Cluster aus Spinteilchen

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1 Cluster aus Spinteilhen III. Teil Ergebnisse aus der Zahlenlehre G. Shulz Universität des Saarlandes Fakultät 7 für Physik und Mehatronik Februar 0 Zur Kondensation von Spinteilhen auf festen Oberflähen kommt es nur, wenn sih als Vorstufe Cluster aus Spinteilhen gebildet haben. Es können unter den gleihen Voraussetzungen wie in Teil I und II dieser Untersuhungen Methoden und Ergebnisse aus der Zahlentheorie herangezogen werden, um Cluster aus endlih vielen Teilhen mit Drehsinn darzustellen. Im Verlauf der Untersuhungen hat sih herausgestellt, dass Pythagoreishen Tripel aus ganzen Zahlen geeignete Größen sind mit einer Reihe von Eigenshaften, Strukturen und Symmetrien, die bisher kaum beahtet worden sind und demzufolge auh in der Physik der Kondensation von Spinteilhen bisher keine Rolle gespielt haben. Im Abshnitt I dieser Untersuhungen soll die strukturierende Wirkung der Diophantihen n n n Gleihung a b im Zahlenraum anshaulih dargestellt werden und zwar für den einfahsten und nah einer Anmerkung von Pierre de Fermat allein lösbaren Fall n =, also in der Form des Satzes von Pythagoras, wonah im rehtwinkligen Dreiek die Summe der Quadrate über den Katheten a und b gleih dem Quadrat über der Hypothenuse ist. In der nahfolgenden Abbn. III. a und b sind die Werte von a/ als Funktion von a eingetragen, unter der Bedingung, dass a, b und ganze Zahlen aus dem Bereih von bis sind und die Gleihung a b oder aos( a / ) aos( b/ ) erfüllen.,0 0, a/ a = () a = () - - a = b mit Wiederholungen,0 0, a/ b = () a = () - - a = b ohne Wiederholung / Dargestellt sind nur die (ganzen) ungeraden Zahlen a dividiert durh die größeren (ganzen) ungeraden Zahlen, die dem Satz von Pythagoras genügen, hier als Funktion eben dieser kleineren (ganzen) Zahl a. Es wurden alle Zahlen von a = bis zugelassen, deren a/ größer oder kleiner ist, links mit, rehts ohne möglihe Wiederholungen der Werte von a/. Die ganz offensihtlihe Gruppierung der Zahlen zu Linien und Kurven erwähst allein aus der Bedingung, dass die Zahlen a, b und dem Satz des Pythagoras genügen. Wenn man beahtet, dass a/ im rehtwinkligen Dreiek des Pythagoras den Sinus des Winkels α gegenüber der (kürzeren) Kathete a ist, dann bedeutet der Untershied zwishen den beiden Abbildungen lediglih, dass in der einen jeder Winkel nur einmal zu jedem a gezählt worden ist, in der anderen aber so oft, wie die zugehörigen Zahlenpaare auftreten, (woraus vor allem die G. Shulz, 0, Cluster aus Spinteilhen, Ergebnisse aus der Zahlenlehre.

2 horizontalen Gruppierungen entstehen). Im gleihshenkligen rehtwinkligen Dreiek können niht alle drei Größen ganzzahlig sein. Infolgedessen trennt die Linie die beiden Bereihe und bleibt selber unbesetzt. Die Pythagoreishen Tripel (a, b, ) wurden hier und werden auh im Folgenden mit Hilfe eines extrem shnellen Operators, dem sog. Ganzzahlteiler T(n), aus Teil I dieser Untersuhungen gewonnen. Im Abshnitt II wird der "Pythagoras" als Bedingungsgleihung dem Teileroperator vorgeshaltet, so dass Cluster aus endlih vielen Spinteilhen sehr shnell und in (fast) beliebiger Größe gewonnen werden können. Anmerkung: Im Folgenden geht es niht darum, den Satz vom Pythagoras noh einmal zu bewiesen und dem zweihundertzwanzigstem mathematishen Beweis den zweihunderteinundzwanzigsten Beweis für die Gültigkeit dieses Satzes hinzuzufügen, sondern einzig darum, aus einfahen zahlentheoretishen Strukturen eine physikalish sinnvolle Beshreibung für Cluster aus Spinteilhen zu entwikeln. I. Die Reduktionen der Diophantishen Gleihung für n =. Wir betrahten gewissermaßen als Anwendungsbeispiel für den Teileroperator den Satz des Pythagoras, bekannt als Diophantishe Gleihung mit dem Exponenten a b (III,) in der Form ( b a) ( a) (III,) und suhen nah Lösungen mit ganzen Zahlen für a, b und. Um die Masse der nur wiederholenden Lösungen mit gleihen Winkeln (ausgedrükt durh das Verhältnis von Kathete zu Hypothenuse) abzustreifen und Lösungen zu eliminieren, die durh eine bloße Multiplikation der beiden Katheten und der Hypothenuse mit demselben Faktor entstehen oder durh bloße Parallelvershienung der Hypothenuse zustande kommen, sollen für und a zunähst nur ungerade Zahlen zugelassen werden. Dann ist b notwendigerweise eine gerade Zahl und darüber hinaus eindeutig bestimmt, wenn für und a Primzahlen gewählt werden, wenn also gilt p und a p b g (gerade) (III,3) mit p ν und p μ aus der natürlihen Reihenfolge der Primzahlen mit 5 bis. Die ganzen Zahlen a und liefern eine Lösung, wenn auh das Produkt aus Summe und Differenz in Glg. III. eine ganze Zahl ergibt, so dass mit dem Ganzzahlteiler entshieden werden kann, welhe und a eine gültige Lösung liefern. In Tabelle III, sind die Pythagoreishen Primzahltupel aus dem Zahlenbereih von 5 bis 638 jeweils mit der einzig möglihen zugehörigen geraden Zahl eingetragen Tab. III, (von oben nah unten zu lesen) ν *) p ν = p μ = a g = b Man erkennt sofort, dass gilt b = φ(). Das heißt, die einzige gerade Zahl, die mit den Primzahlen p und p a die Gleihung des Pythagoras erfüllt, ist die Eulerzahl der Hypothenuse. Aus ( p a b) ( p b) (III, 4) G. Shulz, 0, Cluster aus Spinteilhen, Ergebnisse aus der Zahlenlehre.

3 3 folgt mit b = φ() = p - ( a p ), (III,5) was anzeigt, dass die Gleihung des Pythagoras für Primzahlen niht eine quadratishe, sondern nur eine semiquadratishe Beziehung zwishen a, b und ist. Shon dieser Befund bedeutet für vielerlei Anwendungen eine erheblihe Reduktion des numerishen Aufwandes. Ferner sollte man beahten, dass der Teiler der rehten Seite der Glg. III.5 gleih 3 ist und da der Teiler der linken Seite gleih dem Teiler der rehten Seite einer Gleihung sein muss, gilt: ( p ) 3 (III,6) Diese einfahe Struktur zeigt, dass von nur einer Primzahl als Hypothenuse ein ganzes Pythagoreishes Tripel aufgespannt werden kann. Die zugehörige zweite Primzahl a und die einzig möglihe zugehörige gerade Zahl b sind durh diese eine Primzahl eindeutig gegeben: b ( ) und a p - (III,7) In Abb. III.a sind die Quotienten der Primzahlen a mit roten Kreisen umrundet, sie liegen alle auf der unteren Grenzkurve für alle (!) möglihen Werte von a und in einem Pythagoreishen Tripel. a/ = p, b = - = u = ()0000 b = ()- a/ = () E b = () - Y = (n - ) 0, 0, Abb. III.a u. b Relativwete der (kleineren) Kathete a/ als Funktion von. Diese Darstellung entspriht der Darstellung der Eulerzahlen φ() als relative oder reduzierte Eulerzahl ρ() = φ()/ Ersetzt man nun in dieser Struktur die Primzahlen p durh die ungeraden Zahlen u so erhält man für die Lösungen die Werte, die in Abb. III. durh kleine Quadrate gekennzeihnet sind und auh diese Werte liegen samt und sonders auf der unteren Grenzkurve. In dieser Verallgemeinerung ist zwar b ), aber immer noh b u. ( Eine weitere Verallgemeinerung der Struktur gelingt, wenn für b alle geraden Zahlen zugelassen werden, sofern nur a, b und ein Pythagoreishes Tripel bilden (aus Gründen der Übersihtlihkeit eingeshränkt auf die Werte von a/ < / ohne Wiederholung). Die Ergebnisse sind in Abb. III.a u. b als kleine Quadrate in die Flähe eingetragen. Außerdem sind in Abb. III.b die stetigen Funktionen y( x) Y (/ x Y / x ) (III,8) mit der Ordinate y a/ (im Maß von a/), der Abszisse x u (im Maß von u ) und dem Parameter Y ( u b) ( n ) mit n... N 40 (III,9) G. Shulz, 0, Cluster aus Spinteilhen, Ergebnisse aus der Zahlenlehre.

4 4 eingetragen. Die Funktionen zeigen, wie aus einem sheinbar ungeordneten Zahlenhimmel eine wohlgeordnete Gesamtheit von Zahlen wird, sofern für die Differenzen (u b) die Quadrate ungerader Zahlen eingesetzt werden. Als eine weitere und entsheidende Erweiterung der Pythagoreishen Strukturen wird für die (kleinere) Kathete k in Glg. III. eine beliebige Zahl k = () 0000 (zu lesen von in Einershritten bis 0000) zugelassen, also sowohl gerade wie auh ungerade Zahlen. Wiederholungen werden in diesem Falle allein durh die einshränkende Bedingung k / vermieden. Das Resultat ist in den Abbn. III 3.a und b dargestellt. k / 0, Abb. III.3a rot markiert mit und a als Primzahlen und b = φ(), shwarz = ()0000, k = () -. k / 0, Abb. III.3b wie Abb. III.3a ergänzt durh die stetigen Funktionen y( x) Y (/ x Y / x ) mit rot Y = (n - ), blau Y = Y und shwarz Y 3 = 8n für die Differenzen Y = k G. Shulz, 0, Cluster aus Spinteilhen, Ergebnisse aus der Zahlenlehre.

5 5 Weitere Strukturen sind aus der graphishen Darstellung der reduzierten Lösungen unmittelbar abzulesen, insbesondere die geradezu abstoßende Wirkung, die die Lösungen für die Primzahlen (in Abb. III 3a durh rote Kreise markiert) und einige (kleine) reguläre ungerade Zahlen auf die Lösungen der anderen ungeraden regulären Zahlen in ihrer Umgebung ausüben, wodurh trihterförmige Einbuhtungen entstehen oder die nah rehts neigenden Kurven, die von der Grenzkurve ausgehend im Bereih größer sättigungsartig gegen streben und unübersehbar auh die Gruppierungen, die in beginnend auf der Sättigungskurve enden und damit (wie bereits in Teil II ausgeführt) endlih viele Partikulare repräsentieren. Alle diese Strukturen sind im Grundmuster der Pythagoreishen Tripel (a, b, ) mit den Primzahlen a und und der Eulerzahl b = φ() vorgezeihnet oder allgemeiner durh Reduktion der Teilerfunktion, τ als Funktion von Y ( p Y ) auf die speziellen Werte, die mit Y auf den Wert 3 hinstreben ( Y ( p Y ) (3, p, Y ), (III,0) Der Teileroperator T( j) selbst enthält explizit keine quadratishen Größen wie in seinem Argument höhstens noh Y als Parameter. j Eine solhe oder auh nur ähnlihe Struktur oder Reduktion der Diophantishen Gleihung ist für n 3 niht zu finden und daher war es auh von Anfang an müßig, nah Lösungen für Exponenten größer als n = zu suhen. Anmerkung: Es darf angenommen werden, dass Pierre de Fermat diese Zusammenhänge selbstverständlih gekannt und durhshaut hat, und da von ihm bekannt ist, dass er ein großer Spötter war, er sih köstlih amüsiert haben muss, wenn er erfuhr, dass seine Zeitgenossen und Nahfolger trotzdem immer wieder (vergeblih!) nah Lösungen für n 3 gesuht haben. II. Zum Drehsinn der Pythagoreishen Tripel ( a, b, ) Im Folgenden wird a < b < vorausgesetzt oder weniger einshränkend a b/ k k. a a b rehts drehend b a a b links drehend a b/ Abb. III.4 Zum Drehsinn rehtwinkliger, niht gleihshenkliger Dreieke die niht durh bloße Drehung in der Ebene ineinander überführt werden können. G. Shulz, 0, Cluster aus Spinteilhen, Ergebnisse aus der Zahlenlehre.

6 6 Gleihshenklige, rehtwinklige Dreieke mit a = b und also a a sind von diesen Betrahtungen auszushließen, da ihnen kein Drehsinn eindeutig zugeordnet werden kann und sie den Satz vom Pythagoras mit ganzen Zahlen für die Katheten und die Hypothenuse niht erfüllen. Shreibt man: sin( ) a /, so heißt a/ : "a gemessen in Einheiten von " wie auh b/ : "b gemessen in Einheiten von ". Und wie in allen Pythagoreishen Dreieken sin ( ) sin ( ) gilt, so ist in diesen Maßen die Flähe der Dreieke F ( a / ) ( b/ ) von einheitliher Größe und mithin auh die Flähennormale N F von einheitliher Länge, aber positiv oder negativ, je nah Vorzeihen der Winkel, die beim Übergang von nah a und weiter nah b beshrieben werden. Wegen der Ähnlihkeit der "Pythagoreishen" Flähennormalen mit dem in der Physik definierten Spin sprehen wir auh hier abkürzend von "Spinteilhen", wenn damit die Elemente eines Clusters mit Drehsinn bezeihnet werden sollen. Physikalish sinnvoll bzw. thermodynamish relevant werden solhe Größen natürlih erst, wenn man den "Drehsinn" shließlih mit dem "Drehimpuls" eines Teilhens identifiziert, also mit einer Größe, die Energie zum Beispiel durh Stöße mit gleihen oder anderen Teilhen oder allgemeiner durh Wehselwirkung mit einem Wärmebad auszutaushen imstande ist. In der Abb. III.5 sind die Tripel unterhalb der Grenzlinie für ganzzahlige Lösungen der Abb. III.3 ergänzt um die Tripel oberhalb dieser Grenzlinie. Das zeigt, dass die Gruppierungen mit endlih vielen Teilhen aus dem unteren Bereih stetig im Sinne von Gruppierungen stetig in die des oberen Bereihs übergehen.,0 0, (k,k )/ Abb. III.5 Darstellung der deutlih erkennbaren Gruppierungen im Bereih k / unterhalb und / k oberhalb der Grenzlinie mit niht ganzzahligen Pythagoreishen Dreieken. G. Shulz, 0, Cluster aus Spinteilhen, Ergebnisse aus der Zahlenlehre.

7 7,,0 0, -0, k,k / II I / Abb. III,6 Darstellung der relativen Werte b/ mit b = k < / und b = k > / für alle geraden k und alle ungeraden k ohne Wiederholung (!) durh die Funktionen y I Y ( x Y ) / x und y II abs( Y x) / x Mit den Parametern Y ( n ) Hier willkürlih n = 0 gesetzt,,0 0, -0, k,k / / I II Abb. III,7 Darstellung der relativen Werte b/ mit b = k < / und b = k > / für alle geraden k und alle ungeraden k ohne Wiederholung (!) durh die Funktionen y I Y ( x Y ) / x und y II abs( Y x) / x Mit den Parametern Y ( n) Hier willkürlih n = 0 gesetzt Die Anzahl der Tripel mit (,k,k) ist gleih der Zahl der Tripel mit (,k,k). Das heißt: Es gibt ebenso viele links- wie rehtsdrehende Spinteilhen, die Welt der Spinteilhen ist im ganzen also niht hiral (einseitig). In Abb. III.8 ist die Häufigkeit Z der Pythagoreishen Tripel dargestellt, die in der Menge der natürlihen Zahlen von bis mit einer bestimmten Eulerzahl φ(k ) auftreten, und in Abb. III.9 die Hyperbelabshnitte, die als Cluster hier mit mehr als 4, aber jedenfalls mit endlih vielen Teilhen aus der shier unendlih großen Menge der natürlihen Zahlen herausbilden können und für die weitere Betrahtung der Kondensation von Spinteilhen infrage kommen. Wegen Z(φ(k )) = Z(φ(k )) können die Hyperbelabshnitte mit gleih großer Anzahl von Werten nah φ(k )/k > 0.5 fortgesetzt werden. G. Shulz, 0, Cluster aus Spinteilhen, Ergebnisse aus der Zahlenlehre.

8 Z() N tot = (k )/k Z(k k Abb. III.8 Häufigkeit der Pythagoreishen Tripel mit einer bestimmten Eulerzahl φ. Abb. III.9 Hyperbelabshnitte als Cluster mit endlih vielen Teilhen gleiher Eulerfunktion Den Übergang von kurzen Hyperbelabshnitten mit wenig Teilhen zu längeren mit entsprehend mehr Teilhen zu beshreiben, wird die Aufgabe eines weiteren Teils dieser Untersuhungen werden. *) (geändert Mai 0) shulz@physik.uni-saarland.de G. Shulz, 0, Cluster aus Spinteilhen, Ergebnisse aus der Zahlenlehre.