6. Trigonometrie. sin α = b c. cos α = a c. tan α = b a. 6.1 Rechtwinklige Dreiecke

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1 6. Trigonometrie Trigonometrie bedeutet dem Wortsinn nah Dreieksmessung. Mit Hilfe von trigonometrishen Funktionen lassen sih alle Probleme, die man im Prinzip zeihnerish lösen kann, auh rehnerish bewältigen. 6.1 Rehtwinklige Dreieke In der Shule werden die trigonometrishen Funktionen am rehtwinkligen Dreiek eingeführt. Die Standardbezeihnungen, die wir hier verwenden werden, sind so gemaht, dass die Hypotenuse bezeihnet, der rehte Winkel also in C liegt. Die Kathete b nennt man weiter die Ankathete von α, weil sie zusammen mit der Hypotenuse den Winkel α bildet; b ist die Gegenkathete von α, und von β aus gesehen ist es umgekehrt: die Ankathete von β ist a, deren Gegenkathete b. sin α = b os α = a tan α = b a Abb Rehtwinklige Dreieke In rehtwinkligen Dreieken hängt das Verhältnis b nur vom Winkel ab, aber niht von der Größe des Dreieks: alle rehtwinkligen Dreieke mit demselben Winkel α sind ähnlih, und nah dem Strahlensatz sind somit die Verhältnisse b in allen rehtwinkligen Dreieken mit dem Winkel α gleih. Also setzen wir

2 13 6. Trigonometrie sin α = Gegenkathete Hypotenuse = b Ankathete, os α = Hypotenuse = a, tan α = Gegenkathete Ankathete = b Ankathete, ot α = a Gegenkathete = a b, und entsprehend für β. Um diese Funktionen anwenden zu können, muss man die Werte von sin α und os α erst einmal berehnen; dies ist niht ganz leiht. Für ganz bestimmte Winkel ist dies aber mit einfahen geometrishen Mitteln möglih. So liefert die Quadratverdopplung die Werte dieser Funktionen für den Winkel α = 45. Ein rehtwinkliges Dreiek mit α = 45 ist nämlih notwendig gleihshenklig, also ein halbes Quadrat, und aus der Definition folgt sin 45 = os 45 = a = a a = 1 =, wobei wir in der letzten Gleihung den Nenner rational gemaht haben. Weiter gilt natürlih tan 45 = a = 1. a Abb. 6.. Trigonometrishe Funktionen für α = 45 und α = 30. Aufgaben zu rehtwinkligen Dreieken mit einem Winkel von α = 30 vereinfahen sih oft drastish, wenn man das Dreiek zu einem gleihseitigen Dreiek ergänzt: wegen β = 90 α = 60 sind nämlih in der Tat alle Winkel im verdoppelten Dreiek gleih, das Dreiek also gleihseitig. Daraus folgt insbesondere = a, und somit haben wir sin 30 = os 60 = a = 1. Direkt aus der Definition folgt sin α = b = os β, was wegen β = 90 α bedeutet, dass sin α = os(90 α) ist. Ebenso leiht folgt aus der Definition, dass

3 6.1 Rehtwinklige Dreieke 133 b sin α os α = gilt, und entsprehend ist natürlih a = b a = b a = tan α ot α = 1 tan α = os α sin α. Da in einem rehtwinkligen Dreiek immer 0 < α, β < 90 ist, sind die trigonometrishen Funktionen durh die obigen Gleihungen auh nur für Winkel zwishen 0 und 90 definiert. Der Satz des Pythagoras a +b = liefert nah Division durh die fundamentale Beziehung ( a ) ( b ) sin α + os α = + = 1, wobei sin α eine geläufige Abkürzung für (sin α) ist. Dies bedeutet, dass die Punkte (os α sin α) Punkte auf dem Einheitskreis x + y = 1 sind. Diesen Zusammenhang werden wir weiter unten benutzen, um die trigonometrishen Funktionen auf Winkel > 90 auszudehnen. Mit den oben berehneten Werten der Sinus- und Kosinusfunktionen für α = 30 und α = 45 folgt damit sin 60 = 1 os 30 = = 3 4 = 3. Damit haben wir folgende kleine Tabelle mit den Werten der trigonometrishen Funktionen für α = 30, 45 und 60 : α sin α os α tan α Natürlih ist 1 = 1; wir haben sie stehenlassen, weil sih die Tabelle so leihter merken lässt. Umkehrfunktionen Ist sin α gegeben und der Winkel gesuht, kann man durh Probieren eine Näherung für α finden. So ist sin 40 0,64 und sin 50 0,77; der gesuhte Winkel liegt also zwishen 40 und 50. Weiteres Probieren liefert sin 44 0,695 und sin 45 0,707, folglih liegt der gesuhte Winkel zwishen 44 und 45.

4 Trigonometrie Der Tashenrehner kann die dazugehörigen Winkel allerdings auf Knopfdruk finden: Ist etwa sin α = 0,7, so liefert der Befehl sin 1 (0,7) die Antwort α 44,3. Entsprehend folgt aus os α = 0,7, dass α = os 1 (0,7) 45,6, und aus tan α = 0,7, dass α = tan 1 (0,7) 35 ist. Der Befehl sin 1 entspriht der Funktion arsin α (Arus-Sinus); die negative Hohzahl hat nihts mit unserem a 1 = 1 zu tun, sondern ist eine Abkürzung für arsin, a die man unter anderem aus Platzmangel auf den Tashenrehnertasten eingeführt hat. Die Funktion f(x) = arsin x ist die Umkehrfunktion von g(x) = sin x, so wie f(x) = x die Umkehrfunktion von g(x) = x ist. Ebenso wie (für positive x) x = x gilt (Quadrieren und Wurzelziehen hebt sih auf), gilt auh sin 1 (sin α) = α. Übungen Vervollständige die folgende Tabelle (mit Tashenrehner) α sin α os α tan α Was geshieht mit den Werten von sin α, wenn sih α den Winkeln 0 bzw. 90 nähert? Wie hängen die Werte von sin α und os α mit denjenigen von tan α zusammen? 6.1. Vervollständige die folgenden Tabellen (mit Tashenrehner). sin α 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 α os α 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 α tan α 0,1 0, 0,5 0,7 1,0 1,5,0,5 3,0 α

5 6.1 Rehtwinklige Dreieke Berehne die Werte von sin α + os α für vershiedene Winkel zwishen 0 und 90. Für welhen Winkel ist der Wert am größten? In einem rehtwinkligen Dreiek ABC mit Katheten a = BC und b = AC, der Hypotenuse = AB und den Winkeln α = BAC, β = ABC und γ = 90 sind in der folgenden Tabelle die fehlenden Größen zu bestimmen. a b α β , Unter welhem Winkel shneiden sih die Diagonalen eines Quadrats? Unter welhem Winkel shneiden sih die Diagonalen eines Rehteks mit den Seiten a = 6 und b = 8? Die Diagonalen eines Rehteks shneiden sih unter einem Winkel von 30 ; eine Seite ist 1 m lang. Wie lang ist die andere? Ist dies die einzig möglihe Lösung? Unter welhem Winkel shneiden sih die Raumdiagonalen eines Würfels? Unter welhem Winkel shneiden sih die Raumdiagonalen eines Quaders mit den Kantenlängen a = 5, b = 1 und = 15? In einem gleihshenkligen Dreiek mit den Shenkeln a = b und der Grundseite = AB muss man, um die trigonometrishen Funktionen anwenden zu können, die Höhe h auf einzeihnen. Diese ist (im Falle gleihshenkliger Dreieke) gleih der Seitenhalbierenden von. Berehne die fehlenden Größen in folgender Tabelle. a h α γ

6 Trigonometrie Ein Baum wirft einen Shatten von 4 m Länge, während die Sonnenstrahlen in einem Winkel von 3 einfallen. Wie hoh ist der Baum? Der shiefe Turm von Pisa ist 55 m hoh und ragt oben 4,1 m über seine Grundflähe hinaus. Um welhen Winkel gegenüber der Vertikalen ist er geneigt? Eine 4 m lange Leiter wird in einem Winkel von 15 gegenüber der Wand aufgestellt. In welher Höhe berührt sie die Wand, und wie groß ist ihr Abstand von der Wand am Boden? Zeige, dass tan(90 α) = 1 tan α gilt Gegeben sei ein Dreiek ABC in einem Halbkreis über einem Durhmesser der Länge 1. Zeige: 1. Die Seiten des Dreieks haben die Längen sin α bzw. os α.. Es ist sin α + os α = Für alle Winkel 0 < α < 90 gilt 0 < sin α < 1 und 0 < os α < Für α = 45 ist sin α = os α Zeige mit dem Satz von Umfangs- und Zentrumswinkel, dass der Winkel des linken Dreieks gleih α/ ist. Zeige mit dem Satz von Pythagoras, dass gilt, und bestimme daraus Zeige shließlih, dass = (1 + os α) + sin α = + os α.

7 sin α = sin α os α = = 1 + os α + os α = sin α und + os α 1 + os α 6. Sinus- und Kosinussatz 137 gilt Benutze die Ergebnisse der letzten Übung, um os,5 = + zu zeigen. Leite daraus her, dass und sin,5 = tan,5 = 1 ist. 6. Sinus- und Kosinussatz Die trigonometrishen Funktionen sin α, os α und tan α werden ursprünglih am rehtwinkligen Dreiek definiert. Natürlih kann man diese Funktionen auf beliebige Dreieke loslassen, wenn man eine Höhe einzeihnet. Dabei ergeben sih zwei einfahe Sätze, die bei der Berehnung beliebiger Dreieke hilfreih sind: der Sinussatz und der Kosinussatz. Der Sinussatz Betrahten wir das nebenstehende Dreiek. Sein Fläheninhalt ist A = 1 h. Für die Höhe h gilt sin α = h /b, also h = b sin α, und entsprehend h = a sin β. Also ist A = 1 b sin α = 1 a sin β. Division durh ab und Multiplikation mit ergeben den Satz 6.1 (Sinussatz). In einem Dreiek ABC gilt sin α a = sin β b = sin γ. (6.1)

8 Trigonometrie Die letzte Gleihung in (6.1) haben wir zwar niht direkt bewiesen, sie gilt aber shon deswegen, weil sih am Beweis nihts ändert, wenn man a mit b, b mit und mit a vertausht. Der Sinussatz in seiner jetzigen Form wurde erstmals von dem arabishen Mathematiker Abu Nasr um 1000 n.chr. bewiesen, der Kosinussatz (sh. unten) vom persishen Astronomen Al Biruni. Im Falle eines rehtwinkligen Dreieks ist der Sinussatz wegen sin 90 = 1 nihts anderes als die Definition des Sinus: sin α = 1 bedeutet ja gerade sin α = a. a Natürlih kann man (6.1) auh in der Form a sin α = b sin β = sin γ (6.) a shreiben. Diese Formulierung ist etwas gefälliger, weil Ausdrüke wie sin a Längen sind. In der Tat kann man sih fragen, welhe Länge die drei Ausdrüke in (6.) denn repräsentieren. Natürlihe Längen, die man einem Dreiek zuordnen kann (und die niht von der Wahl der Seiten abhängen), sind z.b. der Umfang, sowie der Um- und der Inkreisradius. Beim Herumspielen mit dem Umkreis wird man dann auh fündig: ist R der Umkreisradius (dessen Mittelpunkt bekanntlih der Shnittpunkt der drei Mittelsenkrehten ist), dann kann man an der Skizze folgendes ablesen: In der Tat ist der Umfangswinkel ACB gleih dem halben Zentrumswinkel AMB; da das Dreiek AMB gleihshenklig ist (denn AM = MB = R ist der Umkreisradius), müssen die Basiswinkel AMS = SMB gleih sein, und wir finden γ = SMB. Da das Dreiek SMB rehtwinklig ist, gilt sin γ = SB MB = R / = R, woraus sin γ = R folgt. Damit haben wir den Sinussatz vershärft: Satz 6.. In einem Dreiek mit Seitenlängen a, b,, Winkeln α, β, γ, und Umkreisradius R gilt a sin α = b sin β = = R. (6.3) sin γ Wir haben oben bereits die Bestimmung des Fläheninhalts des Dreieks mit den Seiten (13,14,15) besprohen. Wir wollen jetzt dieselbe Rehnung am allgemeinen

9 6. Sinus- und Kosinussatz 139 Dreiek mit den Seiten (a, b, ) vorführen. Bezeihnet h die Höhe auf die Grundseite, und bezeihnet man die Abshnitte von durh p und q, so gilt nah Pythagoras p + h = a, und q + h = b. Subtrahiert man diese Gleihungen voneinander, erhält man p q = a b. Die linke Seite ist nah der binomishen Formel gleih p q = (p q)(p+q) = (p q) wegen p + q =. Also ist p q = a b und p + q =, woraus durh Addition folgt, dass p = a b + = a b +. Umformen liefert b = a + p. Wegen os β = p a ist p = a os β; Einsetzen ergibt b = a + a os β. Der Kosinus-Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras mit eingebauter Umkehrung. Rehnerish ist der Kosinussatz leiht zu beweisen. Dazu betrahten wir das Dreiek, das wir shon zum Beweis des Sinussatzes benutzt haben. Dort ist (bei β < 90 ) b = p + h = p + a q. Mit p = q wird daraus Wegen os β = q a b = ( q) + a qr = a + q. ist q = a os β, also b = a + a os β. Vertausht man die Buhstaben zyklish (a b, b, a und damit β γ), erhält man den

10 Trigonometrie Satz 6.3 (Kosinus-Satz). In einem Dreiek mit den Seiten a = BC, b = AC und = AB gilt = a + b ab os γ, wo γ = ACB. Ist γ = 90, so ist os γ = 0, und wir erhalten den Satz des Pythagoras zurük. Im Spezialfall β = 0 wird aus dem Kosinussatz übrigens eine binomishe Formel welhe? Zweiter Beweis. Der Ausdruk ab os γ repräsentiert eine Flähe; der obige rehnerishe Beweis sagt uns allerdings niht, um welhe Flähe es sih handelt. Der nähste Beweis, der dem Euklidishen Beweis des Satzes von Pythagoras nahgebaut ist, erklärt in dieser Hinsiht mehr. Wie bei Euklids Beweis zeigt man (im Falle γ < 90 ), dass die Rehteke ADEF und AHIJ, sowie die Rehteke EFBG und BKLM denselben Fläheninhalt besitzen (die drei Linien im Dreiek sind die Höhen, die sih bekanntlih in einem Punkt shneiden). Damit ist bereits klar, dass in diesem Fall a + b > sein muss. Die Differenz beider Seiten ist die Summe der Flähen von CC IJ und BCC K, die, wie Euklids Beweis zeigt, beide gleih groß sind. Wegen os γ = AM/a ist AM = a os γ, also der Fläheninhalt von BCC K gleih ab os γ. So wie wir im Falle des Sinussatzes den Ausdruk a als Länge interpretiert haben (im Zusammenhang mit dem Umkreis des Dreieks), ist der Term ab os γ eine sin α Flähe. Bei unserem zweiten Beweis haben wir diesen Term tatsählih als Flähe interpretiert; in dieser Hinsiht ist also der zweite Beweis befriedigender als der einfahere erste Beweis. Dritter Beweis. Der nähste Beweis des Kosinussatzes stammt aus dem Buh Trigonometriae sive de triangulorum libri quinque von Bartholomäus Pitisus ( ). Ist ein Dreiek ABC gegeben und ist die längste Seite, dann shneidet der Kreis mit Mittelpunkt C durh B die Seite AB in einem dritten Punkt F, während die Gerade AC den Kreis in den Punkten D und E shneidet. Weiter sei L der Lotfußpunkt von C auf AB und z = BF. Nah dem Sekantensatz gilt nun AD AE = AF AB, also (b a)(b + a) = ( z). Daraus ergibt sih durh Umformen b = a + z, und wegen os β = z folgt daraus der Kosinussatz. a

11 6. Sinus- und Kosinussatz 141 Abb Beweis des Kosinussatzes von Pitisus. Gleihshenklige Dreieke Wir betrahten nun ein gleihshenkliges Dreiek wie in Abb Die Höhe h teilt das Dreiek in zwei rehtwinklige Dreieke mit Grundseite b+d und Hypotenuse ; nah dem Satz des Pythagoras gilt daher ( d + b ) ( = + h d b ) und a = + h. Subtraktion der beiden Gleihungen ergibt ( d + b a = ) ( d b ) = bd. Abb Stumpfwinklige Dreieke Satz 6.4. In einem gleihshenkligen Dreiek wie in Abb. 6.4 gilt = a + bd. (6.4) In dem aus der Hypotenuse a und den Katheten h und d b gebildeten Dreiek gilt offenbar os γ = d b. Also ist a a + b + ab os γ = a + b + ab d b a = a + b + bd b = a + bd, und wegen os γ = os(180 γ ) = os γ erhalten wir daraus einmal mehr den Kosinussatz = a + b ab os γ.

12 14 6. Trigonometrie Übungen 6..1 (Aufnahmeprüfung ETH Zürih, 1980) Vom Quadrat ABCD, das im Gegenuhrzeigersinn orientiert ist, liegt die Seite AB auf der x-ahse, die Eke C auf der Geraden 3x+y = 8 und die Eke D auf der Geraden x y = 0. Berehne die Koordinaten der Eken dieses Quadrats. 6.. Zeige, dass das Dreiek mit den Seiten a = 4, b = 5 und = 6 zwei Winkel enthält, von denen einer das Doppelte des andern ist. Zeige allgemeiner, dass dies in allen Dreieken der Fall ist, deren Seiten durh a = m, b = mn und = m n gegeben sind Das folgende Problem geht auf eine Aufgabe auf S. 151 des Buhs Plane and Solid Geometry von H.E. Slaught und N.J. Lennes zurük. Gegeben sei ein Viertelkreis mit Radius R, in den zwei kleinerere Halbkreise mit und ein Kreis wie angegeben einbeshrieben sind. Bestimme die Radien der Kreise, sowie den Fläheninhalt des grau shraffierten Bereihs. Hinweis: Zwishen den Radien r 1, r und r 3 gibt es einige Beziehungen; man versuhe etwa r 1 +r +r 3 zu bestimmen. Die Hauptshwierigkeit besteht jedoh in dem Nahweis, dass die vier Mittelpunkte ein Rehtek bilden. 6.3 Ptolemaios 6.4 Trigonometrishe Funktionen am Einheitskreis Euler hat die trigonometrishen Funktionen erstmals am Einheitskreis definiert und diese Funktionen damit zu Funktionen gemaht ; davor war sin α in erster Linie ein Verhältnis von Seitenlängen in einem rehtwinkligen Dreiek.

13 6.4 Trigonometrishe Funktionen am Einheitskreis 143 Die Koordinaten eines Punktes P auf dem Einheitskreis, für den OP mit der x- Ahse einen Winkel α bildet, sind gegeben durh (os α, sin α). Der Tangens ist die Länge der Streke von (1 0) bis zum Shnittpunkt der Geraden OP und der Tangente in (1 0) an den Kreis. An diesen Skizzen kann man sofort ablesen, dass für Winkel zwishen 0 und 90 alle drei Funktionen sin α, os α und tan α positiv sind. Für Winkel zwishen 90 und 180 ist sin α weiterhin positiv, aber os α und tan α werden beide negativ. Die folgende Figur erklärt die Herkunft des Wortes Tangens vielleiht nioh besser als die obige:

14 Trigonometrie Um zu zeigen, dass diese Definition des Tangens mit der obigen übereinstimmt, muss man etwas zeigen: Aufgabe 6.1. Beweise, dass in der rehten Figur T T = SS ist. Die Verdoppelungsformel Für sin α und os α gibt es Formeln, die sin α bzw. os α in Abhängigkeit von sin α und os α ausdrüken. Um diese Beziehung herzuleiten, berehnen wir den Fläheninhalt eines gleihshenkligen Dreieks mit b = = 1 und a auf zwei Arten. Die beiden Basiswinkel bezeihnen wir mit β, den Winkel an der Spitze mit α. Einerseits ist A = 1 ah, wobei h = os α ist wegen = 1, und a = sin α. Also ist A = sin α os α. Andererseits ist A = 1h = 1h (wieder wegen = 1), sowie h = sin α. Vergleiht man beide Formeln, erhält man sin(α) = os(α) sin(α). Satz 6.5. Für den Sinus gilt die Verdoppelungsformel sin(α) = os(α) sin(α). (6.5) Daraus erhält man durh Ableiten (dazu muss man α im Bogenmaß messen) das Pendant os(α) = os α sin α, (6.6) eine Gleihung, die man auh algebraish aus der ersten herleiten kann. Quadriert man nämlih (6.5), folgt also 1 os α = sin α = 4 os α(1 os α), os α = (1 os α). Wurzelziehen ergibt os α = ±(1 os α). Für 0 α 45 ist die linke Seite positiv und os α 1, also muss os α = os α 1 = os α sin α gelten, und diese Gleihung gilt auh für Winkel größer als 45. Löst man os α = os α 1 nah os α auf, erhält man die Halbierungsformel für den Cosinus:

15 6.4 Trigonometrishe Funktionen am Einheitskreis os α os α =, (6.7) die in dieser Form für alle Winkel 0 α 90 (und allgemeiner für alle Winkel α, für welhe os α 0 ist) gilt. Aufgabe 6.. Leite ganz entsprehend die Additionstheoreme für die trigonometrishen Funktionen her.

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