2 Sehnen, Sekanten und Chordalen

Transkript

1 Sehnen, Seanten und Chordalen Übersiht.1 Sehnen- und Seantensatz Chordalen Weitere Resultate und Aufgaben Anmerungen Sehnen- und Seantensatz In Kap. 1 haben wir gesehen, dass alle eripheriewinel über einer festgehaltenen Sehne gleih groß sind. Im folgenden Satz halten wir nun niht eine Sehne fest, sondern einen unt im Kreis, und betrahten die Sehnen, welhe sih in diesem unt shneiden. Sehnensatz.1 Shneiden sih zwei Sehnen A und B 1 B eines Kreises im unt, so gilt: A = B 1 B. B A B 1 Gilt umgeehrt A = B 1 B für zwei sih in shneidende Streen A und B 1 B, so liegen die vier Streenendpunte, A,B 1,B auf einem Kreis. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 016 L. Halbeisen et al., Mit harmonishen Verhältnissen zu Kegelshnitten, DOI / _

2 8 Sehnen, Seanten und Chordalen Beweis: Wir zeigen zunähst, dass A = B 1 B gilt, falls die unte, A, B 1, B auf einem Kreis liegen: Die Winel B 1 A und B 1 B A sind nah dem eripheriewinelsatz 1. als eripheriewinel über dem Kreisbogen B 1 A gleih groß. Die Dreiee B 1 und A B sind somit ähnlih, da auh die Sheitelwinel B 1 und A B gleih groß sind. Nah dem Satz über ähnlihe Dreiee 9.5 gilt B 1 = B A, und daraus folgt die Behauptung. B A B 1 Gilt umgeehrt A = B 1 B, so müssen wir zeigen, dass die vier unte, A,B 1,B auf einem Kreis liegen. Gilt < A (was wir ohne Einshränung der Allgemeinheit annehmen dürfen), so wird das Dreie B 1 wie folgt ins Dreie A B gelegt: A 1 erhält man, indem man von aus die Länge auf dem Strahl B abträgt. Um B 1 zu erhalten, trägt man von aus die Länge B 1 auf dem Strahl A ab. B A 1 B 1 A B 1 Aus der Voraussetzung folgt A 1 B = B 1 A. Mit der Umehrung des 1. Strahlensatzes erhalten wir, dass A 1B 1 und A B parallel sind, und weil Stufenwinel an arallelen gleih groß sind, sind die entsprehend marierten Winel gleih groß. Shließlih folgt aus dem eripheriewinelsatz 1., dass B 1 auf dem Umreis des Dreies B A liegt, und somit liegen alle vier unte auf demselben Kreis.

3 .1 Sehnen- und Seantensatz 9 Seanten-Tangenten-Satz. Von einem unt außerhalb eines Kreises zeihnen wir eine Tangente an und eine Seante durh. Die Tangente berühre im unt B, und die Seante shneide in und A. Dann gilt: B = A. s A t B Gehen umgeehrt von einem unt zwei Strahlen s und t aus (die niht in einer Geraden liegen) und gilt B = A, wobei und A auf s liegen und B auf t liegt, so ist t eine Tangente an den Kreis durh die unte, A und B. Beweis: Der Sehnentangentenwinel B ist nah dem eripheriewinelsatz 1. gleih groß wie der eripheriewinel A B über dem Kreisbogen B. A B Mit dem gemeinsamen Winel B sind folglih die Dreiee B und BA ähnlih. Nah dem Satz über ähnlihe Dreiee 9.5 gilt B= B A, d.h. B = A. Um die Umehrung zu zeigen, nehmen wir an, dass und A auf einem Strahl s liegen und B auf einem Strahl t liegt, wobei die beiden Strahlen niht in einer Geraden liegen und sih in shneiden. Sei der Kreis durh die unte B, und A. Ferner sei t eine Tangente von an den Kreis, welhe im unt B berührt. Dann ist s eine Seante durh und es gilt B = A. Gilt nun auh B = A, so ist B= B und damit ist t eine Tangente an.

4 30 Sehnen, Seanten und Chordalen Als wihtige Folgerung des Seanten-Tangenten-Satzes. erhalten wir Satz.3 Sei ein Kreis mit Mittelpunt M und Radius r. Weiter sei ein unt außerhalb von, von dem aus eine Tangente an gezeihnet ist, welhe den Kreis im unt T berührt. Dann gilt: T = M r. r M T Beweis: Seien und A die Shnittpunte der Zentrale mit dem Kreis. r M r A T Dann ist = M r und A = M+ r, und somit ist: A = M r. Mit dem Seanten-Tangenten-Satz. gilt nun T = A, d.h. T = M r. Bemerung: Da MT ein rehter Winel ist, folgt Satz.3 unmittelbar aus dem Satz von ythagoras 9.7; anders ausgedrüt, der Satz von ythagoras 9.7 ist eine unmittelbare Folgerung aus Satz.3.

5 .1 Sehnen- und Seantensatz 31 Als weitere Folgerung aus dem Seanten-Tangenten-Satz. erhalten wir den Seantensatz.4 Betrahte zwei Seanten durh den Kreis, welhe sih außerhalb des Kreises im unt shneiden. Wenn die eine den Kreis in und in A, die andere in B 1 und in B shneidet, so gilt: A = B 1 B. s1 A s B 1 B Liegen umgeehrt die unte und A auf einem Strahl s 1 und die unte B 1 und B auf einem Strahl s, wobei die beiden Strahlen niht in einer Geraden liegen und sih in shneiden, so folgt aus A = B 1 B, dass die vier unte, A, B 1, B auf einem Kreis liegen. Beweis: Wir legen von eine Tangente an den Kreis, welhe im unt T berührt. Mit dem Seanten-Tangenten-Satz. gilt nun A = T und B 1 B = T. und somit ist A = B 1 B. Um die Umehrung zu zeigen, legen wir einen Kreis durh die drei unte, A, B 1 und von eine Tangente t an, welhe im unt T berührt. Weil s 1 eine Seante durh und t eine Tangente an ist, erhalten wir mit dem Seanten-Tangenten-Satz. die Gleihung T = A. Gilt nun auh A = B 1 B, so ist T = B 1 B, und somit liegt auh B auf. Bemerung: Der Seantensatz.4 ist eng verwandt mit dem Sehnensatz.1, denn während sih beim Sehnensatz.1 die beiden Sehnen innerhalb des Kreises shneiden, shneiden sih beim Seantensatz.4 die Verlängerungen der Sehnen außerhalb des Kreises; die Sehnenabshnitte werden aber in beiden Sätzen auf dieselbe Weise gebildet.

6 3 Sehnen, Seanten und Chordalen. Chordalen In diesem Abshnitt betrahten wir Tangenten an zwei Kreise. Insbesondere untersuhen wir unte, von denen aus die Tangentenabshnitte an die zwei Kreise gleih lang sind. Dass es solhe unte gibt, zeigen die folgenden beiden Sätze: Satz.5 Gegeben seien zwei Kreise 1 und, welhe sih in S 1 und S shneiden. Alle unte auf der Geraden S 1 S, von denen aus Tangenten an die beiden Kreise gezeihnet werden önnen, haben die Eigenshaft, dass die Längen t 1 und t der Tangentenabshnitte an die beiden Kreise gleih sind. t 1 1 t S 1 S Beweis: Nah dem Seanten-Tangenten-Satz. gilt einerseits t1= S 1 S für den Kreis 1 und andererseits t= S 1 S für den Kreis. Somit ist t1= t, und da Streenlängen positiv sind, folgt daraus t 1 = t. Satz.6 Gegeben seien zwei Kreise 1 und mit vershiedenen Mittelpunten. Weiter sei 0 ein dritter Kreis, welher die beiden Kreise in und A bzw. in B 1 und B shneidet, und zwar so, dass sih die Geraden A und B 1 B in einem unt außerhalb der Kreise 1 und shneiden. Zeihnen wir nun von aus Tangenten an die beiden Kreise, so sind die Längen t 1 und t der Tangentenabshnitte an die beiden Kreise gleih. t 1 t B 1 1 A B 0

7 . Chordalen 33 Beweis: Nah dem Seanten-Tangenten-Satz. gilt einerseits t1= A für den Kreis 1 und andererseits t= B 1 B für den Kreis. Da für den Kreis 0 mit dem Seantensatz.4 A = B 1 B gilt, folgt wieder t1= t und somit t 1 = t. Bemerung: Man überzeugt sih leiht, dass es zu zwei beliebigen, niht-onzentrishen Kreisen 1 und, immer einen dritten Kreis 0 gibt mit den im Satz.6 geforderten Eigenshaften. Es stellt sih nun die Frage, ob es noh weitere solhe unte gibt, sodass die Tangentenabshnitte von an zwei Kreise gleih lang sind. Folgender Satz gibt uns eine erste Antwort. Satz.7 Gegeben seien zwei niht-onzentrishe Kreise mit den Mittelpunten M 1 und M und den Radien r 1 und r, und sei ein unt außerhalb der beiden Kreise. Weiter seien t 1 und t die Längen der beiden Tangentenabshnitte von an die beiden Kreise. Dann gilt wie die folgende Figur zeigt: M 1 M = r 1 r t 1 = t, t 1 t r 1 r M 1 M Beweis: Mit Satz.3 (bzw. dem Satz von ythagoras 9.7) haben wir M 1 r 1 = t 1 und entsprehend auh M r = t. Somit gilt t 1= t genau dann, wenn auh die Gleihung M 1 r 1 = M r gilt, was aber äquivalent ist zur Gleihung M 1 M = r 1 r. Weil nun die Streenlängen t 1 und t positiv sind, gilt t1= t genau dann, wenn t 1 = t ist, woraus unmittelbar die Behauptung folgt. Dieser Satz führt uns zur folgenden Definition: Chordale. Für zwei niht-onzentrishe Kreise mit den Mittelpunten M 1 und M und den Radien r 1 und r definieren wir die Chordale der beiden Kreise als Menge aller unte, für die gilt: M 1 M = r 1 r.

8 34 Sehnen, Seanten und Chordalen Bemerungen: Aus Satz.7 folgt unmittelbar, dass jeder unt, von dem aus die Tangentenabshnitte an zwei gegebene Kreise gleih lang sind, auf der Chordalen der beiden Kreise liegt und umgeehrt. Ist ein unt, von dem aus die Tangentenabshnitte an zwei gegebene Kreise gleih lang sind, so önnen wir einen Kreis 0 mit Mittelpunt zeihnen, der durh die Berührungspunte der Tangenten von an die gegebenen Kreise geht. Der Kreis 0 shneidet dann die beiden gegebenen Kreise senreht. Ist umgeehrt 0 ein Kreis, der zwei gegebene Kreise senreht shneidet, so liegt der Mittelpunt von 0 auf der Chordalen der gegebenen Kreise. Sih senreht shneidende Kreise werden wir ausführlih in Kap. 4 behandeln. Der nähste Satz zeigt, dass die Chordale zweier Kreise immer eine Gerade ist. Satz.8 Gegeben seien zwei niht-onzentrishe Kreise mit den Mittelpunten M 1 und M, und sei ein unt auf der Chordalen der beiden Kreise. Dann ist die Chordale die Gerade durh, welhe senreht zur Zentralen M 1 M steht, wie die folgende Figur zeigt: M 1 M Beweis: Es genügt zu zeigen, dass ein von vershiedener unt Q genau dann auf der Chordalen der beiden Kreise liegt, wenn sih die Geraden Q und M 1 M rehtwinlig shneiden. Sei ein unt auf der Chordalen und sei die Gerade durh, welhe die Zentrale M 1 M rehtwinlig shneidet. Weiter sei F der Shnittpunt der Geraden mit M 1 M und sei Q ein von vershiedener unt auf. Shließlih sei u=m 1 F und v= M F. M 1 r 1 u F v r 1 Q r r M

9 . Chordalen 35 Da auf der Chordalen liegt, gilt nah Definition M 1 M = r 1 r, (1) wobei r 1 und r die Radien der beiden Kreise bezeihnen. Mit dem Satz von ythagoras 9.7 gilt nun auh M 1 = u + F und M = v + F. Damit gilt M 1 M = u v, und mit der Gleihung(1) erhalten wir u v = r1 r. () Mit dem Satz von ythagoras 9.7 gilt auh für den unt Q die Gleihung und mit() gilt: QM 1 QM = u v, QM 1 QM = r 1 r. Somit liegt Q auf der Chordalen der beiden Kreise. Liegt umgeehrt ein unt Q auf der Chordalen, gilt also Q M 1 Q M = r 1 r, so gilt mit() auh Q M 1 Q M = u v, und somit liegt nah dem Satz von ythagoras 9.7 der unt Q auf. Bemerungen zur Konstrution einer Chordalen: Satz.8 gilt für alle aare niht-onzentrisher Kreise: Die Konstrution der Chordalen geshieht meist dadurh, dass zuerst ein unt der Chordalen wie im Satz.6 und dann von auf die Zentrale der beiden Kreise die Lotgerade onstruiert wird. In Spezialfällen lässt sih die Chordale zweier Kreise etwas einfaher onstruieren: Falls sih die beiden Kreise shneiden, ist nah Satz.5 die Chordale die Gerade durh die beiden Shnittpunte. Falls die beiden Kreise gemeinsame Tangenten haben, so erhalten wir die Chordale, indem wir eine Gerade durh die Mittelpunte zwishen entsprehenden Tangentenberührungspunten zeihnen.

10 36 Sehnen, Seanten und Chordalen In den untenstehenden Figuren sind jeweils zwei Kreise in vershiedenen gegenseitigen Lagen mit der zugehörigen Chordalen gezeihnet: Wir wollen die Chordale noh auf eine weitere, äquivalente Weise haraterisieren. Dazu betrahten wir einen Kreis und eine Seante s durh einen festen unt. Die Shnittpunte seien X und Y. X Y s Liegt außerhalb von, so ist der Wert X Y wegen des Seanten-Tangenten-Satzes. unabhängig von der Seante s. Liegt innerhalb von, so ist X Y wegen des Sehnensatzes.1 unabhängig von der Seante. Diese Überlegung führt auf die folgende Definition: otenz eines untes. Ist ein unt, ein Kreis und s eine Seante durh mit Shnittpunten X und Y. Dann heißt das rodut der Seantenabshnitte X Y die otenz des untes in Bezug auf.

11