Analysis. Gebrochenrationale Funktionen: Anwendungsaufgaben. Allg. Gymnasien: Ab J1 / Q1. Alexander Schwarz.

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1 Analysis Gebrochenrationale Funktionen Anwendungsaufgaben Allg. Gymnasien: Ab J1 / Q1 Alexander Schwarz Juli 18 1

2 Aufgabe 1: Eine Firma wirbt für die Wärmedämmung von Häusern mit der Verringerung der Heizkosten. Sie behauptet, dass bei einer Dämmschicht der Dicke d für die jährlichen Heizkosten H(d) pro m² Außenwand gilt: 1 H(d) (d in cm; H(d) in ) d a) Bei welcher Dicke der Dämmschicht betragen die Heizkosten noch ein Drittel der Heizkosten ohne Dämmschicht? Für das Anbringen einer Dämmschicht der Dicke d berechnet die Firma pro m² einen Betrag F(d) 7,5d (d in cm; F(d) in ) b) Welche Bedeutung haben dabei die Zahlen 7 und,5 in der Praxis? Bei einer Betriebszeit von Jahren setzen sich die Gesamtkosten pro m² zusammen aus den Kosten für das Anbringen der Dämmschicht und den Heizkosten während der folgenden Jahre. c) Stelle eine Funktion G(d) auf, die in Abhängigkeit von der Dämmschicht die Gesamtkosten für Jahre beschreibt. d) Bei welcher Dicke der Dämmschicht sind die Gesamtkosten für Jahre am kleinsten? (auf eine Untersuchung der Randwerte kann verzichtet werden) Aufgabe : Die Herstellungskosten eines Computers in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl werden durch die Funktion H beschrieben: 465 H(x) 55 x mit x x: Stückzahl, H(x): Herstellungskosten des x-ten Computers in Euro. Ihr Schaubild sei K. a) Weise nach, dass die Herstellungskosten ständig sinken. b) Auf welchen Wert stabilisieren sich die Herstellungskosten bei sehr hohen Stückzahlen?

3 c) Wie hoch sind die durchschnittlichen Herstellungskosten eines Computers bei einer Stückzahl von 1 Stück? d) Ein Händler kauft die Computer zum Herstellungspreis ein und verkauft sie zu einem Preis von 64 Euro. Ab welcher Stückzahl liegen die Herstellungskosten erstmals unter dem Verkaufspreis? e) Wie hoch ist der Gewinn des Händlers, wenn 5. Computer bei der Herstellerfirma geordert werden und die Verkaufsrate 98,5% beträgt? Wie hoch muss die Verkaufsrate mindestens sein, so dass kein Verlust entsteht? Aufgabe : In einem landwirtschaftlichen Versuchsbetrieb wird auf gleich großen Versuchsflächen jeweils eine bestimmte Menge Mineraldünger ausgebracht. Nach der Ernte wird der Ertrag bestimmt. Man kommt zu folgenden Ergebnissen: Mineraldünger in kg 1 Ertrag in kg Der Zusammenhang zwischen Mineraldünger und Ertrag soll modellhaft durch die Funktion f b beschrieben mit f(x) a mit x x6 x: Menge an Mineraldünger in kg, f(x) Ertrag in kg a) Bestimme die Parameter a und b so, dass die Funktion f die obigen Ergebnisse 6 wiedergibt (Teilergebnis: f(x) 16 ). x6 b) Zeige, dass die Funktion f(x) streng monoton wachsend ist. Bestimme die Gleichung der waagrechten Asymptote und interpretiere diese im Sachzusammenhang. c) Welche Menge an Mineraldünger muss eingesetzt werden, so dass der Ertrag auf das 1,5-fache im Vergleich zur ungedüngten Versuchsfläche gesteigert wird? d) Berechne die prozentuale Abweichung des Modells vom realen Ertrag, wenn dieser bei einem Einsatz von 6 kg Mineraldünger 98 kg beträgt. Da die Funktion f die tatsächlichen Werte nur anfangs gut wiedergibt, werden die obigen Versuchsergebnisse ab sofort durch eine ganzrationale Funktion g zweiten Grades näherungsweise dargestellt. e) Gib eine Funktionsgleichung von g an und berechne damit, bei welcher Menge Mineraldünger der höchste Ertrag erzielt werden kann. f) 1 kg Mineraldünger kostet Euro. 1 kg Ernteertrag erzielt einen Preis von 6 Euro. Bei welcher Mineraldüngermenge ist bei Verwendung der Funktion g(x) der Gewinn am größten?

4 Aufgabe 4: Die Skizze zeigt einen Eisenbahnviadukt, dessen mittlerer Bogen weggebrochen ist. Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die y-achse die Symmetrieachse für den weggebrochenen Bogen ist. Alle Bögen haben eine Weite von 4 m und vom Sockel (der x-achse) aus gemessen eine Höhe von 16 m. k Der fehlende Bogen kann durch eine Funktion f(x) 5 mit k x a mathematisch beschrieben werden. a) Bestimme die Konstanten a und k aus den gegebenen Abmessungen des Viaduktes, gib die Funktionsgleichung, den maximalen Definitionsbereich D max und den auf die Darstellung des Bogens beschränkten Definitionsbereich D Viadukt von f an. 5 Für die weitere Rechnung in b) und c) wird die Funktion f(x) 5 x 5 verwendet. b) Zeige rechnerisch, dass die Funktion f(x) keine weiteren Nullstellen außer 1 und -1 besitzt. Zeige, dass der Graph von f außer H(/16) keinen weiteren lokalen Extrempunkt besitzt. c) Welche Bedingungen müssen die Parameter k und a erfüllen, damit f zwei Nullstellen, eine bzw. keine Nullstelle besitzt? 4

5 Aufgabe 1: Lösungen 1 a) Heizkosten ohne Dämmschicht: H(), pro m² Gesucht ist die Dicke d, so dass H(d) d9d6cm 9 d Bei einer Dicke von d = 6 cm betragen die Heizkosten noch ein Drittel der Heizkosten ohne Dämmschicht. b) Die Zahl 7 entspricht den Fixkosten, die immer zu bezahlen sind, unabhängig davon, wie viel Dämmschicht angebracht wird. Die Zahl,5 ist der Preis in pro cm Dämmschicht, die angebracht wird. c) Gesamtkosten nach Jahren = Heizkosten in Jahren + Kosten für das Anbringen: G(d) 1 7,5d,5d 7, d > d d d) Ableitungen von G(d): 1 G(d) (d),5d 7 G(d) (d ),5,5 (d) G (d) 4(d ) 4 (d) Hinreichende Bedingung für Tiefpunkt: G(d) und G (d) (d),5,5(d ) 4 d 7, (d) 7 Daraus folgt d 4, 56cm (die andere Lösung ist negativ und fällt damit weg) 4 G (4,56) also Minimum für d = 4,56 cm 7,56 Somit sind die Gesamtkosten bei einer Dämmdicke von d =4,56 cm am kleinsten. 5

6 Aufgabe : a) Es ist zu zeigen, dass die Funktion H(x) streng monoton fallend ist. Dies ist der Fall, wenn H(x) ist für alle x Ableitungen von H(x): 465 H(x) (x) x 97 H(x) 465(x ) (x) 1 Da (x) ist für x folgt daraus, dass H(x) ist. Somit ist die strenge Monotonie gezeigt. b) Die Kosten bei sehr hohen Stückzahlen entspricht dem Verhalten von H(x) für x. Dies entspricht dem Wert der waagrechten Asymptote. Die Gleichung der waagrechten Asymptote von H(x) lautet y 55 Begründung: Der Term 465 x für x Die Herstellkosten betragen langfristig 55 Euro. c) Durchschnittliche Herstellkosten bei einer Stückzahl von 1 Stück: ( (x ) )dx 55x 465 ln(x ) ,7546, 7,7 Euro 1 d) Stückzahl, bei der die Herstellungskosten unter 64 Euro liegen: Zunächst wird berechnet, bei welcher Stückzahl die Herstellungskosten exakt 64 Euro betragen: 465 H(x) (x) 46564(x ) x 11x x 19 x 56 Da H(x) streng monoton fällt, liegen ab einer Stückzahl von 57 die Herstellungskosten unterhalb von 64 Euro. e) Gewinn bei 5. Computer = Verkaufserlös Herstellungskosten Verkaufserlös = 5. 64, Euro Herstellungskosten = 5 1 H(x)dx 55x465ln(x) 96456, 6546, 97996, Euro Gewinn = , = 14.,7 Euro 5 6

7 Minimale Verkaufsrate ohne Verlust: Die Verkaufsrate sei p. Ohne Verlust heißt erwarteter Gewinn sei Null. 564p , p,918 also minimale Verkaufsrate 91,8%. Aufgabe : a) Es gilt: b f() 8a 86ab 48 (*) 6 b f(1) 88a 887ab 616 (**) 7 Lösung des linearen Gleichungssystems (*) und (**): 6a b 48 7a b 616 ( 1) 6a b 48 1a 16 Aus.Zeile folgt: a = 16 Aus 1.Zeile folgt b = 6 6 Es gilt f(x) 16 x6 Probe für x = : f() 94 was zum Tabellenwert passt b) Ableitungen: 6 f(x) (x6) x6 6 f (x) 6 (x6) (x6) Die Funktion f(x) ist streng monoton wachsend, wenn f (x) ist für x Da (x6) ist für x gilt auch f (x). Damit ist nachgewiesen, dass f(x) streng monoton wächst. 1 Die Gleichung der waagrechten Asymptote von H(x) lautet y 16 Begründung: Der Term 6 x6 für x Interpretation: Bei sehr hohen Düngermengen ist der Ertrag näherungsweise 16 Euro. c) Ertrag bei ungedüngter Fläche: f() 8kg. 1,5-faches von 8 kg = 1 kg 6 Bedingung: H(x) x6 16(x6) 61(x6) 16x481x7x 15 Für den 1,5-fachen Ertrag benötigt man 15 kg Mineraldünger. 7

8 d) Es gilt f(6) 18kg. Tatsächlich werden nur 98 kg benötigt. Prozentuale Abweihung: 18 1, 1 also Abweichung von 1,% 98 e) Ganzrationale Funktion.Grades mit Ansatz g(x) ax bxc Bedingung: g() 8c 8 g(1) g() 881a1b8 881a1b 8 (*) 94 4ab8 94 4ab 14 (**) Lösung des Gleichungssystems (*) und (**): 1a 1b 8 4a b 14 ( ) 1a 1b 8 a Aus.Zeile folgt: a = -,1 Aus 1.Zeile folgt b = 9 Die Funktion lautet g(x),1x 9x 8 Für das Maximum wird der Hochpunkt von g(x) berechnet. Hinreichende Bedingung: g(x) und g (x) g(x),x 9 g (x),,x9 x 45 g (45),, also Hochpunkt H(45 g(45)) H(45 1,5) Bei einer Düngermenge von 45 kg ergibt sich ein maximaler Ertrag von 1,5 kg. f) Die Funktion h(x) sei der Gewinn in Abhängigkeit von der Düngermenge x. h(x) = Gewinn = Einnahmen Kosten h(x) 6g(x) x6 (,1x 9x8) x,6x 5x 48 Für das Maximum wird der Hochpunkt von h(x) berechnet. Hinreichende Bedingung: h(x) und h (x) h(x) 1,x 5 h (x) 1, 1 1,x 5x 1 h ( ) 1,, also Hochpunkt H( h( )) H( 596,67) Der Gewinn mit maximal für x = 4, kg und der maximale Gewinn beträgt 596,67 Euro. 8

9 Aufgabe 4: a) Um die Parameter a und k zu berechnen, benötigt man zwei Punkte des Schaubildes von f. k H(/16) liegt auf dem Schaubild: f() k9a a P(1/) liegt auf dem Schaubild: k f(1) 5k65ak5a6 144a Lösung des Gleichungssystems (*) und (**): k 9a k 5a 6 ( 1) k 9a 16a 6 Aus.Zeile folgt: a = 5 Aus 1.Zeile folgt k = 5 Die Funktionsgleichung lautet 5 f(x) 5 x 5 Maximale Definitionsmenge: Der Nenner der Funktionsgleichung darf nicht Null werden: x 5x 15 Die maximale Definitionsmenge lautet D max R \{ 15;15} Da die Bogenweite des Viadukts 4 m beträgt, ist die Definitionsmenge des Bogens D [ 1 ; 1] Viadukt b) Nullstellen von f: Bedingung f(x) 5 5 x 5 55 (x 5) (x 5) x 581x 144x 1 Damit ist gezeigt, dass es nur zwei Nullstellen x = -1 und x = 1 gibt. Ableitungen von f: 1 f(x) 5 x x f (x) 5 x 5 x (x 5) Berechnung der Extrempunkte von f(x): Hinreichende Bedingung: f (x) und Vorzeichenwechsel von f 45x (x 5) 45x x Kontrolle des Vorzeichenwechsels bei x = : f ( 1) und f (1) Da ein VZW von + nach existiert, liegt bei x = ein Hochpunkt vor. Weitere Extrempunkte gibt es nicht, was zu zeigen war. 9

10 c) Berechnung der Nullstellen von k f(x) 5 x a mit k : k f(x) 5 x a k5(x a) (x a) k5x 5a 5ak x 5 Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen, wenn 5a k ist, also 5a > k. Die Gleichung besitzt eine Lösung, wenn 5ak ist, also 5a = k. Die Gleichung besitzt keine Lösung, wenn 5ak ist, also 5a < k. 1