K l a u s u r N r H j G k M 11

Transkript

1 K l a u s u r N r H j G k M 11 Aufgabe 1 Gegeben ist die Parabel f(x) 1 und die Gerade 8 x2 g(x) - x - 6 a) Weisen Sie durh Rehnung nah, dass die Gerade g(x) eine Passante zur Parabel f(x) ist. b) Die Gerade t(x) verläuft senkreht zur Geraden g und berührt den Graphen der Parabel f im Punkt B. Bestimmen Sie die Funktionsgleihung für die Tangente t(x), die Koordinaten des Berührpunktes B und die Koordinaten des Punktes A, in dem sih die Geraden g und t shneiden. ) Eine Gerade h verläuft durh den Berührpunkt B und den Brennpunkt F der Parabel und shneidet die Gerade g im Punkt C. Geben Sie die Funktionsgleihung von h an, und bestimmen Sie die Koordinaten des Shnittpunktes C. d) Spiegelt man den Punkt A an der Geraden h, so erhält man den Spiegelpunkt A*. Geben Sie die Koordinaten von A* an. e) Die Punkte A,B,A*,C sind die Ekpunkte eines Viereks. Um was für ein Vierek handelt es sih? Bestimmen Sie den Fläheninhalt des Viereks. f) Fertigen Sie eine Wertetabelle ( 8 x 8) für die Parabel f an. Zeihnen Sie die Parabel f, die Geraden g, t, h und das Vierek in ein Koordinatensystem ein. Aufhabe 2 Gegeben ist die Parabel f(x) x 2-6 x 8 Bestimmen Sie die Funktionsgleihung für die Tangente t, die den Graphen der Parabel im Punkt B (5 / f (5)) berührt. Aufgabe Gegeben ist die ganze rationale Funktion vierten Grades f(x) x 4-15 x 58 x 2-18 x - 92 Bestimmen Sie die Nullstellen dieser Funktion.

2 Aufgabe 4 Eine Parabel f(x) a x 2 b x a,b, R, a hat den Sheitelpunkt S (4 / 8). Der Graph der Parabel verläuft außerdem durh den Punkt P ( 6 / 6). Bestimmen Sie die Funktionsgleihung der Parabel. Aufgabe 5 Lösen Sie die folgenden Gleihungssysteme, indem Sie die zugehörige Matrix zunähst auf "Dreiekgestalt" (Gauß-Verfahren) bringen. a) x 9 x 9 x y y 5 y 2 z z 4 z b) a a 6 a a 5 b 9 b 24 b 6 b 9 6 d d 18 d 9 d

3 L ö s u n g Aufgabe 1 a) 1 8 x2 x x2 x 6 x 2 8 x 48 x 2 8 x 16 2 x 4 2 Da der Radikand negativ ist, existiert keine Lösung; d.h. es gibt keinen Shnittpunkt zwishen der Geraden g und der Parabel f. Die Gerade g ist folglih eine Passante. b) t(x) g(x) m t 1 m g Die Tangente t(x) hat die Steigung m t 1 und läßt sih folglih in der Form t(x) x b darstellen. f(x) t(x) 1 8 x2 x b 1 8 x2 x b x 2 8 x 8 b x 2 8 x 16 8 b 16 x 4 ± 8 b 16 ( ) Wenn t(x) eine Tangente ist, muß der radikand den Wert annehmen. 8 b 16 b 2 Die Gleihung der Tangente lautet: t(x) x 2

4 Durh Einsetzen in ( ) erhält man: x 4 x 4 t(4) f(4) 2 Der Berührpunkt B hat die Koordinaten B (4 / 2) t(x) g(x) x 2 x 6 2 x 4 x 2 t( 2) g( 2) 4 Der Shnittttpunk A hat die Koordinaten A ( 2 / 4) ) Für die Koordinaten des Brennpunktes einer Parabel der Form f(x) a x 2 gilt: F 1 mit a 1 F ( / 2) 4 a 8 Der Berührpunkt ist B (4 / 2) Da beide Punkte die y-koordinate y 2 haben, ist die Gerade h, die durh F und B verläuft, eine Parallele zur x-ahse. Die Funktionsgleihung der Geraden h lautet: h(x) 2 g(x) h(x) x 6 2 x 8 x 8 Der Shnittpunkt hat die Koordinaten C ( 8 / 2) d) Die Koordinaten des Spiegelpunktes sind A ( 2 / 8) (s. Zeihnung) e) Das Vierek ABA C ist ein Quadrat. Begründung: Das Dreiek ABC ist rehtwinklig, weil g t ist. Außerdem gilt: AC AB Spiegelt man ein rehtwinklig gleihshenkliges Dreiek an seiner Hypothenuse, so erhält man ein Quadrat.

5 zu Aufgabe 1f

6 Es ist d CB 12 LE die Diagonale dieses Quadrates. Für den Fläheninhalt A gilt dann: A 1 2 d Das Quadrat hat den Fläheninhalt A 2 FE f) x ±,5 ± 1 ± 1,5 ± 2 ± 2,5 f(x),125,125,28125,5,8125 x ± ±,5 ± 4 ± 4,5 ± 5 5,5 f(x) 1,125 1, ,5125,125,8125 x ± 6 ± 6,5 ± ±,5 ± 8 f(x) 4,5 5, ,125,125 8 Aufgabe 2 f(x) x 2 6 x 8 f(5) 2 8 B (5 / ) t(x) m x b 5 m b b 5 m ( ) f(x) t(x) x 2 6 x 8 m x b x 2 6 x m x b 8 x 2 6 m x b 8 x 2 6 m x 6 m 2 b m 2 2

7 Da t(x) Tangente ist, gilt: 2 6 m b m 8 9 m 1 4 m2 1 4 m2 2 m 4 m 2 8 m 16 Durh Einsetzen in ( ) (m 4) 2 m 4 erhält man: mit ( ) b 2 1 Die Funktionsgleihung für die Tangente t, die den Graphen von f im Punkt berührt, lautet: B (5 / ) t(x) 4 x 1 Aufgabe f( 1) (x 4 15 x 58 x 2 18 x 92) : (x 1) x 16 x 2 4 x 92 : k(x) x 4 x 16 x 58 x 2 16 x 16 x 2 4 x 2 18 x 4 x 2 4 x 92 x x 92 k(2) (x 16 x 2 4 x 92) : (x 2) x 2 14 x 46 x 2 x 2 14 x 2 4 x 14 x 2 28 x 46 x x 92

8 x 2 14 x 46 x 2 14 x 46 x 2 14 x 49 x ± x x 4 Die Nullstellen der ganzen rationalen Funktion vierten Grades sind: x 1 1, x 2 2, x und x 4. Aufgabe 4 Der Graph der Parabel ist symmetrish zu einer Parallelen zur y-ahse, die durh den Sheitelpunkt verläuft. Folglih erhält man einen weiteren Punkt P, der auf dem Graphen der Parabel liegt, indem man P an dieser geraden spiegelt. Es gilt: P (14 / 6) Durh Einsetzen der Koordinaten von S, P und in die Parabelgleihung a x 2 b x f(x) erhält man das folgende Gleihungssystem: 16 a 6 a 196 a 4 b 6 b 14 b ( ) II I III II 2 a 16 a 1 b 2 b 5 : 5 : 1 4 a 2 b a 2 b ( ) ( ) P 2 a 4 in ( ) ergibt: 16 ( 4 ) 2 b 2 b b 12 6 in ( ) ergibt :

9 16 ( 4 ) Die gesuhte Funktionsgleihung lautet: f(x) 4 x2 6 x 4 Aufgabe 5 a x 9 x 9 x y y 5 y 2 z z 4 z z x y I 2 II III 2 I II III ( ) ( ) 18 y 6 y 2 in ( ) 25 x 4 41 x in ( ) 2 z ( ) z z 1 z 5 Das Gleihungssystem hat die Lösung: x, y 2, z 5 Aufgabe 5 b a a 6 a a 5 b 9 b 24 b 6 b 9 6 d d 18 d 9 d II I III 2 II IV II II III 2 IV III

10 IV III I II III IV Aus IV folgt: 12 d 48 d 4 in III ergibt: in II 6 b b 6 b 6 in I ergibt: ergibt: a a 8 4 a 2 Das Gleihungssystem hat die Lösung: a 2, b 6, 8, d 4