ζ i ) + x ζ i ζ i+1 ζ i (γ(ζ i+1 ) γ(ζ i )) gilt, dass die Länge nah oben durh das Integral ζ i+1 ζ i γ (s) V ds abzushätzen ist, durh Aneinanderfügen mehrerer solher Abshnitte ergibt sih, dass die obige Abshätzung (8.2) gilt. Wir müssen den Quotienten 1 h (Lt+h (γ) L t (γ) für h 0 untersuhen. Wir haben t+h γ(t + h) γ(t) γ (s) ds. Damit erhalten wir für den genannten Quotienten eine Abshätzung nah oben und unten: 1 h γ(t + h) γ(t) V 1 h Lt+h (γ) L t (γ) 1 t+h γ (s) V ds. h Durh Grenzübergang und der Differenzierbarkeit der Funktionen deren Differenzenquotienten auf der linken und rehten Seite stehen, ergibt sih, dass der Quotient in der Mitte gegen γ (t) V konvergiert und damit ist γ (t) V die Ableitung der Wegelängenfunktion im Punkt t. t t

2 38 KAPITEL 8. DIFFERENTIALRECHNUNG Satz (Kriterium für Rektifizierbarkeit) Sei (V,, V ) ein Banahraum. 1. Ist γ : I V Lipshitz stetig, so ist die Kurve rektifizierbar. 2. Ist γ : [a, b] V stetig differenzierbar, so ist die Kurve γ rektifizierbar und L(γ) b a γ (x) V dx. Beweis. Im ersten Fall sei Z eine beliebige Zerlegung von [a, b], dann ist L(p Z ) m 1 j0 γ(ζ j+1 ) γ(ζ j ) V m 1 j0 M ζ j+1 ζ j M(b a). Also ist das Supremum über alle Zerlegungen höhstens M(b a). Die zweite Aussage beweisen wir wie folgt. Da γ stetig differenzierbar ist, ist die Abbildung [a, b] V : t γ (t) stetig, das Bild γ ([a, b]) ist kompakt, daher beshränkt, und es existiert eine Zahl M > 0 mit γ (t) V < M, t [a, b]. Dann ist γ Lipshitz stetig mit Konstante M und damit rektifizierbar. Es bleibt noh zu zeigen, dass die Länge der Kurve durh das angegebene Integral gegeben ist. Da die Ableitung der Wegelängenfunktion durh γ (t) V gegeben ist, folgt die Darstellung der Funktion unmittelbar. Bemerkung (Kurvenlänge und Norm) Die Länge einer Kurve hängt von der Wahl der Norm ab, die Rektifizierbarkeit niht, in dem Sinne, dass für zwei äquivalente Normen 1, 2 eine Kurve γ genau dann bzgl. 1 rektifizierbar ist, wenn sie bzgl. 2 rektifizierbar ist. Als Anwendung betrahten wir die Länge des Kreisbogens. Satz (Kreisbogen) Es sei r > 0 γ : [0, 2π] R 2 : t ( r os(t) r sin(t) der Kreisbogen mit Radius r im (R 2, 2 ). Dann ist L(γ) 2πr. )

3 8.2. KURVEN IM RAUM 39 Beweis. Es ist γ stetig differenzierbar, also ist γ rektifizierbar und es gilt L(γ) 2π 0 γ (s) 2 ds 2π 0 r (os 2 (t) + sin 2 (t)) dt 2πr. Es stellt sih die Frage, ob diese Länge ein Charakteristikum der Punktmenge im Raum V ist oder von der gewählten Kurve abhängt. Dieser Frage gehen wir im nähsten Abshnitt nah. Davor noh zwei Begriffe. Definition (Spur) Wir untersheiden die Kurve γ und ihr Bild, d. h. die Punktmenge { } γ(t) t [a, b] in V, letzteres bezeihnen wir als die Spur der Kurve Transformationen Wir wollen das Verhalten einer Kurve bzw. des Tangentialvektors unter sogenannten Parametertransformationen untersuhen. Wir betrahten dabei folgende grundlegende Situation: Es sei γ : [a, b] V eine Kurve, ϕ : [, d] [a, b] eine stetige, bijektive Abbildung. Dann ist natürlih γ ϕ : [, d] R n eine Kurve. Definition (Parametertransformation) Wir sagen die Kurve γ ϕ geht durh die Parametertransformation ϕ aus der Kurve γ hervor. Sind die Abbildungen ϕ und ϕ 1 beide stetig differenzierbar, so sprehen wir von einer C 1 -Parametertransformation. Lemma (Parametertransformation) Ist ϕ eine C 1 -Parametertransformation, so ist ϕ (t) 0 für alle t [, d]. Beweis. Es gilt ϕ ϕ 1 1l auf [a, b], wobei 1l für die Abbildung 1l(x) x steht. Dann ist nah der Kettenregel 1 (ϕ ϕ 1 ) (t) ϕ (ϕ 1 (t))(ϕ 1 ) (t). Also ist sowohl ϕ wie auh (ϕ 1 ) nirgends Null. Daher hat ϕ ein konstantes Vorzeihen auf [, d].

4 40 KAPITEL 8. DIFFERENTIALRECHNUNG Definition (Parametertransformation und Orientierung) Die C 1 -Parametertransformation heißt orientierungserhaltend, wenn ϕ > 0 ist, im anderen Fall nennt man sie orientierungsumkehrend. Wir betrahten zunähst das Verhalten der Tangentialvektoren unter Parametertransformationen. Ist γ : [a, b] V eine Kurve, ϕ eine C 1 -Parametertransformation, ϕ : [, d] [a, b] bijektiv, so ist (γ ϕ) (t) γ (ϕ)ϕ (t). Daran sieht man, dass die Rihtung der Tangentialvektoren unter C 1 -Parametertransformationen erhalten bleibt. Satz (Invarianz der Länge) Ist γ eine stetig differenzierbare Kurve, ϕ eine C 1 -Parametertransformation, so ist L(γ) L(γ ϕ). Beweis. Dies folgt sofort aus der Substitutionsregel: L(γ ϕ) ± (γ ϕ) (s) V ds γ (ϕ(s))ϕ (s) V ds γ (ϕ(s)) V ϕ (s) ds ± b a ϕ(d) ϕ() γ (ϕ(s)) V ϕ (s) ds γ (t) V dt γ (t) V dt Definition (Äquivalenz von Kurven) Wir nennen zwei Kurven γ 1,2 C(I 1,2 ; V ) äquivalent, wenn es eine Parame-

5 8.3. ABLEITUNGEN 41 tertransformation φ : I 1 I 2 gibt mit γ 1 γ 2 φ. Lemma (Äquivalenzrelation und Kurven) Äquivalenz von Kurven ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Paare (I, γ). Definition (Weg) Eine Äquivalenzklasse von Kurven bezüglih der eben definierten Relation heißt Weg. Diese Begriffsbildung rehtfertigt den Begriff der Wegelängenfunktion. 8.3 Ableitungen Definition der Ableitung Wir wollen in diesem Abshnitt den Begriff der Ableitung einer auf einer offenen Teilmenge eines Banahraumes definierten, K-wertigen Funktion einführen und gleihzeitig den Begriff der partiellen Ableitung für Funktionen, die auf Teilmengen eines Banahraumes V definiert sind. Dies ist etwas komplizierter als der Begriff der Ableitung für Funktionen einer einzigen reellen oder komplexen Variablen. Funktionen f : V R treten bei der Beshreibung von Vorgängen in der Natur, Tehnik und Wissenshaft in mannigfaher Weise auf. Dabei ist man oft an Extremalstellen interessiert, die man wie bisher mit Ableitungen harakterisiert. Daher ist der nun zu definierende Begriff zentral für die Anwendungen der Mathematik in anderen Fähern. Wir wollen wegen dieser Wihtigkeit einige Beispiele von solhen Funktionen aus vershiedenen Bereihen angeben. Beispiel (Extremalprobleme in mehreren Veränderlihen) 1. (Metereologie) Eine Abbildung T : R 3 R, die jedem Punkt der Atmosphäre die Temperatur an diesem Punkt zuordnet. Gleihes gilt für Druk p, Luftfeuhtigkeit et.. Weitere Fragen könnten Isotherme sein, wie sehen diese aus? 2. (Geographie) Die Abbildung, die jedem Punkt auf der Landkarte (R 2 ) die Höhe über NN zuordnet. 3. (Chemishe Industrie) Die Abbildung T : R 3 R, die jedem Punkt in einem mit einem reagierenden Gemish gefüllten Tank die Temperatur zuordnet. Die Kenntnis dieser Funktion ist für die Siherheit hemisher Anlagen von extrem hoher Wihtigkeit, obwohl man diese Funktion im