Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis

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1 Analysis Ganzrationale Funktionen Nullstellen, Funktionen aufstellen, Extrempunkte, ymmetrie, Verhalten im Unendlichen Gymnasium Klasse 10 Alexander chwarz Juni 014 1

2 Aufgabe 1: ( Teil f) mit GTR) Bestimme die Nullstellen und zerlege den Funktionsterm in Faktoren. kizziere das chaubild von f mit Hilfe der Achsenschnittpunkte, möglicher ymmetrie und dem Verhalten von f für x und für x. a) d) g) f(x) = x 5x b) 4 f(x) = x 6x + 9 e) f(x) = (x+ ) (x+ 1) h) f(x) = ( x ) c) 6 f(x) = x x 8 f) 6 6 f(x) = 4x (x 9) + 4x 5 f(x) = x 8x f(x) = x 1x+ 10 (mit GTR) Aufgabe : Eine ganzrationale Funktion. Ordnung hat die Nullstellen -, 1 und,5. Ihr chaubild geht durch den Punkt P(0/15). Wie lautet die Funktionsgleichung? Aufgabe : Das chaubild einer ganzrationalen Funktion 4.Grades ist symmetrisch zur y-achse, berührt die x-achse bei x = und geht durch A(0/-4). Bestimme die Funktionsgleichung. Aufgabe 4: Gib alle ganzrationalen Funktionen 5.Grades an, die x = 1 als dreifache und x = als doppelte Nullstelle haben. Aufgabe 5: (mit GTR) 1 1 Das chaubild der Funktion f mit f(x) = x + x x 4 schneidet aus der Geraden x + 8y+ 6= 0 zwei Abschnitte heraus. Berechne ihre Länge. Aufgabe 6: (mit GTR) Bestimme die Achsenschnittpunkte und die lokalen Extrempunkte der chaubilder mit dem GTR. a) f(x) = 4x 4x x 6 b) f(x) = x 6x 875x c) 4 f(x) = 0,1x x + x + x+ Aufgabe 7: Bestimme die chnittpunkte der chaubilder von f und g: f(x) = x 4x + x 1 und g(x) = x x 1 Aufgabe 8: Erkläre, warum eine ganzrationale Funktion n-ten Grades höchstens n Nullstellen haben kann. Aufgabe 9: Gib eine ganzrationale Funktion 4.Grades an, die genau eine (zwei, drei) Nullstellen hat. Aufgabe 10: Eine Parabel.Ordnung ist symmetrisch zum Punkt (0/) und geht durch die Punkte A(/6) und B(4/1). Bestimme ihre Gleichung.

3 Lösungen Aufgabe 1: a) f(x) = x 5x f(x) = 0 x 5x = 0 x (x 5) = 0 atz vom Nullprodukt: x = 0 oder x = 5 Zerlegung in Faktoren: f(x) = x (x 5) chnittpunkt mit der y-achse: f(0) = 0 y(0/0) ymmetrie: keine erkennbar, da gerade und ungerade Hochzahlen existieren Für x gilt f(x) (Betrachte den Term mit größter Hochzahl) b) 4 f(x) = ( x ) = 4 1x + 9x f(x) = 0 ( x ) = 0 x = x=± x = 0 Zerlegung in Faktoren: f(x) = ( (x ) (x + )) = 9 (x ) (x + ) chnittpunkt mit der y-achse: f(0) = 4 (0/ 4) y ymmetrie: Achsensymmetrie zur y-achse, da nur gerade Hochzahlen existieren Für x gilt f(x) + (Betrachte den Term mit größter Hochzahl)

4 c) 5 f(x) = x 8x 5 f(x) = 0 x 8x = 0 x (x 4) = 0 atz vom Nullprodukt: x = 0 oder x = oder x = - Zerlegung in Faktoren: f(x) = x (x 4) = x (x+ ) (x ) chnittpunkt mit der y-achse: f(0) = 0 y(0/0) ymmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung, da nur ungerade Hochzahlen existieren Für x gilt f(x) (Betrachte den Term mit größter Hochzahl) 4

5 d) 4 f(x) = x 6x + 9 = (x ) f(x) = 0 (x ) = 0 x = x=± x = 0 Zerlegung in Faktoren: f(x) = (x ) (x+ ) chnittpunkt mit der y-achse: f(0) = 9 y(0/9) ymmetrie: Achsensymmetrie zur y-achse, da nur gerade Hochzahlen existieren Für x gilt f(x) + (Betrachte den Term mit größter Hochzahl) e) 6 f(x) = x x 8 6 f(x) = 0 x x 8= 0 ubstitution: dies führt auf die quadratische Gleichung u= x u u 8= 0 ± 4+ ± 6 Lösungsformel: u1, = = u= 4 oder u = -. Rücksubstitution: x = 4 x= 4 x = x= Zerlegung in Faktoren: Die substituierte Gleichung lässt sich zerlegen in (u 4) (u+ ) Nach Rücksubstitution ergibt sich als Zerlegung chnittpunkt mit der y-achse: f(0) = 8 y(0/ 8) f(x) = (x 4) (x + ) 5

6 ymmetrie: keine erkennbar, da gerade und ungerade Hochzahlen existieren Für x gilt f(x) + (Betrachte den Term mit größter Hochzahl) f) f(x) = x 1x+ 10 f(x) = 0 x 1x+ 10= 0 Lösung mit dem GTR: x,791 oder x= 1 oder x 1,791 Zerlegung in Faktoren: f(x) (x+,791)(x 1)(x 1,791) chnittpunkt mit der y-achse: f(0) = 10 y(0/10) ymmetrie: keine erkennbar, da gerade und ungerade Hochzahlen existieren Für x gilt f(x) (Betrachte den Term mit größter Hochzahl) 6

7 g) f(x) = (x+ ) (x+ 1) = (x + 6x+ 9)(x+ 1) = x + 7x + 15x+ 9 f(x) = 0 (x+ ) (x+ 1) = 0 atz vom Nullprodukt: x = - oder x = -1 Zerlegung in Faktoren: Funktionsgleichung liegt bereits in der Zerlegung vor chnittpunkt mit der y-achse: f(0) = 9 (0/9) ymmetrie: keine erkennbar, da gerade und ungerade Hochzahlen existieren Für x gilt f(x) (Betrachte den Term mit größter Hochzahl) y h) f(x) = 4x (x 9) + 4x = 4x x 8 6 f(x) = 0 4x x = 0 6 4x (x 8) = 0 atz vom Nullprodukt: x = 0 oder x=± 8 6 Zerlegung in Faktoren: f(x) = 4x (x 8)(x+ 8) chnittpunkt Achsensymmetrie zur y-achse, da nur gerade Hochzahlen existieren Für x gilt f(x) + (Betrachte den Term mit größter Hochzahl) 7

8 Aufgabe : Anhand der gegebenen Nullstellen kann die Funktion als Linearfaktoransatz aufgestellt werden: f(x) = a (x+ )(x 1)(x,5) Mit f(0) = 15 folgt: 15= a ( 1) (,5) a= Die Funktionsgleichung lautet f(x) = (x+ )(x 1)(x,5) Aufgabe : Da die Funktion symmetrisch zur y-achse ist, berührt das chaubild von f die x-achse neben der telle x = auch an der telle x = -. Aufgrund der Berührung handelt es sich um doppelte Nullstellen. Ansatz: f(x) = a (x ) (x+ ) 4 Mit f(0) = 4 folgt 4= a 9 9 a= 81 4 Die Funktionsgleichung lautet f(x) = (x ) (x+ ) 81 Aufgabe 4: Die allgemeine Funktionsgleichung lautet f(x) = a (x 1) (x ) Aufgabe 5: 11 1 Auflösen der Geradengleichung nach y: 8y= 11x 6 y= x 8 4 chnittpunkt der Gerade und der Funktion: Ansatz: x + x x 4= x

9 Lösung mit dem GTR: Die chnittpunkte lauten A(-/0,875), B(-1/-1,875) und C(/-6) Länge des ersten Abschnittes: Länge des zweiten Abschnittes: AB = ( 1 ( )) + ( 1,875 0,875),4 LE BC = ( ( 1)) + ( 6 ( 1,875)) 5,1 LE Aufgabe 6: a) f(x) = 4x 4x x 6 Achsenschnittpunkte: chnittpunkt mit y-achse: chnittpunkte mit x-achse: f(x) = 0 f(0) = 6 y(0/ 6) Lokale Extrempunkte: f (x) = 0 und f (x) 0 chnittpunkt mit x-achse lautet N(6,08/0) Hochpunkt H(-0,0/-5,99) und Tiefpunkt T(4,0/-18,01) 9

10 b) f(x) = x 6x 875x Achsenschnittpunkte: chnittpunkt mit y-achse: chnittpunkte mit x-achse: f(x) = 0 f(0) = 8400 y(0/ 8400) chnittpunkte mit x-achse: N 1( 80/0), N (1/0) und N (105/0) Lokale Extrempunkte: f (x) = 0 und f (x) 0 Hochpunkt H(-44,88/4150,5) und Tiefpunkt T(6,/-747) c) 4 f(x) = 0,1x x + x + x+ Achsenschnittpunkte: chnittpunkt mit y-achse: chnittpunkte mit x-achse: f(x) = 0 f(0) = y(0/) chnittpunkt mit x-achse: N 1(,9/0) und N (6,76/0) Lokale Extrempunkte: f (x) = 0 und f (x) 0 Hochpunkt H(,06/5,61) und Tiefpunkte T( 1 0,1/1,89) und T (5,65/ 6,96) 10

11 Aufgabe 7: chnittbedingung: atz vom Nullprodukt: x = 0 oder f(x) = g(x) x 4x + x 1= x x 1 x 5x + 4x= 0 x 5x+ 4= 0 x (x 5x+ 4) = 0 5± ± Mit der Lösungsformel folgt x1, = = x= 4 oder x =1 Es gibt drei verschiedene chnittpunkte: Mit f(0) = g(0) = -1 folgt 1(0/ 1) Mit f(4) = g(4) = folgt (4/) Mit f(1) = g(1) = - folgt (1/ ) Aufgabe 8: Die Nullstellenbedingung für eine Funktion f(x) lautet f(x) = 0. Bei einer Funktion n-ten Grades entsteht eine Gleichung vom Grad n. Eine Gleichung vom Grad n hat höchstens n Lösungen. Daher kann f(x) auch nur höchstens n Nullstellen besitzen. Aufgabe 9: Funktion 4.Grades mit genau einer Nullstelle: Funktion 4.Grades mit genau zwei Funktion 4.Grades mit genau drei 4 f(x) = (x 4) oder f(x) = (x 4) (x 1) oder oder f(x) = (x ) (x + 1) f(x) = (x 1)(x )(x + 1) f(x) = (x 1)(x )(x ) f(x) = (x 4) (x 1) Aufgabe 10: Eine Parabel.Ordnung, die symmetrisch zum Ursprung ist, besitzt im Funktionsansatz nur ungerade Hochzahlen: y= ax + bx Da der ymmetriepunkt (0/) ist, wird dieser Funktionsansatz noch mit addiert: f(x) = ax + bx+ Einsetzen von A(/6): 6= 7a+ b+ 7a+ b= 9a+ b= 1 (*) : Einsetzen von B(4/1): 1= 64a+ 4b+ 64a+ 4b= 18 a+ b= 9 (**) Aus (*) folgt b= 1 9a eingesetzt in (**): a+ (1 9a) = 9 14a= 7 a= 0,5 Daraus folgt b= 1 9 0,5 =,5 Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 0,5x,5x+ : 11

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