Analysis. Tangenten, Normalen, Änderungsraten. Schaubilder von Ableitungsfunktionen

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1 Analysis Shaubilder von Ableitungsfunktionen Allg. Gymnasien: ab Klasse 0 Beruflihe Gymnasien: ab Klasse Berufskolleg: Aufgaben ohne *) Hilfsmittel: wissenshaftliher Tashenrehner Alexander Shwarz Juli 08

2 Aufgabe : Skizziere den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion f. Aufgabe : Gegeben sind die Graphen dreier Funktionen f, g, h sowie sehs weitere Graphen, darunter auh die Graphen der Ableitungsfunktionen dieser drei Funktionen. Ordne den drei Funktionen jeweils ihre Ableitungsfunktion zu und begründe deine Entsheidung. a) b) )

3 Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f(x) x x. a) Bestimme die Gleihung der Tangente im Punkt B(6/f(6)). b*) Die Normale im Punkt B(6/f(6)) shneidet den Graphen von f(x) in einem weiteren Punkt R. Gib seine Koordinaten an. ) Bestimme durh Rehnung einen Punkt Q des Graphen, in dem die Tangente parallel ist zur Geraden g mit der Gleihung y 8x 5. Gib die Gleihung der Tangente an. Aufgabe : Ein Bestand werde im Intervall 0 x 5 durh die Funktion f(x) 0,5x (x 8) beshrieben. a) Zeihne das Shaubild der Funktion f. b) Bestimme die mittlere Änderungsrate im Intervall 0 x 5. ) Bestimme die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt x = zeihnerish und rehnerish. d) In welhem Punkt beträgt die momentane Änderungsrate? Aufgabe 5: Ein Wahstumsprozess werde durh die Funktion f(t) 0,5t t, t 0 beshrieben. a) Bestimme die mittlere Änderungsrate im Intervall [;5]. b) Bestimme die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t =. ) Bestimme die Gleihung der Tangente an das Shaubild im Punkt P(/f()). Aufgabe 6*: Bestimme die Tangentengleihung an das Shaubild der Funktion f mit f(x) x x, die die Steigung besitzt. Berehne den Inhalt des Dreieks, das von dieser Tangente, der zugehörigen Normalen und der y-ahse begrenzt wird.

4 Lösungen Aufgabe : Die gestrihelte Linie ist das Shaubild der Ableitungsfunktion. Aufgabe : a) Shaubild von f(x): Die Parabel hat an der Stelle x = - ein lokales Minimum. Das bedeutet, dass die Ableitungsfunktion an der Stelle x = - eine Nullstelle mit einem Vorzeihenwehsel von - nah + besitzen muss. Hier kommen nur die Shaubilder und 6 in Frage. Es ist jedoh Shaubild 6..Argument: f(x) ist eine Parabel (Funktion.Grades) und das Shaubild der Ableitungsfunktion ist daher eine Gerade.Argument: Da f(x) bei x = keinen Punkt mit waagrehter Tangente besitzt, kann Shaubild niht die Ableitungsfunktion von f(x) sein. b) Shaubild von g(x): Das Shaubild hat bei x = - und x = zwei Extremstellen. Das bedeutet, dass die Ableitungsfunktion an den Stellen x = - und x = eine Nullstelle mit einem Vorzeihenwehsel besitzen muss. An der Stelle x = - ist es ein VZW von - nah +. An der Stelle x = ist es ein VZW von + nah -. Die zugehörige Ableitungsfunktion ist in Shaubild zu sehen. ) Shaubild von h(x): Das Shaubild besitzt keinen Punkt mit waagrehter Tangente und ist bei x = - unterbrohen. Folglih besitzt die Ableitungsfunktion keine Nullstellen und ist ebenfalls bei x = - unterbrohen. Hier kommen nur die Shaubilder und in Frage. Da das Shaubild von h(x) streng monoton fallend ist, befindet sih das Shaubild der Ableitungsfunktion komplett unter der x-ahse. Die zugehörige Ableitungsfunktion ist in Shaubild zu sehen. Aufgabe : a) Es gilt f(x) x x und f (x) x Ansatz für die Tangentengleihung: y Aus f(6) folgt, dass B(6/) der Berührpunkt ist. Steigung der Tangente: f (6) Einsetzen der Steigung und von B: 6 Tangentengleihung in B: y x

5 b) Zunähst muss die Gleihung der Normalen aufgestellt werden. Ansatz für die Normalengleihung: y Steigung der Normalen: m m Tangente Einsetzen der Steigung und von B: 6,5 Normalengleihung in B: y x,5 Shnittpunkt der Normale mit dem Shaubild von f: x x x,5 x,75x,5 0,75,75 (,5),75,5 x, Es gilt x 6 (entspriht Punkt B) und x (dies ist der x-wert von Punkt R) 8 Berehnung des y-wertes von R: 8 f( ), also 8 8 R( / ) 8 ) Gesuht ist eine Tangente mit der Steigung m = -8: f (x) x 8 x Berehnung des y-wertes von Q: f( ) 9 Koordinaten von Q: Q(-/9) Ansatz für Tangentengleihung: y Einsetzen der Steigung und von Q: 9 8 ( ) 5 Tangentengleihung in Q: y 8x 5 Aufgabe : a) 5

6 b) Mittlere Änderungsrate im Intervall 0 x 5: f(5) f(0) 7,5 5, ) Momentane Änderungsrate bei x = (zeihnerish): mtangente Es ist f(x) 0,5x x mit der Ableitungsfunktion f (x) x Momentane Änderungsrate bei x = (rehnerish): f () d) Die momentane Änderungsrate ist, wenn gilt f (x) x x Mit f() 6 lautet der gesuhte Punkt A( 6). Aufgabe 5: Es ist f(t) 0,5t t mit der Ableitungsfunktion f (t) t a) Mittlere Änderungsrate im Intervall t 5: f(5) f() 8,5 0,5 5 b) Momentane Änderungsrate bei t = : f () ) Ansatz für Tangentengleihung: y Aus f(),5 folgt, dass B(,5) der Berührpunkt ist. Steigung der Tangente: f () Einsetzen der Steigung und von B:,5,5 Tangentengleihung in B: y x,5 Aufgabe 6: Gegeben ist die Funktion f(x) x x mit der Ableitungsfunktion f (x) x Anhand der gegebenen Steigung kann die Berührstelle berehnet werden. f (x) x x Ansatz für die Tangentengleihung: y Aus f() folgt, dass B( -) der Berührpunkt ist. Einsetzen der Steigung und von B: 6 Die Tangentengleihung in B lautet y x 6 Gleihung der Normalen in B: m m Tangente Ansatz für die Normalengleihung: y Einsetzen der Steigung und von B: Die Normalengleihung in B lautet y 0,5x 6

7 Um die Dreieksflähe zu berehnen, zeihnet man die Tangente und die Normale in ein Koordinatensystem ein: ADreiek 5 5 Fläheneinheiten 7