Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2015/2016 Blatt h(x, y, z) := (x 2) 2 + y 2 + z 2 4 = 0,

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1 Übungen ur Ingenieur-Mathematik III WS 5/6 Blatt..6 Aufgabe 4: Betrahten Sie die Gleihungen: Lösung: h(,, := ( =, g(,, := =, ( h(,, f(,, := = g(,, (. a Geben Sie eine geometrishe Interpretation der Situation an. Welhe Figuren shneiden sih hier? Was ist die Shnittmenge dieser Figuren? b Beshreiben Sie die Shnittmenge vollständig (in insgesamt 4 Stüken als Funktionen über bw. über. Tipp: Fertigen Sie eine Skie der Situation an! a h(,, = ( = beshreibt eine Kugel B R (M R mit Radius R = (R = 4! und Mittelpunkt M = (,, T. g(,, = = beshreibt die Ebene =, die parallel ur --Ebene ist und den Abstand von dieser Ebene hat. f(,, = ( h(,, g(,, beshreibt die Shnittmenge beider Figuren: = Die Shnittmenge ist ein Kreis in der Ebene = : ( = h(,, = ( =. = = + Dies ist ein Kreis vom Radius R = mit Mittelpunkt M = (,, T im R. b Offensihtlih gilt: Entsprehend: = = ( = ± für (sowie ( = = = ( = ± für. (sowie ( = Beahte: Wegen der ± erhalten wir in der Tat 4 Funktionen und damit die gesuhten 4 Stüke!

2 Genauer gilt: Die Shnittmenge wird parametrisiert durh folgende 4 Stüke als Graph jeweils einer Funktion von einer (geeigneten Variablen: γ ( = γ ( = γ ( = γ 4 ( = γ ( = γ ( = γ ( = γ 4 ( = Aufgabe 4: Betrahten Sie die Gleihungen: h(,, := + 4 =, g(,, := + =, ( h(,, f(,, := = g(,, für <, für <, für <, für <. (. Geben Sie eine geometrishe Interpretation der Situation an. Welhe Figuren shneiden sih hier? Was ist die Shnittmenge dieser Figuren? Beshreiben Sie die Shnittmenge vollständig und geben Sie den Tangentialraum an. Tipp: Fertigen Sie eine Skie der Situation an! Lösung: h(,, = + 4 = beshreibt einen Kreislinder, dessen Grundflähe durh einen Kreis mit Radius (Mittelpunkt auf der -Ahse dargestellt wird. g(,, = + = beshreibt die affine Ebene + =, jeder Punkt p in dieser Ebene hat eine Darstellung Folglih beshreibt + r f(,, = + s ( h(,, g(,, für gewisse r, s R. = die Shnittmenge M beider Figuren, es ist eine Ellipse in der affinen Ebene. Diese kann lokal mit den Funktionen γ, γ : [, ] R wie folgt parametrisiert werden: γ (t = t t 4 t, γ (t = ( t t 4 t Diese Parametrisierungen ergeben sih, indem man in Abhängigkeit von die Koordinaten und aus ( bestimmt. Der Tangentialraum kann aus den Gradienten. (

3 (der Rang der Matri ( h g ist für alle Punkt in M! h(,, = g(,, = mit Hilfe des Vektorprodukts wie folgt berehnet werden: T (,, M = span { h g} = span. Aufgabe 4: Es sei f : R R eine stetig differenierbare Funktion mit f(,,. Lösung: a Bestimmen Sie für die durh f(,, = gegebene Flähe die Tangentialebene in einem Punkt (,, mit f(,, =, f (,,, indem Sie die Flähe als Graph einer Funktion über der -Ebene darstellen und den Tangentialraum an die Graphenflähe in Normalenform berehnen (Tipp: Ohne Normierung der Normalen ist die Rehnung einfaher. Verwenden Sie den Sat über impliiten Funktionen, um die auftretenden partiellen Ableitungen dieser unbekannten Funktion durh partielle Ableitungen von f ausudrüken. b Was ergibt sih für das Ellipsoid mit der Gleihung f(,, = a + b + = an der Stelle (,, = (a, b,?

4 a Nah Voraussetung gilt: f(,, = und f(,, daher kann lokal (d. h. in einer geeigneten Umgebung des Punktes (,, = g(, geshrieben werden und die durh f(,, = definierte Flähe wird lokal als Graph der Funktion = g(, gegeben. Wir suhen also die Tangentialebene an den Graphen G g (, = g(, Aus der Vorlesung wissen wir T (,,g(, G g = + v v span g(, Der Vektor g(, g(,. = g(,, g(, g(, g(, steht also senkreht auf der Tangentialebene an den Graphen G g im Punkt (,,. Daraus folgt T (,, G g = R g(, g(, + = d, wobei d noh u bestimmen ist. Da der Punkt (,, auf der Tangentialeben liegt, gilt d = g(, g(, +. T (,, G g = R = g(, ( + g(, ( Aus = f(,, g(, folgt nah der Kettenregel (und dem Sat über impliite Funktionen: g(, = f(,, f(,, und g(, = f(,, f(,, Sett man dies ein und multipliiert mit f(,, (was nah Vorausetung!, ergibt sih f(,, T (,, G g = R f(,, = f(,, Bemerkung: Im Graphenfall wird die Tangentialebene an den Graphen meinst wie oben

5 angegeben definiert, doh es gibt auh Definitionen ohne Aufpunkt g(, In diesem Fall gilt d =, so dass der Abshnitt ur Berehnung von d wegfällt und sih folgende Lösung ergibt: f(,, T (,, G g = R f(,, = f(,, b Wir seten natürlih a, b, > voraus. f ( a, b, f ( a, b, f(,, = a + b + =, = + + =, ( f(,, = a, b,, = ( a, b,. ( a + ( a b ( a + ( a b b + ( b + ( a + b + = + + = a + b + = T (a,b, G g = = = R a + b + = ist damit die Tangentialebene im Punkt (a, b, an das Ellipsoid.. Bemerkung: Analog um vorherigen Aufgabenteil gibt es auh hier eine weite Möglihe Lösung. Diese lautet T (a,b, G g = = R a b R a + b + = =

6 Aufgabe 44: a Betrahten Sie das Gravitationspotential U( = U(,, := mg a = mg ( a + ( a + ( a eines Punktes a R der Masse m >. Die positive Konstante G mit dem Wert G = (667 ± 4 4 m s kg ist die Gravitationskonstante. Zeigen Sie, dass die Niveauflähen F := { R : U( = } von U für jedes > weidimensionale Flähen sind. Um welhe Flähen handelt es sih? b Das Gravitationspotential weier Punkte a, b R (a b der Massen m = m = m > lautet V ( = V (,, := m G a + m G b Sind die Niveauflähen S := { R : V ( = } von V wiederum für jedes > weidimensionale Flähen? Lösung: a U( = a = mg a = R =: R Dies sind Kugeloberflähen vom Radius R = mg > und Mittelpunkt M = a R. Wegen U( = mg a a für a gilt U( für alle >. Der Sat über impliite Funktionen besagt daher, dass es sih bei F um eine weidimensionale Flähen handelt. Bemerkung: Der Sat über impliite Funktionen wäre/ist hier niht absolut nötig, da man die Auflösungen epliit (s. oben vornehmen kann und damit auh epliit Tangentialvektoren ausrehnen kann! b Zuerst eigen wir, daß diese Menge niht leer ist. Da m = m = m gilt ( V ( = mg a + b und V ( für V ( + für a, b. Also gibt es für alle > Punkte R, die in der Niveaumenge F = { R V ( = }

7 liegen. Sei g( := m G a + ( = mg m G b a + b die Funktion, die die Niveaumenge V ( = als Null-Niveaumenge beshreibt. ( ( a ( b g( = mg + a b Die Niveaumenge ist keine Flähe, falls g( = ( a ( b a b = a a = b b Da wei Vektoren genau dann gleih sind, wenn sie in Länge und Rihtung übereinstimmen, gilt g( = a = b = a + b Solhe Punkte gehören u der Niveauflähen V ( = wobei = Somit sind alle Niveaumengen mit Flähen. F mg b a + mg a b = 4mG a b F = { R V ( = } ist hingegen keine Flähe. Bemerkung: Aus den Vorüberlegungen u Beginn dieses Aufgabenteiles, weil g nur an einer Stelle Null ist, und weil die Niveaumengen sih niht shneiden, kann man sagen, dass: Für < ist die Niveaumenge V ( = ist eine Hperfähe in R, das heißt eine geshlossene D Flähe; Für = hat die Niveaumenge V ( = einen singulären Punkt (Siehe Abbildung Für > besteht die Niveaumenge V ( = aus wei Hperfähen in R, das heißt wei geshlossene D Flähen.

8 < a > = > b Abbildung : Skie der Niveaufähen in D