Kosmologie Blatt 2. 2 = tan ϑ

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1 Prof. Dr. K. Kassner Dipl. Phys. A. Shulz Kosmologie Blatt SS Stellare Aberration und absolute Geshwindigkeit 1 Pkt. Beobahtet man einen Stern von der Erde aus, so ersheint er gegenüber seiner wahren durh zwei Winkel auf der Himmelskugel gegebenen) Position etwas vershoben. Der Grund dafür liegt in der Endlihkeit der Lihtgeshwindigkeit und der Bewegung der Erde um die Sonne. Diese Aberration hängt in der speziellen Relativitätstheorie, bzw. bei flahem Raum) von der Relativgeshwindigkeit von Stern und Erde ab und ist für Sterne unbeobahtbar man hat keinen Zugang zur wahren Position des Sterns, d.h., zu dem Ort, an dem man ihn beobahten würde, wenn Erde und Stern sih zueinander in Ruhe befänden. Was man beobahten könnte, sind die vershiedenen Winkel, unter denen der Stern für zwei vershiedene zueinander bewegte Beobahter ershiene, die ihn am selben Ort zur gleihen Zeit beobahten. Was man tatsählih beobahtet, sind die untershiedlihen Winkel, unter denen der Stern in vershiedenen Bewegungszuständen der Erde ersheint, also die Untershiede, die ein einzelner Beobahter, dessen Bewegung variiert, zu vershiedenen Zeiten feststellt. Diese stellare Aberration ist eine periodishe Bewegung des Sterns um eine mittlere Position. Sie beträgt maximal a. 0 Bogensekunden und ist unabhängig von der Geshwindigkeit des beobahteten Sterns. Diese unerwartete Tatsahe führt immer wieder zu Verwirrung, weil sie Aussagen der Relativitätstheorie zu widersprehen sheint, nah der es keinen Untershied mahen sollte, ob der Stern sih bewegt und die Erde ruht oder umgekehrt. Wenn Aberration aber nur von der Geshwindigkeit des Beobahters, niht aber von der des beobahteten Objekts abhängt, sheint das falsh zu sein, die vom Relativitätsprinzip geforderte Symmetrie verletzt. In einem Artikel von G. Sardin Measure of the absolute speed through the Bradley aberration of light beams on a three-axis frame, Europhys. Lett. 53, 001) 310) wird ein Gerät beshrieben, mit dem es möglih sein soll, absolute Geshwindigkeiten zu messen. Dieses Gerät beruht darauf, eine Lihtquelle mit einem Beobahter mitzubewegen, zu zwei Zeitpunkten zwei vershiedene Aberrationen zu messen und daraus die Geshwindigkeit des Beobahters zu bestimmen. 1 Streng genommen ist das auh keine absolute Geshwindigkeitsmessung, weil man nur den Untershied der Geshwindigkeiten vor und nah der Messung bestimmt hat, aber man könnte im Prinzip auf der Basis lokaler Messungen eine Geshwindigkeitsskala eihen, die Geshwindigkeiten direkt mit Aberrationswinkeln korreliert. Das widersprähe dem Relativitätsprinzip, nah dem lokale Messungen in allen Inertialsystemen gleih ablaufen, also untershiedlihen Geshwindigkeiten niht untershiedlihe gemessene Winkel entsprehen können. a) Betrahten Sie zunähst einen Stern, der sih im Koordinatensystem Σ in Ruhe befindet und einen Beobahter, der sih mit der Geshwindikeit V = Ve x bewegt. Im Ruhesystem Σ des Betrahters bewegt sih der Stern dann mit der Geshwindigkeit V. Ein Lihtstrahl wird vom Stern unter einem Winkel ϑ zur x-ahse ausgesendet. Zeigen Sie, dass für den vom Beobahter gemessenen Winkel ϑ gilt: 3 Pkt.) tan ϑ = tan ϑ V +V 4.1) Betrahten Sie dazu den Geshwindigkeitsvektor des Lihtstrahls in beiden Systemen nehmen Sie an, er liegt in der xy-ebene) und wählen Sie die Winkel so, dass sie bei 1 Hier ist prinzipiell auh die Messung der wahren Aberration möglih, die man auh als Untershied in den Rihtungen des von der Lihtquelle ausgesendeten und des vom Sensor empfangenen Lihtstrahls definieren kann. Vorrehnen

2 V = 0 Wehselwinkel wären. Sonst müsste einer der Tangens zu einem Kotangens werden.) Hinweis: Das System Σ bewegt sih mit V gegenüber Σ. In Σ bewege sih ein Körper mit u. Die Geshwindigkeit des Körpers in Σ ist u und wird mit dem relativistishen Additionstheorem für Geshwindigkeiten berehnet. Es lautet in vektorieller Form: u = u + u = u + V 1+V u / + u γ1+v u / ), 4.) wobei u VVu)/V und u = u u die zur Relativgeshwindigkeit V der beiden Systeme parallele und senkrehte Geshwindigkeitskomponente von u sind. u und u sind die entsprehenden Größen in Σ. Ferner ist γ = 1 V /) 1/. Eine nützlihe trigonometrishe Formel ist tan x = sin x 1+os x. 4.3) b) Setzen Sie ϑ = α+ϑ, nehmen Sie an, dass V/ 1 und leiten Sie aus 4.1) die in der Vorlesung besprohene nihtrelativistishe Näherung Pkt.) sin α = V 4.4) ) d) her. Offensihtlih muss auh α 1 gelten, was man ausnützen kann. Führen Sie nun dieselbe Betrahtung wie in Teil a) aus Siht eines dritten Systems Σ durh, in dem der Stern ruht und der Beobahter sih mit Geshwindigkeit V bewegt Σ = Σ ). Wie lautet der Winkel ϑ in Abhängigkeit vom Winkel ϑ? Betrahten Sie nun zwei Beobahter, die sih mit Geshwindgkeiten V 1 und V bewegen, in dem Moment, in dem sie sih treffen. Beide beobahten einen Stern, der sih mit einer unbekannten Geshwindigkeit W bewegt und messen eine relative Aberration ϑ 1 ϑ. Der wahre Sihtwinkel ϑ, gemessen im Ruhesystem des Sterns, ist unbekannt. Berehnen Sie den Zusammenhang zwishen den gemessenen Winkeln ϑ 1 und ϑ und zeigen Sie, dass dieser nur von der Relativgeshwindigkeit Pkt.) 3 Pkt.) V 1 = V V 1 1 V 1V 4.5) e) abhängt. Hinweis: Drüken Sie die Winkel ϑ 1 und ϑ durh die Relativgeshwindigkeiten zum Stern V1, S sowie den Winkel ϑ aus und ersetzen Sie diese dann durh die Geshwindigkeiten V 1, V und W und eliminieren Sie ϑ. In dem in der Einleitung beshriebenen Gerät existiert nur ein Beobahter, der zu zwei vershiedenen Zeiten misst mit zwei vershiedenen Geshwindigkeiten V 1 und V ). Anders als beim Stern ist die Geshwindigkeit der Lihtquelle niht konstant, sondern jeweils gleih der Geshwindigkeit des Beobahters W 1, = V 1, ). Wie groß ist die auf diese Weise gemessene Aberration? Pkt.) Vorrehnen

3 Lösung: a) In Anlehnung an die Vorlesung wird das Setting aus Kapitel 1..3 betrahtet. Der Stern befinde sih weit genug vom Beobahter entfernt, sodass alle seine Lihtstrahlen parallel und im gleihen Winkel zum Beobahter gelangen. Σ Stern Σ V = V e x Erde Im Sternsystem haben die Lihtstrahlen den Einfallswinkel ϑ = ϑ + α. Es werde der Lihtstrahl betrahtet, der zum Zeitpunkt t 0 = 0 den Punkt O erreiht. Ein Beobahter der diesen Lihtstrahl bei E empfängt, befand sih zu t 0 bei E. In der Zeit t, in der der Lihtstrahl OE überwindet, legt der Beobahter den Weg E E = V t zurük. Es bezeihne O den Eingang eines Fernrohrs. Damit der Lihtstrahl zum Zeitpunkt t den Boden des Fernrohrs erreiht, muss jenes unter dem Winkel ϑ ausgerihtet sein. Dies ist der Winkel unter dem der Beobahter den Stern sieht. O O ϑ t α ϑ ϑ v t v t E E E Für die Geshwindigkeitskomponenten u x und u y des Lihtstrahls gilt im Beobahtersystem tan ϑ = u y u, u x = os ϑ, u y = sin ϑ. 4.6) x Der Betrag der Lihtgeshwindigkeit ist in beiden Systemen dieselbe, niht jedoh ihre Rihtung. Für die Transformation ins Sternsystem nutzt man die Gleihungen Vorrehnen

4 aus 4.) mit V = Ve x, u = u xe x und u = u ye y : u x = u x + V 1+ u xv, u y = Hier fallen die Strahlen unter dem Winkel ϑ ein Setzt man 4.6), 4.8) in 4.7) ein erhält man: u y ), γ = 1 V γ 1+ u xv / ) 1/ 4.7) u x = os ϑ, u y = sin ϑ. 4.8) os ϑ = os ϑ + V 1 os ϑ V sin ϑ sin ϑ = γ os ϑ = os ϑ V 1 V os ϑ 1 os ϑ V ) sin ϑ = sin ϑ 1 V / 1 V os ϑ Mithilfe von 4.3) lässt sih nah ein paar Umformungen die gesuhte Gleihung für tan ϑ gewinnen. tan ϑ = sin ϑ 1+os ϑ 1 V / = 1 V os ϑ 1 1+ os ϑ V 1 V os ϑ V = 1 V os ϑ 1 V os ϑ 1 V os ϑ + os ϑ V = V)+V) 1 1 V os ϑ + os ϑ V = V)+V) V)+V) Vos ϑ + os ϑ = V V + os ϑ V) = V)+V) V)1+os ϑ ) = 1+os ϑ +V V tan ϑ ϑ +V = tan V b) Mit ϑ = ϑ + α wird unsere Formel aus Teil a) sin ϑ 1+os ϑ = sinϑ + α) 1 V/ 1+osϑ + α) 1+V/ und wir können wegen V / 1 die Wurzel entwikeln: 1 V/ 1+V/ = ) 1 V/ 1 V/) = 1 V +O ) V. Vorrehnen

5 Da mit V / 0 auh α 0 geht, ist für V / 1 auh α 1 und der Vorfaktor der Wurzel kann ebenfalls entwikelt werden: fα) = sinϑ + α) 1+osϑ + α) = os α+sin α os ϑ 1+os ϑ os α sin ϑ sin α f α) = sin α+os α os ϑ 1+os ϑ os α sin ϑ sin α os α+sin α os ϑ ) os ϑ sin α sin ϑ os α) 1+os ϑ os α sin ϑ sin α) f0) = 1+os ϑ, f 0) = sinϑ + α) 1+osϑ = + α) 1+os ϑ + = = 1+os ϑ + os ϑ 1+os ϑ + sin ϑ 1+os ϑ ) ) os ϑ 1+os ϑ + sin ϑ 1+os ϑ ) α+o α ) ) os ϑ + os ϑ + sin ϑ 1+os ϑ ) α+o α ) 1+os ϑ + os ϑ α 1+os ϑ ) +O α ) Für α 1 gilt in erster Ordnung sin α α: sinϑ + α) 1+osϑ = + α) 1+os ϑ + os ϑ sin α 1+os ϑ ) +O α ) Setzen wir beide Entwiklungen in die Ausgangsgleihung ein und vernahlässigen Terme der Ordnung sin α V/, so erhalten wir: sin ϑ 1+os ϑ = was sih zu dem Gewünshten 1+os ϑ + sin α 1+os ϑ V sin ϑ 1+os ϑ, sin α = V vereinfahen lässt. ) Die Betrahtung dieses Falls ist analog zur Teilaufgabe a). Hier wird nur in 4.7) V mit V ersetzt Relativitätsprinzip). Die Komponenten der Geshwindigkeit u im bewegten Beobahtersystem berehnen sih unter Verwendung der Geshwindigkeit ũ im Sternsystem: u x = ũx V 1 ũxv, u y = ũ y ). γ 1 ũxv Vorrehnen

6 tan ϑ = sin ϑ 1 V / 1+ V os ϑ 1 1+ os ϑ+ V 1+ V os ϑ =... = tan ϑ V +V Der Aberrationswinkel ϑ = ϑ hängt nur von der Relativgeshwindigkeit zwishen Stern- und Beobahtersystem ab. d) Das Koordinatensystem werde so gewählt, dass sih Stern und Beobahter in x- Rihtung bewegen. Bei der Berehnung des Betrages r i ihrer Relativgeshwindigkeit r i = r i e x müssen relativistishe Effekte berüksihtigt werden. Aus der Siht des Beobahters ist r i = V i W 1 V i W/. In Σ i werde die Geshwindigkeit u i gemessen. Wie zuvor wird die Geshwindigkeit u in Σ mit 4.) bestimmt: u = u i + r i 1+r i u i/, u = u i γ1+r i u i/ ), γ = 1 r i / ) 1/ r i ist nah Voraussetzung parallel zur x-ahse. Damit ist u = u ix e x und u = u iy e y mit u ix = u ix + r i 1+r i u ix /, u iy = u iy γ1+r i u ix / ). Man rehnet ganz analog zu Teilaufgabe a) und erhält für i = 1, : Nun soll ϑ eliminiert werden: tan ϑ = tan ϑ 1 tan ϑ = tan ϑ i +ri. r i tan ϑ = tan ϑ 1 +r 1 ) r ) r 1 )+r ) = tan ϑ 1 +r1 = tan ϑ +r r 1 r + V 1 W 1 V 1 W/ ) V W 1 V W/ ) ) ) V 1 W 1 V 1 + V W W/ 1 V W/ Betrahte den Bruh unter der Wurzel: = V W 1 V + V 1 W W/ 1 V 1 V 1 W)V W) W/ 1 V 1 W/ )1 V W/ ) + V W 1 V W/ = 1 V 1 W 1 V 1 W V 1 W 1 V 1 V 1 W)V W) W/ 1 V 1 W/ )1 V W/ ) ) 1 V W ) V W) 1 V 1 W ) +V 1 W) 1 V W ) ) 1 V W ) +V W) 1 V 1 W ) V 1 W) 1 V W V 1 W)V W) ) V 1 W)V W) Vorrehnen

7 Nah Kürzen von 1/ erhält man nah einigen elementaren Umformungen für den Zähler V 1 W ) V W ) V W) V 1 W ) + V 1 W) V W ) V 1 W)V W) = 4 V 1 W V W + V 1 V W V W V 1 V W + V 1 W ) + V 1 W V 1 V W + V W ) V 1 V V 1 W V W + W ) = 4 + V 1 V W + V 1 V ) V 1 V )W ) V 1 V + W ) = W ) V 1 V W )+V 1 V ) W ) = W ) + V 1 V ) V 1 V ) = W)+W)+V 1 ) V ) Die Rehnung für den Nenner verläuft analog. Das Ergebnis lautet: tan ϑ = tan ϑ 1 W)+W)+V 1 ) V ) W)+W) V 1 )+V ) = tan ϑ 1 +V 1 ) V ) V 1 )+V ) 4.9) Der Bruh kann noh wie folgt umgeformt werden: ) +V 1 ) V ) ) 1 V 1V )+ V 1 )+V ) = + V 1 1 V ) V 1 V V 1 V ) ) = V 1 V ) V 1 V ) 1 V 1V ) 1 V 1 V ) ) ) 1+ 1 V 1 V ) 1 1 V 1 V + V 1 V = 1 V 1 V ) = ) = V 1 +V V 1 V ) 1 V 1 V 1 V 1 V 1 V 1 V mit V 1 aus 4.5). Folglih ist die Beziehung zwishen den beiden gemessenen Winkeln tan ϑ = tan ϑ 1 V 1 +V 1 tatsählih nur von der Relativgeshwindigkeit der beiden Beobahter abhängig. e) Die Geshwindigkeit der Lihtquelle ist niht mehr konstant W, sondern untershiedlih für beide Messungen. Man rehnet nun mit der Relativgeshwindigkeit r i = V i W i 1 V i W i/ = 0 Vorrehnen

8 Damit gilt vor der Geshwindigkeitsänderung tan ϑ 1 = tan ϑ 1, d.h., der Beobahtungswinkel ist gleih dem wahren Winkel. Nah der Geshwindigkeitsänderung gilt tan ϑ = tan ϑ = tan ϑ 1, wenn die Geshwindigkeitsänderung niht zu Shwingungen der die Lihtquelle haltenden Stütze führt, bzw., nahdem diese Shwingungen abgeklungen sind. Bei einer sehr großen Entfernung zwishen Lihtquelle und Beobahter kann zwishen dem Anfangs- und Endzustand ein anderer Winkel auftreten, etwa weil die Quelle dem Geshwindigkeitswehsel niht instantan folgt oder weil das Liht für einen kurzen Augenblik nah dem Geshwindigkeitswehsel für den Beobahter noh von einem ungeänderten Ort der Quelle zu kommen sheint. Die zweite Zeitspanne ist aber bei normalen Abmessungen des Geräts im Meter- oder maximal Kilometerbereih) sehr kurz, entsprehend der Lihtlaufzeit. Und sie bedeutet natürlih niht Messung einer absoluten Geshwindigkeit sondern die Beobahtung einer kurzzeitigen Asynhronität der Bewegung von Beobahter und Quelle. 5. Dynamishe Zeitskala eines Sterns 8 Pkt. Die Entwiklung eines Sterns wird durh Prozesse mit vershiedenen harakteristishen Zeitskalen bestimmt. Die nukleare Zeitskala erhält man als Quotient aus dem nuklearen Energievorrat eines Sterns und seiner während der Phase seiner nuklearen Energieproduktion abgestrahlten mittleren Leistung Sonne: Jahre). Die thermishe Zeitskala ist die Zeit, in welher der Stern seine thermishe Energie ohne Energieproduktion abstrahlen würde und entspriht der Zeit, welhe die Strahlung von ihrer Entstehung nahe am Sternenmittelpunkt bis zur Oberflähe benötigt Sonne: 10 7 Jahre). Die dynamishe Zeitskala τ ff beshreibt, in welher Zeit ein Stern unter seiner Gravitation kollabieren würde, wenn sein stabilisierender innerer Druk wegfiele. Diese Zeit wollen wir hier berehnen. a) b) Betrahten Sie ein Massenelement am Rand des Sterns und stellen Sie dessen Bewegungsgleihung unter der Annahme vershwindenden inneren Druks auf. Wie groß ist die in der Bewegungsgleihung auftretende Zentralmasse? Lösen Sie die Bewegungsgleihung durh Berehnung von tr), d.h., der Fallzeit bis zum Radius r [wobei rt = 0) = R Anfangsradius des Sterns), ṙt = 0) = 0]. Wie lange dauert es, bis der Stern vollständig kollabiert ist? Hinweis: Es ist nützlih aber niht absolut notwendig), die Formel durh Reskalieren von Längen und Zeiten dimensionslos zu mahen. Folgendes Integral sollte in Ihrer Rehnung auftreten: Pkt.) 4 Pkt.) x 1 x 1 x dx = x1 x) artan x 0 < x < 1 ) Werten Sie die Freifallzeit τ ff zahlenmäßig aus für die Sonne eine kugelförmige Gaswolke von 100 Sonnenmassen mit 4 p Durhmesser eine kugelförmige Galaxie von Sonnenmassen mit 30 kp Durhmesser Zahlenwerte: Sonnenmasse M = kg, Sonnenradius R = m, Gravitationskonstante G = m 3 /kg s ). Pkt.) Vorrehnen

9 Lösung: a) Ein Punkt am Rande des Sterns sieht die ganze Zentralmasse M. Wir nehmen ja an, dass der Druk im Innern des Sterns abgeshaltet ist, das bedeutet, dass alle Massenelemente nah innen fallen und ein ursprünglih am Rand befindlihes Element bleibt am Rand. Wenn mit rt) die Position des Volumenelements zum Zeitpunkt t bezeihnet wird, lautet die Bewegungsgleihung wegen der rein radialen Bewegung die r = re r zur Folge hat, die Ableitungen von ϑ und ϕ vershwinden): r = GM r mit den Anfangsbedingungen r0) = R und ṙ0) = 0. Hierbei wurde verwendet dass bei rein radialer Bewegung die ersten und zweiten) Zeitableitungen von e ϑ und e ϕ vershwinden, also gilt: r = re r. b) Statt direkt die Bewegungsgleihung zu lösen, nutzen wir die Energieerhaltung. Damit haben wir eine Integration der Bewegungsgleihungen shon durhgeführt.) Der Energieerhaltungssatz lautet hier: ṙ GM r = GM R 5.1) Im Hinweis wurde empfohlen, die Gleihung durh Reskalieren von Längen und Zeiten dimensionslos zu mahen. Dazu müssen wir eine für das Problem typishe Längenskala und eine typishe Zeitskala finden. Die Längenskala liegt auf der Hand, wir skalieren Längen mit dem ursprünglihen Sternendurhmesser R. Die Zeitskala ist niht ganz so offensihtlih. Wir überlegen uns, von welhen Größen unser Problem abhängt. Das sind der Radius R, die Sternenmasse M und die Gravitionskonstante G. Daraus soll eine Zeitskala entstehen. Die einzige Möglihkeit, diese drei Parameter zu einer Zeit τ zu kombinieren ist: R 3 τ = MG. Da unsere gesuhte Größe ebenfalls eine Zeit ist, kann sie sih nur um einen dimensionslosen Faktor von dieser Größe untersheiden. Wir führen nun die dimensionslosen Größen ein: t = τ t, r = xr, d dt = τ d d t. Den Faktor haben wir hinzugefügt, damit 1 aus der Gleihung vershwindet. Alternativ kann man erst einmal eine unbekannte Zeitskala einführen und dann sehen, welhe Wahl die Bewegungsgleihung einfah maht: r = Rx, t = τ t, und ein Punkt sei eine Ableitung nah t: R τ 1 ẋ GM Rx = GM R ẋ = GM τ R 3 ) 1 x 1 Vorrehnen

10 Die Bewegungsgleihung wird besonders einfah, wenn wir τ so wählen, dass der Vorfaktor auf der rehten Seite eins wird, also τ = τ/, und dann wird t = t. Setzen wir dies nun in unsere Differentialgleihung 5.1) ein und kürzen dann alles raus, was möglih ist, bleibt am Ende übrig: wir stellen nah ẋ um: ẋ = 1 x 1 ẋ = ± 1 x Da rt) mit der Zeit kleiner wird, müssen wir das negative Vorzeihen wählen. Durh Trennung der Variablen finden wir: t x ˆx dˆt = d ˆx ˆx Die Lösung dieses Integrals ist im Hinweis gegeben, wir finden: 1 x tx) = x1 x)+artan x Für x 0 finden wir die gesuhte dynamishe Zeitskala: x τ ff = t0) = π, Wenn wir dieses wieder in dimensionbehaftete Größen umrehnen finden wir: τ ff = τ π τ ff = R 3 R 8MG MG Bemerkung: In der Aufgabe war explizit gefordert, die Differentialgleihung zu lösen. Es sei aber noh erwähnt, dass man die Zeitskala auh ohne eine einzige Integration bestimmen kann. Aus dem 3. keplershen Gesetz folgt, dass die Umlaufszeit einer Punktmasse im newtonshen Gravitionspotential für Ellipsen, deren große Halbahse gleih ist, dieselbe ist. Den Sturz eines Massenpunktes ins Gravitationszentrum kann man als Bewegung auf einer Umlaufbahn auffassen, deren kleine Halbahse vershwindet und deren große Halbahse R/ ist. Die Bahn geht von Radialkoordinate R bis Radialkoordinate 0, da der Brennpunkt bei r = 0 liegt. Sie reiht also niht auf der anderen Seite wieder bis R.) Die Zeit bis zum Erreihen des Gravitionszentrums ist gerade die Hälfte der Periodendauer T. Diese Periode ist die gleihe wie die eines Objektes auf einer Kreisbahn mit dem Radius R/. Durh Gleihsetzen von Gravitionskraft mit der Zentripetalkraft findet man diese leiht heraus und kommt natürlih zum selben Ergebnis. ) Wir finden folgende Werte: Sonne: 6.96 τ ff = m m 3 /kg s kg Vorrehnen

11 6.96 = s = s = s, also etwa 30 Minuten. Kugelförmige Gaswolke mit Radius von p: R = m = m, M = 100M = 103 kg 6.18 τ ff = s = s = s a, also a. 5 Millionen Jahre. Das ist ungefähr die Zeit, die die primordiale Gaswolke, aus der ein Sonnensystem der Größe des Solarsystems entsteht, brauht, um sih soweit zusammenzuziehen, dass ein Stern in ihrem Innern beginnt zu brennen. Die Annahme vershwindenden Druks ist dabei akzeptabel, aber die Wolke ist in der Regel niht kugelförmig und vor allem wird sie rotieren, was das Zusammenziehen verlangsamt. Kugelförmige Galaxie: R = p = m, M = M = kg 4.64 τ ff = s = s = s a. Das ist weniger als ein Faktor 100 länger als die kleine Gaswolke brauht. Aber in diesem Fall genügt eine viel shwähere Rotation, um das Zusammenziehen vollständig aufzuhalten. 6. Thermishe Zeitskala 3 Pkt. Die thermishe Zeitskala ist die Zeit, in welher der Stern seine thermishe Energie ohne Energieproduktion abstrahlen würde und entspriht der Zeit, welhe die Strahlung von ihrer Entstehung nahe am Sternenmittelpunkt bis zur Oberflähe benötigt. Man kann die thermishe Zeitskala abshätzen, indem man annimmt, dass Photonen aus dem Inneren der Sonne aufgrund dauernder Absorption und Reemission eine Zufallswanderung unternehmen. Beträgt die mittlere freie Weglänge pro Shritt einer solhen Wanderung l, so hat sih der Wanderer nah N Shritten im Mittel um eine Streke Nl von seinem Ausgangspunkt entfernt. Nehmen Sie an, dass die mittlere freie Weglänge eines Photons überall in der Sonne dieselbe ist und berehnen Sie unter der Annahme l = 10 4 m die Wegstreke, die es auf dem Weg vom Mittelpunkt bis zum Rand der Sonne zurüklegen muss, und wie lange es dafür brauht. Erwarten Sie, dass das korrekte Ergebnis größer oder kleiner als diese Abshätzung wird? Es untersheidet sih um etwa eine Größenordnung.) Zahlenwerte: Sonnenradius R = m, Lihtgeshwindigkeit = m/s. Vorrehnen

12 Lösung: Photonenirrweg in Shritten vonl zurükgelegter mittlerer quadratisher Abstand L = Nl nah N Shritten. Dauer für Zurüklegen der Distanz L: t = N l Sonnenradius R mit L = R = Nl: ) R N =, l ) R l t = l = R l. Die mittlere Propagationsgeshwindigkeit v = R t = l ist also um den Faktorl/R R gegenüber der Lihtgeshwindigkeit verkleinert. Zahlenwerte: t = m 10 4 m m/s = s = s, 3 t = s = a In dieser Rehnung wurde eine konstante mittlere Weglänge der Photonen angenommen. Im Sonneninneren wird die Dihte um etwa einen Faktor 150 größer als die mittlere Dihte, was eine deutlihe Verkürzung der mittleren Weglänge zur Folge hat, während im Außenbereih die mittlere Dihte durh die lokale Dihte untershritten wird. Die Gesamtstreke, die ein Photon zurüklegen muss, wird also zerlegt in Abshnitte mit geringerer mittlerer Geshwindigkeit und solhe mit höherer mittlerer Geshwindigkeit. Bliebe der Gesamtmittelwert unverändert, so müsste die Gesamtzeit ansteigen, denn wenn man eine gegebene Streke Bsp. 00 km) zur Hälfte mit einer Geshwindigkeit 50 km/h) und zur anderen Hälfte mit einer anderen Geshwindigkeit fährt 150 km/h), so ist die Gesamtdauer 3 h) immer größer als wenn man die ganze Streke mit dem arithmetishen) Mittelwert der Geshwindigkeiten 100 km/h, h) fährt. Die wirklihe thermishe Zeitskala beträgt etwa 10 7 a, ist also ungefähr einen Faktor 40 größer als das Ergebnis unserer vereinfahten Rehnung. Ein Gamma-Quant, das im Zentrum der Sonne entsteht, brauht also, um bis zur etwas mehr als zwei Lihtsekunden entfernten Oberflähe zu gelangen, rund 0 Millionen Jahre! Dabei verliert es auh Energie, so dass es an der Oberflähe in Form von Quanten im optishen Bereih ankommt. Es sind insgesamt 3 Punkte zu erreihen. Die Aufgaben werden in der nähsten Übung am vorgerehnet. Vorrehnen