Mathematische Probleme, SS 2017 Montag $Id: dreieck.tex,v /06/19 14:39:24 hk Exp $

Transkript

1 $Id: dreie.tex,v /06/19 14:39:24 h Exp $ 2 Dreiee 2.3 Einige spezielle Punte im Dreie In der letzten Sitzung haben wir drei unserer speziellen Punte eines Dreies behandelt, es steht nur noh der Shnittpunt der Höhen aus. Tatsählih folgt die Existenz dieses Shnittpunts aus der Existenz des Shnittpunts der ittelsenrehten angewandt in einem geeigneten Hilfsdreie. Sei = ein Dreie und betrahte das als ein eispiel zum Ähnliheitsbegriff eingeführte ittendreie, also das Dreie = das von den drei Seitenmittelpunten gebildet wird. Wir wollen uns überlegen was die Höhen in sind, shauen wir uns etwa die Höhe h auf der Seite von an. Nah Lemma 9 ist parallel zur Seite von, und da h senreht auf steht, ist h auh senreht auf. Nun geht h durh den Seitenmittelpunt von, d.h. h ist die ittelsenrehte von auf. nalog ann man für die beiden anderen Höhen shließen, d.h. die Höhen des ittendreies sind genau die ittelsenrehten von. Damit shneiden sih die Höhen von nah Satz 17 im Umreismittelpunt von. * h * b a * Höhe im ittendreie Konstrution von In einem ittendreie shneiden sih die Höhen somit immer in einem Punt, um also zu zeigen das dies in einem allgemeinen Dreie = ebenfalls gilt, reiht es einzusehen das das ittendreie eines geeigneten vergrößerten Dreies ist. Um dieses zu onstruieren, ziehen wir die Parallele a zu durh, die Parallele b zu durh und shließlih die Parallele zu durh. Damit definieren wir dann als Shnittpunt von b und, als den Shnittpunt von a und und letztlih als den Shnittpunt von a und b. Diese Konstrution liefert uns das Dreie = und wir behaupten das das ittendreie von ist. 16-1

2 Überlegen wir uns einmal das der Seitenmittelpunt von ist. Nah Konstrution sind = und, = b und sowie = = a und jeweils parallel zueinander, wir haben also zwei Parallelogramme und. Erinnern wir uns jetzt daran, dass in einem Parallelogram gegenüberliegende Seiten gleih lang sind, so ergibt sih = = = und dies bedeutet tatsählih das der ittelpunt von ist. nalog sind der ittelpunt von und der ittelpunt von, d.h. = ist tatsählih das ittendreie von =. D Die hier verwendete Tatsahe über Parallelogramme ist dabei anshaulih lar, formal ann man sie beispielsweise aus dem Kongruenzsatz SWW für Dreiee gewinnen. Geben wir uns etwa ein Parallelogram D wie oben vor, so zerlegen wir dieses durh die Stree D in zwei Dreiee D und D. Sind dann der Winel bei in D und der Winel bei D in D, so folgt mit dem Stufenwinelsatz 1.Satz 34.(b) wegen D das der Winel in D bei D auh ist und ebenso folgt mit D das der Winel in D bei gleih ist. Nah Satz 7 sind die beiden Dreiee D und D damit ongruent, also sind auh D = und = D wie behauptet. Satz 2.18 (Der Shnittpunt der Höhen) Sei ein Dreie. Dann shneiden sih die drei Höhen von in einem Punt S h. eweis: Wir haben gerade gezeigt das es ein Dreie mit ittendreie gibt und damit sind die Höhen von die ittelsenrehten von, shneiden sih also nah Satz 17 in einem Punt. 16-2

3 Damit haben wir die Konstrution der vier speziellen Punte S m, S w, S u und S h beendet. Die Shnittpunte der Seitenhalbierenden, der ittelsenrehten und der Höhen önnen jetzt niht völlig beliebig zueinander liegen, es stellt sih heraus das sie immer auf einer gemeinsamen Geraden sind, der sogenannten Euler-Geraden des Dreies. Dies wurde 1763 von Leonard Euler entdet und sheint das erste Resultat über Dreiee zu sein das in der ntie niht beannt war. evor wir den entsprehenden Satz beweisen, müssen wir erst einmal den Randfall eines gleihseitigen Dreies aus dem Weg shaffen. In einem gleihseitigen Dreie stimmen nah ufgabe (31.a) die Seitenhalbierenden, Winelhalbierenden, ittelsenrehten und Höhen überein, also ist stets S m = S w = S u = S h, die vier speziellen Punte fallen also alle zusammen. In niht gleihseitigen Dreieen ann dies niht auftreten, und wir formulieren den Satz über die Eulergerade daher für niht gleihseitige Dreiee. Satz 2.19 (Die Eulergerade eines Dreies) Sei = ein niht gleihseitiges Dreie. Dann sind der Shwerpunt S m von, der Umreismittelpunt S u von und der Höhenshnittpunt S h von paarweise vershieden und diese Punte liegen auf einer Geraden e, der sogenannten Eulergeraden des Dreies. uf dieser Geraden liegt S m zwishen S u und S h und trennt diese Punte im Verhältnis 1 : 2, d.h. es gilt S m S h = 2 S m S u. S h S m b h a S u /2 /2 eweis: ngenommen es wäre S u = S m. Dann stimmen die ittelsenrehten und die Seitenhalbierenden in überein, und nah ufgabe (31.b) wäre in allen Een gleihshenlig, also gleihseitig. Damit muss zumindest S u S m gelten. Sei e die Verbindunsgerade von S u und S m und bezeihne S den Punt auf e so, dass S m zwishen S u und S liegt und diese Stree im Verhältnis 1 : 2 teilt, d.h. S m S = 2 S m S u, wie oben lins eingezeihnet. Dann ist zu zeigen das S der Höhenshnittpunt von ist, also auf allen drei Höhen liegt. Sei der ittelpunt der Stree und nehme an das S u niht auf der Seitenhalbierenden liegt. Nah Satz 10 zerlegt S m die Stree im Verhältnis 2 : 1, also S m = 2 S m. Folglih ist S m S m S = 2 S m 2 S m S u = S m S m S u, d.h. die Seitenpaare S m, S m S und S m, S m S u in den beiden Dreieen S m S und S m S u haben dasselbe Verhältnis. Die von diesen beiden eingeshlossenen Winel 16-3

4 in S m S und S m S u sind ebenfalls gleih, also sind die beiden Dreiee nah dem Ähnliheitssatz Satz 8 ähnlih. Damit sind die Winel dieser Dreiee bei beziehungsweise gleih und nah dem Stufenwinelsatz 1.Satz 34.(a) sind S und S u parallel. Nun ist S u senreht auf, also ist auh S senreht auf, d.h. S ist die Höhe von auf. nalog shließt man für die anderen beiden Höhen. Wegen S u S m liegt S u auf höhstens einer Seitenhalbierenden von, also gehen mindestens zwei der Höhen von durh S, d.h. S = S h ist der Shnittpunt der Höhen von. Insbesondere ist damit S h S m, S u. Der eweis dieses Satzes liefert uns übrigens einen zweiten eweis für die Existenz des Höhenshnittpunts, zumindest in niht gleihseitigen Dreieen. 2.4 Einige Sätze über Kreise Im vorigen bshnitt haben wir den Inreis und den Umreis eines Dreies behandelt, und jetzt wollen wir noh etwa weiter auf das Zusammespiel zwishen Kreisen und Dreieen eingehen. Wir beginnen dabei mit dem grundlegenden Satz über Kreise, den sogenannten Satz von Thales der besagt das alle Winel im Halbreis Rehte sind. Satz 2.20 (Satz von Thales) Sei ein Durhmesser eines Kreises und ein Punt auf aber niht auf. Dann hat das Dreie in einen rehten Winel. ψ eweis: ezeihne den ittelpunt des Kreises. Dann sind die beiden Dreiee und bei gleihshenlig, also sind nah ufgabe (31.a) die Winel und bei und in sowie die Winel und ψ bei und in jeweils gleih, also = und ψ =. Der Winel von bei ist = + ψ = + und da die Winelsumme in einem Dreie nah Satz 5 immer π ist ergibt sih Damit ist der Satz vollständig bewiesen. = π ( + ) = π, also = π

5 etrahten wir anstelle eines Durhmessers des Kreises eine Seante dieses Kreises, so liegen zwar eine rehten Winel mehr vor, aber zumindest sind alle von der Seante und einem weiteren Punt auf gebildeten Winel gleih sofern sie auf derselben Seite der Seante liegen. Die Winel auf den beiden vershiedenen Seiten addieren sih dabei zu π. Satz 2.21 (Perepheriewinelsatz) Seien ein Kreis mit ittelpunt und ein Seante in die niht durh geht. Weiter sei ψ der ittelpuntswinel der Seante, d.h. der Winel des Dreies bei. ψ Perepheriewinel über θ Perepheriewinel unter (a) Ist ein Punt auf über, also auf derselben Seite von wie, und bezeihnet den Perepheriewinel von bei, also den Winel des Dreies bei, so gilt ψ = 2 und insbesondere < π/2. (b) Ist ein Punt auf unter und θ der Perepheriewinel von bei, so ist + θ = π und insbesondere θ > π/2. eweis: Wir verwenden die folgenden Figuren zum eweis: δ Vorbemerung θ Teil (a) 16-5

6 Zunähst sei ein Punt auf unter und betrahte den Perepheriewinel θ von bei. Da,, auf liegen sind die beiden Dreiee und beide bei gleihshenlig, nah ufgabe (31.a) hat also bei und denselben Winel und hat bei und denselben Winel. Weiter bezeihne den Winel von bei und δ den Winel von bei. Dann setzen sih und δ zum ittelpuntswinel ψ zusammen und und sind zusammen der Perepheriewinel θ, es gelten also ψ = + δ und θ = +. ußerdem gilt nah Satz 5 auh 2 + = 2 + δ = π, also ist insgesamt θ = + = π 2 + π δ 2 = π + δ 2 = π ψ 2. (a) Nah der Vorbemerung sind alle Perepheriewinel von unter gleih θ = π ψ/2, wir önnen also durh eventuelles bändern von annehmen das ein Durhmesser von ist. Nah dem Satz von Thales Satz 20 haben die Dreiee bei und bei rehte Winel. it ufgabe (30) angewandt auf das Viere folgt 2π = 2 π 2 + θ + = π + θ + = 2π + ψ 2 also ψ = 2 und insbesondere ist = ψ/2 < π/2. (b) Die Vorbemerung und Teil (a) liefern + θ = ψ 2 + π ψ 2 = π, und insbesondere ist θ = π > π/2. Fassen wir den Satz von Thales und den Perepheriewinelsatz zusammen, so sind die Perepheriewinel bezüglih einer beliebigen Seante des Kreises unter und über der Seante jeweils zueinander gleih und durh Vergleih mit einem rehten Winel ann man auh sehen ob die Winel unter oder über der Seante gebildet werden. Korollar 2.22: Seien ein Kreis und eine Seante von. Dann sind alle Perepheriewinel von auf derselben Seite von einander gleih. eweis: Dies folgt aus dem Satz von Thales Satz 20 wenn ein Durhmesser von ist und aus dem Perepheriewinelsatz Satz 21 wenn ein Durhmesser von ist. 16-6

7 D D θ Perepheriewinel Umreisradius, Fall 1 Umreisradius, Fall 2 ls eine nwendung des Perepheriewinelsatzes wollen wir nun eine Formel zur erehnung des Umreisradius eines Dreies herleiten. Satz 2.23 (estimmung des Umreisradius) Sei = ein Dreie mit Seiten a, b, und Wineln,, in den Standardbezeihungen. Sind dann R der Umreisradius und F die Flähe von so gelten a = 2R sin, b = 2R sin, = 2R sin und R = ab 4F. Ist rehtwinlig so ist der Umreismittelpunt S u von der ittelpunt der dem rehten Winel gegenüberliegenden Seite von. Ist niht rehtwinlig so liegt S u auf einer der Seiten von und genau dann liegt eine der Seiten von zwishen S u und dem dritten Epunt von wenn in diesem Epunt stumpfwinlig ist. eweis: ezeihne den Umreis von und sei D der Durhmesser von durh. Nah dem Satz von Thales Satz 20 ist das Dreie D bei rehtwinlig und nah dem Perepheriewinelsatz Satz 21 angewandt auf die Seante von ist sein Winel bei D gleih dem Winel von bei wenn und D auf derselben Seite von liegen beziehungsweise gleih dem Winel θ = π wenn und D auf vershiedenen Seiten von liegen. In beiden Fällen ist dann sin = sin(π ) = 2R, d.h. R = 2 sin da D = 2R ist. Ist in rehtwinlig so ist D = und S u ist der ittelpunt des Durhmessers von und andernfalls ist nah dem Perepheriewinelsatz genau dann < π/2 wenn oberhalb der Seante von liegt. Damit gelten die ehauptungen über und die über und folgen analog. Shließlih ist auh F = 1 ab ab sin = 2 4R und wir haben die Flähenformel bewiesen. 16-7