Relativitätstheorie. Relativitätstheorie 345. Um das Jahr Um das Jahr Um das Jahr Wie wird es im Jahr 2200 aussehen?

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1 Relatiitätstheorie Zeitreisen Reisen in die Vergangenheit oder Zukunft sind beliebte Themen für Siene- Fition-Romane. Darin lassen sih mit Hilfe on Zeitmashinen Personen in beliebige Epohen ersetzen. Man lernt z. B. die Eltern or der eigenen Geburt kennen, oder man greift in den Ablauf der Geshihte ein und erändert ihren Weitergang. Wenn jedoh die Vergangenheit anders ist, welhe Gegenwart ist dann gültig? Ist eine Änderung der zeitlihen Reihenfolge physikalish möglih? Das Relatiitätsprinzip Shließt euh in einen möglihst großen Raum unter dem Dek eines großen Shiffes ein, sorgt auh für ein Gefäß mit Wasser und kleinen Fishen darin, solange das Shiff stille steht wird man sehen, wie die Fishe ohne irgendwelhen Untershied nah allen Rihtungen shwimmen Nun lasst das Shiff mit jeder beliebigen Geshwindigkeit sih bewegen. Ihr werdet wenn die Bewegung gleihförmig ist, bei allen genannten Ersheinungen niht die geringste Veränderung eintreten sehen. Aus keiner derselben werdet ihr entnehmen können, ob das Shiff fährt oder still steht. (Galileo Galilei 56 6) 95 eröffentlihte Albert Einstein in den Annalen der Physik einen Artikel Zur Elektrodynamik bewegter Körper, in dem er reolutionäre Gedanken zu Raum und Zeit darlegte. Grundlage der Überlegungen war die Erkenntnis des amerikanishen Physikers Mihelson aus dem Jahre 88, dass für die Ausbreitung des Lihtes in allen Rihtungen, auh bei bewegter Quelle oder bewegtem Beobahter, die gleihe Geshwindigkeit gemessen wird. Um das Jahr Wie wird es im Jahr aussehen? Um das Jahr 9 Um das Jahr 6 Relatiitätstheorie 5

2 Die Einstein shen Postulate 687 ershien Newtons Werk Philosophiae Naturalis Prinipia Mathematia (Mathematishe Prinzipien der Naturlehre). Seine Auffassung on absolutem Raum und absoluter Zeit bildete das Fundament der Physik, bis dieses durh die Relatiitätstheorie Albert Einsteins erneuert wurde. Auf dem Shirm zu beobahtendes Inter ferenzmuster, das sih beim Drehen der Anordnung ershieben sollte. º V Ein Boot fährt flussabwärts. Für einen Beobahter am Ufer addieren sih Bootsgeshwindigkeit relati zu Wasser und Strömungsgeshwindigkeit. Fährt das Boot Lihtquelle Spiegel Strahlteiler Lihtbündel Lihtbündel Shirm B Welhen Einfluss hat die Erdbewegung auf die Lihtgeshwindigkeit? Spiegel fluss aufwärts, so sind die Geshwindigkeiten zu subtrahieren. Für die gleihe Streke entlang des Ufers wird eine andere Zeitspanne benötigt. Fährt das Boot quer zur Strömungsrihtung, so ist die Zeit zum Überqueren on der Strömungsgeshwindigkeit unabhängig. º V Im Mihelson-Interferometer wird ein Lihtbündel durh einen Strahlteiler aufgeteilt und nah Durhlaufen ershiedener Wege wieder auf einem Shirm ereinigt (OB ). Die Überlagerung erzeugt ein Interferenzmuster. Der Lihtweg zum Spiegel soll parallel, der zum Spiegel senkreht zur Erdbahn gerihtet sein. Wird die Anordnung um 9 gedreht, so müsste ein Einfluss der Erdgeshwindigkeit auf die Geshwindigkeit der Lihtbündel im Interferenzmuster zu beobahten sein. Dies ist jedoh niht der Fall. Albert Einstein im Alter on Jahren Spezielle Relatiitätstheorie Beobahtete Geshwindigkeiten hängen im Allgemeinen daon ab, in welhem Bezugssystem sie gemessen werden. Ein Auto hat zum Beispiel aus der Siht eines Fußgängers eine andere Geshwindigkeit als aus einem orbeifahrenden Zug betrahtet. Beim Shall ist die Geshwindigkeit relati zum Medium Luft fest, deshalb hängt die Übertragungsgeshwindigkeit niht on der Bewegung der Quelle ab, wohl aber on der des Beobahters relati zum Medium Luft. Nähert sih z. B. ein Beobahter einer Shallquelle mit der Geshwindigkeit, so misst er als Signalgeshwindigkeit die Summe aus Shallgeshwindigkeit und eigener Geshwindigkeit. Bei Lihtsignalen erhält es sih grundlegend anders. Bewegt sih etwa im Vakuum ein Be obahter mit % der Lihtgeshwindigkeit auf eine Lihtquelle zu, so misst er niht etwa die Summe der Teilgeshwindigkeiten, sondern nur die einfahe Lihtgeshwindigkeit. Dieses Ergebnis ändert sih auh für beliebige Rihtungen und Geshwindigkeiten bezüglih der Lihtquelle niht. Viele Jahre lang hat man Experimente, die das überprüfen sollten, wiederholt und erbessert. Doh alle bestätigten, dass die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum unabhängig om Bewe- gungszustand on Quelle und Beobahter ist. Albert Einstein ( ) soll sih bereits als Shüler überlegt haben: Wenn ih einem Lihtstrahl mit der Lihtgeshwindigkeit naheile, so sollte ih einen solhen Lihtstrahl als ruhendes, räumlih oszillatorishes elektromagnetishes Feld wahrnehmen. So etwas sheint es aber niht zu geben.» Die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum hat für jeden Beobahter, unabhängig on seiner eigenen Geshwindigkeit und der Geshwindigkeit der Lihtquelle, den gleihen Wert. Es ist = m/s ; dieser Wert dient als Grundlage unserer Längenmessung. º A Informieren Sie sih über die Festlegung der Längeneinheit Meter. º A Ein Boot überquert einen Fluss: a) Es steuert senkreht zur Strömung und wird um einen Winkel a abgetrieben. b) Es kommt genau gegenüber dem Startpunkt an und steuert deswegen um einen Winkel b gegen die Strömung. Vergleihen Sie beide Winkel. 6 Relatiitätstheorie Ø

3 Besonderheit on Lihtsignalen Die Physiker A. A. Mihelson und E. W. Morley untersuhten on 88 an, ob die Bahngeshwindigkeit der Erde bei ihrer Bewegung um die Sonne einen Einfluss auf die Ausbreitung on Liht hat. Sie beträgt = km/s = m/s, also, der Lihtgeshwindigkeit. Sie konstruierten einen Interferenzersuh, in dem Liht, das zwei senkreht zueinander stehende Wege durhlaufen hat, überlagert wird (OB ). Wird die Anordnung so aufgestellt, dass die Lihtwege parallel bzw. senkreht zur Erdbahn erlaufen, so sollte sih die Erdbewegung auf beide Lihtwege untershiedlih auswirken. Bei Drehung der Anordnung um 9 müsste sih die Interferenzersheinung erändern. Ein Beobahter außerhalb der Erde berehnet für Weg die Laufzeit t, aus den Geshwindigkeiten + für den Hinweg und für den Rükweg: t = l + + l = l Beim Weg ermittelt er zweimal dieselbe Geshwindigkeit, also ist: l t = + l = l Wegen l l sind stets Interferenzen zu be obahten. Die Zeitdifferenz t t führt zu einem zusätzlihen Laufzeituntershied, der die Interferenz, hat man die Anordnung um 9 gedreht, in entgegengesetzter Weise beeinflussen sollte. Das Interferenzmuster müsste sih ershieben (OB ). Dies wurde nie beobahtet. Damals wurde zunähst daraus geshlossen, dass sih der Äther als gedahtes Trägermedium des Lihtes mit der Erde mitbewegen müsse. Heute wissen wir:» Auh in untershiedlih bewegten Systemen wird immer der gleihe Wert für die Lihtgeshwindigkeit gemessen. Spiegel l Strahlteiler l Spiegel Weg Weg hin = B Vergleih der Laufzeiten auf ershiedenen Lihtwegen Postulate für Inertialsysteme In einem mit konstanter Geshwindigkeit geradlinig fahrenden Zug spielen zwei Kinder mit einem Ball. Zwei Beobahter, beispielsweise einer im Zug und ein anderer draußen auf der Wiese, beobahten zwar untershiedlihe Geshwindigkeiten und Bahnkuren des Balls, führen die Ballbewegung aber auf dieselben Wurfgesetze zurük. Physikalish gesehen liegen hier zwei Bezugssysteme or, die mit konstanter Geshwindigkeit gegeneinander bewegt werden. Sie untersheiden sih bei der gesetzmäßigen Beshreibung on Bewegungsabläufen niht, auh wenn sih die gemessenen Werte einiger Größen untersheiden. Solhe Bezugssysteme heißen Inertialsysteme, wenn sih Körper, auf die keine Kräfte wirken, in ihnen infolge ihrer Trägheit (lat. inertia) mit konstanter Geshwindigkeit geradlinig weiter bewegen. Erst wenn der Zug beshleunigt, untersheiden sih die Gesetzmäßigkeiten zum Ballspiel für die beiden Beobahter. Ein beshleunigtes Bezugssystem ist kein Inertialsystem. Wird der Ball im Zug in Fahrtrihtung geworfen, so erhöht sih die Geshwindigkeit des Balles für einen Beobahter auf der Wiese um die Geshwindigkeit des Zuges. Wird im fahrenden Zug ein Lihtblitz erzeugt, so ist die Geshwindigkeit des Lihtes in beiden Bezugssystemen gleih groß (OB ). Durh Messung der Lihtgeshwindigkeit lässt sih also niht feststellen, mit welher Geshwindigkeit sih die Bezugssysteme gegeneinander bewegen. Albert Einstein hat diese beiden Beobahtungen in seiner Speziellen Relatiitätstheorie on 95 als Postulate festgelegt:». Relatiitätsprinzip: Alle Inertialsysteme sind bezüglih physikalisher Gesetze gleihberehtigt.». Konstanz der Lihtgeshwindigkeit: Die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum ist unabhängig on der Bewegung der Quelle und om Inertialsystem, in dem sie gemessen wird. º A Begründen Sie, warum eine Stewardess in einem ruhig fliegenden Flugzeug problemlos Kaffee einshenken kann, niht jedoh während der Start- oder Landephase des Flugzeugs. hin = + zurük = zurük = B Erwartete, aber niht beobahtete Vershiebung A B A B B Ball und Liht aus untershiedliher Siht Relatiitätstheorie 7

4 Ort, Zeit, Ereignis Newton shrieb 687: Die absolute, wahre und mathematishe Zeit erfließt an sih und ermöge ihrer Natur gleihförmig und ohne Beziehung auf irgend einen äußeren Gegenstand Die relatie, sheinbare und gewöhnlihe Zeit ist fühlbares Maß der Dauer Der absolute Raum bleibt ermöge seiner Natur stets gleih und unbeweglih. Der relatie Raum ist ein bewegliher Teil des ersteren. º V Ein Beobahter am Bahndamm sieht, dass sih ein Reisender in einem mit kon stanter Geshwindigkeit orbeifahrenden Zug nah orne bewegt. Beide geben ershiedene Werte für die beobahteten Geshwindigkeiten an. º V Ein Gedankenersuh (OB ): Raumshiff fliegt mit =,5 an einem anderen Raumshiff orbei und sendet in diesem Moment ein Lihtsignal in Flugrihtung aus. Nah s befindet sih Raumshiff,5 8 m entfernt, das Signal 8 m. In Raumshiff beobahtet man aber, dass sih das Signal mit Lihtgeshwindigkeit on ihm entfernt hat und deshalb nah s den Abstand 8 m hat. Zeit- und Längen mess ungen liefern daher ershiedene Werte. nah s: B Gedankenersuh: Gleihe Streken mit ershiedenen Längen,5 8 m? 8 m º V Werden Atome on shnellen Protonen getroffen, so können Myonen entstehen. Diese zerfallen mit der Halbwertszeit, 6 s. Im europäishen Kernforshungszentrum (Cern) in Genf wurden Myonen auf 99,9 % der Lihtgeshwindigkeit gebraht. Ihre Halbwertszeit betrug nun 6 s. Sie lebten also -mal länger als ruhende Myonen. B Die Synhronisation on Uhren Bewegte Uhren Im Oktober 97 startete ein Flugzeug zu einem Flug um die Erde. An Bord befand sih eine Caesium-Atomuhr, die beim Start exakt die gleihe Zeit wie eine zweite gleihartige Caesium-Atomuhr anzeigte, die am Startort zurükblieb. Bei der Ankunft nah der Erdumrundung und einer Flugzeit on, Stunden zeigte die bewegte Uhr 59 ns we niger als die am Startort befindlihe an. Dieser Untershied stellt unsere Vorstellungen in Frage. Zeit läuft niht in allen Systemen gleih absolut ab, wie Newton es sih orstellte.» Gegeneinander bewegte Uhren zeigen ershieden lange Zeitspannen an. Der Zeitergleih geshah bei diesem Experiment mit Uhren, die sih beide zu Beginn und am Ende des Fluges am gleihen Ort befanden. Zeitangaben für Ereignisse an ershiedenen Orten eines Systems sind nur sinnoll, wenn sie on gleih laufenden, das heißt syn hronisierten Uhren stammen. Wenn man zunähst zwei baugleihe Uhren am gleihen Ort synhronisiert und dann eine daon an einen anderen Ort bringt, so kann man niht wissen, ob sih ihre Anzeige gegenüber der anderen erändert. Die Synhronisation on Uhren, die sih oneinander entfernt in einem gemeinsamen Inertialsystem befinden, kann aber auf folgende Weise geshehen (OB ): Genau in der Mitte zwishen baugleihen Uhren wird ein Blitzliht gezündet. Da sih das Liht in alle Rihtungen mit gleiher Geshwindigkeit ausbreitet, gelangt es gleihzeitig an alle Uhren auf einem Kreis. Diese werden dadurh synhron gestartet. Die Uhren zeigen anshließend auh gleihe Zeitspannen für dieselben Vorgänge an.» Uhren eines Inertialsystems lassen sih wegen der konstanten Lihtgeshwindigkeit mit Lihtsignalen synhronisieren. Auf diese Weise ist ein Gerüst on synhronisierten Uhren im Raum orstellbar. º A Beobahten Sie eine Bahnhofsuhr mit Sekundenzeiger. Informieren Sie sih über die Synhronisa tion on Bahnhofsuhren. 8 Relatiitätstheorie Ø

5 Minkowski-Diagramme Bewegungen lassen sih durh t-s-diagramme beshreiben. Gleihförmige Bewegungen führen dabei auf Geraden (OBa). Der Punkt P (5 ) in diesem Koordinatensystem eines Beobahters A wird Ereignis genannt, das zum Zeitpunkt t = 5 am Ort x = stattfindet. Die Gerade durh den Ursprung und P kennzeihnet die gleihförmige Bewegung eines Objektes B. Sie wird Weltlinie genannt. A würde sagen: B bewegt sih in positier x-rihtung mit der Geshwindigkeit BA = /5 =,6. B könnte ein entsprehendes Koordinatensystem zeihnen (OBb) in diesem das Ereignis Q (5 ) beobahten und käme zu der Aussage: A bewegt sih mit AB =,6 in negatier x-rihtung. Zu den gleihen Aussagen gelangt B, wenn er seine Weltlinie als t B -Zeitahse erwendet und als Ableselinie für Ortskoordinaten eine Parallele zur Zeitahse erwendet (OB ). Es entsteht ein shiefwinkliges Parallelkoordinatensystem. Das rehtwinklige artesishe ist ein Spezialfall solher Parallelkoordinatensysteme. Es gilt:» In Parallelkoordinatensystemen erlaufen die Ableselinien parallel zu den Koordinatenahsen. Das Ereignis R findet für A und B gleihzeitig mit P und Q statt, denn alle drei Ereignisse liegen auf einer Parallelen zur gemeinsamen Ortsahse. Dies ist Ausdruk der Newton shen Auffassung einer unabhängig on allem ablaufenden Zeit. In der Ortsangabe für R untersheiden sih aber A und B; und die Geshwindigkeit eines Objektes C, dessen Weltlinie durh den Ursprung und R läuft, gibt A mit CA =,8, B aber mit CB =, an. Dies entspriht der Aussage on Galilei, dass die Geshwindigkeit om Bezugssystem abhängt. Wenn es sih beim Objekt C um ein Lihtsignal handelt, müssen A und B aber zu gleihen Aussagen über seine Geshwindigkeit kommen. Minkowski wandelte die geometrishe Darstellung ab, um die Konstanz der Lihtgeshwindigkeit zu berüksihtigen. Für das System on A wählte er als Zeiteinheit die Sekunde und als Ortseinheit die Lihtsekunde. Die Weltlinie eines Lihtsignals ist dann die Winkelhalbierende der Koordinatenahsen. Bei entsprehender Wahl der Einheiten muss das für jedes Koordinatensystem gelten. Das Postulat on der Konstanz der Lihtgeshwindigkeit lautet:» Die Weltlinie eines Lihtsignals ist die Winkelhalbierende zwishen Orts- und Zeitahse. x A B Weltsiht on A (a); Weltsiht on B (b) x A x B B Parallelkoordinaten R P Q t R B P Q 5 6 º A In der Mitte eines fahrenden Waggons wird ein Lihtblitz gezündet (OBa). Das Diagramm Bb beshreibt diese Situation. Ergänzen Sie die Weltlinien der an den Waggonenden reflektierten Lihtsignale und beurteilen Sie ihr Zusammentreffen aus der Siht beider Beobahter. t A 6 5 x A in Ls Dies lässt sih nur erreihen, indem die gemeinsame Ortsahse der Koordinatensysteme aufgegeben wird (OB ). Zu den Ereignissen P und Q stellt A fest: P und Q sind gleihzeitig; B jedoh sagt: P fand or Q statt, da er die Zeit auf einer Parallele zu seiner Ortsahse durh Q abliest. Also gilt:» Über die zeitlihe Abfolge on Ereignissen kommen gegeneinander bewegte Beobahter zu untershiedlihen Aussagen. a) B a) x B b) R t B 5 P 6 7 t A Q x B in Ls P Liht t B in s Q t A in s B Minkowski-Diagramm B Lihtblitz im Zug (a); Darstellung im Minkowski-Diagramm (b) A 5 b) x A in Ls x B in Ls orderes Waggonende t B in s hinteres Waggonende t A in s Relatiitätstheorie 9

6 Messen und Wahrnehmen Es könnte sheinen, dass alle die Definition der Zeit betreffenden Shwierigkeiten dadurh überwunden werden könnten, dass ih an Stelle der,zeit die,stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr setze. Diese Definition genügt aber niht mehr, sobald es sih darum handelt, Ereignisse zeitlih zu werten, welhe an on der Uhr entfernten Orten stattfinden. Albert Einstein, 95 Spiegel Lihtsignal Spiegel B d º V Eine Lihtuhr wie in der Grafik B ist ein Gedankenexperiment Einsteins. Ein Lihtsignal wird zwishen zwei Spiegeln hin- und her - reflektiert. Für d = m hat sie eine Taktzeit on T = ns. Für zwei Ereignisse am Ort der Uhr wird die Zeit gemessen, indem die Anzahl der Reflexionen gezählt wird. º V Die Zeit zwishen zwei Ereignissen an ershiedenen Orten kann mit zwei synhronisierten, am jeweiligen Ort ruhenden Uhren gemessen werden. º V Zur Längenmessung erwendete Maßstäbe müssen identish sein, sih am Ort der Messung befinden und in Ruhe sein. Dass die Lihtgeshwindigkeit unabhängig on der Bewegung des Systems, in dem sie gemessen wird, immer gleih ist, bedingt, dass sih Zeit und Länge, mit denen die Geshwindigkeit bestimmt wird, mit der Be wegung des Systems ändern müssen. Zeit ist im Gegensatz zu Newtons Vorstellungen systemab hängig!» Gegeneinander bewegte Uhren zeigen ershieden lange Zeitspannen an. Eine bewegte Uhr geht gegenüber ruhenden Uhren nah. Zeitdilatation und Längenkontraktion Newton ging daon aus, dass die Zeit unbeeinflussbar und gleihförmig fließt und ebenso der Raum absolut und uneränderbar ist. 97 startete ein Flugzeug zu einem Flug um die Erde. An Bord befand sih eine hohgenaue sogenannte Caesium-Atomuhr, die beim Start exakt die gleihe Zeit wie eine zweite Caesium- Atomuhr anzeigte, die am Startort zurükblieb. Bei der Ankunft nah der Erdumrundung und einer Flugzeit on, Stunden zeigte die bewegte Uhr 59 ns weniger als die am Startort befindlihe an. Man spriht on einer Zeitdehnung, der Zeitdilatation. Die geringen Ganguntershiede on bewegten Uhren sind auh im Alltag bedeutsam, z. B. bei der Satelliten naigation ( GPS ). Neben der Zeit gehört die Länge zu den wihtigsten fundamentalen Größen, die in der Physik gemessen werden. Unter der Ruhelänge eines Stabes ersteht man die Länge, die ein relati zum Stab ruhender Beobahter feststellt. Bewegt sih nun der Stab, so ergeben jetzt für den Beobahter die gleihzeitig ermittelten Ortskoordinaten eine kleinere Differenz als orher. Dieser Effekt heißt Längenkontraktion. Exkurs Bilder bewegter Körper B Fahrt durh Tübingen mit 95 % Lihtgeshwindigkeit Das Bild, das z. B. eine Kamera on einem bewegten Stab registriert, ergibt sih aus den Lihtsignalen, die gleih zeitig in der Kamera eintreffen, etwa die Signale om linken Stabende in der Position a) und die om rehten in der Position b) (OB ). Diese beiden Positionen begrenzen das gesamte Bild des Stabes. Er wird also in Bewegungsrihtung gedehnt gegenüber dem gemäß Längenkontraktion erwarteten Wert wahrgenommen. Dieser Effekt beruht also niht auf der Konstanz der Lihtgeshwindigkeit, sondern ist eine Folge der Lihtlaufzeit aufgrund ihres endlihen Wertes. Er spielt im Alltag keine Rolle. a) b) ) B Signale erzeugen Bilder. Kamera Kamera Kamera 5 Relatiitätstheorie Ø, Ø

7 Zeitdilatation und Längenkontraktion ermitteln Methoden Zeitdilatation Eine Lihtuhr ruht im Inertialsystem S. Sie bewegt sih mit der Geshwindigkeit gegenüber einem Inertialsystem S an Uhren orbei, die in S ruhen und synhronisiert sind. Wenn die Uhr den Ort x = passiert, soll in beiden Uhren das Lihtsignal am unteren Spiegel starten (OB ). Ein zum System S gehörender Beobahter wird feststellen, dass das Liht nah jeweils ð t reflektiert wird, denn es gilt: ð t = d = d ð t = d da die Längen senkreht zur Bewegungsrihtung als gleih gemessen werden. Der gleihe Vorgang wird on einem Beobahter aus dem System S anders beurteilt. Für ihn hat sih die Lihtuhr um die Streke ð t nah rehts bewegt und das Lihtsignal hat die Streke ð t zurükgelegt. Im System S besteht der Zusammenhang: ( ð t) = d + ( ð t) Mit d = ð t wird daraus: ( ð t) = ( ð t ) + ( ð t) ; es folgt: ð t ð t = = ð t wobei = > gilt. Die synhronisierten Uhren in S zeigen für die Zeitspanne zwishen zwei Reflexionen des Lihtsignals in der Uhr on S eine größere Zeitspanne an. Die bewegte Uhr wird demnah als langsamer gehend beobahtet. Dieser Effekt der Zeitdilatation ist symmetrish. Der Beobahter in S würde seinerseits eine Uhr in S als lang samer laufend beobahten. A liest, wenn seine Uhr s anzeigt, auf der orbeikommenden Uhr on B eine kürzere Zeit ab, der Wert ist gemäß Zeitdilatation / (OB). Multiplikation mit, d. h. Streken on OP mit dem Faktor, liefert die auf der t-ahse on B. In Einheiten on A ist also O B = OP = + Die Lihtsekunde auf der Ortsahse hat die gleihe Länge, weil die Weltlinie on Lihtsignalen die Winkelhalbierende ist. S y S' y' t' = t = Längenkontraktion Grafik B zeigt die Weltlinien zweier Enden eines Stabes. Die Länge Ls ergibt sih als Differenz der Ortskoordinaten. Es spielt keine Rolle, wann diese ermittelt werden, sie ändern sih mit der Zeit niht. Man ereinbart: Die Länge eines bewegten Stabes ist die Differenz der Ortskoordinaten der Stabenden zum gleihen Zeitpunkt. Für den Beobahter B bewegt sih der Stab. Jetzt ergeben die gleihzeitig ermittelten Ortskoordinaten eine kleinere Differenz als. Zum gleihen Ergebnis führt die Betrahtung eines Stabes, der bezüglih B ruht. Ein Körper mit der Ruhelänge l hat in einem System, in dem er sih mit der Geshwindigkeit parallel zu seiner Ausdehnung bewegt, die erkürzte Länge l = l x A in Ls d' = d d B Zum Zeittakt einer bewegten Lihtuhr Dieser Effekt ist die Längenkontraktion. Q Eine mit S' bewegte Lihtuhr ruhende Lihtuhren in S Q' x B in Ls B Längenkontraktion im Minkowski-Diagramm t B in s P t A in s 5 S' y' t' < ns t = ns ðt x = ðt d' = ðt' t' = ns t > ns O S' y' x A in Ls OP x B in Ls x' x t A in s Grün: Weltlinien des im System A ruhenden Stabes. P, Q und Q sind Ereignisse, die die Stabenden betreffen. System A: P und Q sind gleihzeitig, die Stablänge ist. System B: P und Q sind gleihzeitig, die Stablänge ist kleiner als. P t B in s B Zeitdilatation im Minkowski-Diagramm Relatiitätstheorie 5

8 Relatiistishe Masse, Energie und Impuls Wird ein Körper aus einer Ruhelage mit konstanter Kraft F beshleunigt, dann nehmen seine Geshwindigkeit und sein Impuls p ständig zu. In der Newton shen Mehanik kann ein Körper auf diese Weise beliebig shnell werden, in der Speziellen Relatiitätstheorie kann aber kein Körper die Lihtgeshwindigkeit übershreiten. º V Beim Comptoneffekt stoßen Photonen auf ruhende Elektronen. Die Elektronen werden fast auf Lihtgeshwindigkeit beshleunigt, der Impulserhaltungssatz gilt (OB ). º V Messungen in Beshleunigern zeigen, dass die Beshleunigung on Elektronen bei hohen Spannungen niht mehr der klassishen Formel F = e E = m e a folgt. Danah müssten Elektronen durh eine Spannung on 56 kv so stark beshleunigt werden, dass sie die Lihtgeshwindigkeit erreihen (OB ). Die Messungen zeigen, dass diese bei keiner noh so hohen Spannung erreiht wird. Shnelle Elektronen der b-strahlung beshreiben im Magnetfeld Kreisbahnen, deren Radius größer ist als es die klassishe Formel r = m e B erwarten lässt (gl. S. ). p Photon p Elektron = O p Photon p Elektron p Photon in 8 m/s 7 klassish 6 5 relatiistish U in 6 V,,,,6,8,,, B Impulserhaltung beim Comptoneffekt B Beshleunigung on Elektronen Tempolimit Lihtgeshwindigkeit Wird ein Körper aus seiner Ruhelage durh dauernde Vergrößerung seiner kinetishen Energie beshleunigt, dann nehmen seine Geshwindigkeit und sein Impuls ständig zu. In der klassishen Mehanik kann ein Körper auf diese Weise beliebig shnell werden, der Geshwindigkeit ist keine Grenze gesetzt. Beshleunigt man jedoh Elektronen in einem starken elektrishen Feld, so kann sie auh eine noh so hohe Beshleunigungsspannung niht auf Geshwindigkeiten jenseits der Lihtgeshwindigkeit bringen. Es ist auh niht möglih, körperlose Informationen mit höheren Geshwindigkeiten zu übertragen. In der Speziellen Relatiitätstheorie ist die höhstmöglihe Geshwindigkeit eines Körpers oder Signals die Liht geshwindigkeit!» Kein Körper und kein Signal kann die Lihtgeshwindigkeit übershreiten. Die Erhaltung on Impuls und Energie ermögliht in der Mehanik die Vorhersage on Bewegungen. Wie können trotz der Geshwindigkeitsgrenze on km/s diese Erhaltungssätze ihre Gültigkeit behalten? Einstein ging daon aus, dass ein Untershied zwishen Ruhemasse m und bewegter (träger) Masse m eines Objektes besteht und sih bei Bewegung auh die Masse ändert. Hierzu hinterfragte er die Natur der Eigenshaft Masse an sih.» Die träge Masse eines Körpers, der sih mit der Geshwindigkeit bewegt, ist größer als die Ruhemasse des Körpers. Die berühmte Gleihung E = m wurde on ihm 95 in seiner Arbeit Ist die Trägheit eines Körpers on seinem Energieinhalt abhängig? hergeleitet. Einstein nahm hierbei nämlih weiter an, dass Energie und Masse zwei Ersheinungsformen derselben Eigenshaft sind, die über obige Gleihung miteinander erknüpft sind.» Energie und Masse eines Körpers sind äquialent: E = m 5 Relatiitätstheorie

9 Masse besitzen bedeutet also gleihzeitig Energie besitzen und umgekehrt. Vereinfaht kann man sagen, dass Energie und Masse ineinander umwandelbar sind. Wird der Energiegehalt eines Körpers beim Beshleunigen also durh Energiezufuhr erhöht, ergrößert sih dadurh auh seine Masse. Je näher der Körper der Lihtgeshwindigkeit kommt, umso mehr steigt seine Masse (OB). Um ihn auf Lihtgeshwindigkeit zu beshleunigen, wäre rehnerish eine unendlih große Energiezufuhr onnöten, die Lihtgeshwindigkeit stellt also einen unerreihbaren Grenzwert dar. m/m = in 8 m/s,,5,,5,,5, B Verhältnis on träger Masse zur Ruhemasse Experimente mit Beshleunigern für Elementarteilhen bestätigen die Zunahme der Trägheit: Die Erhöhung der Geshwindigkeit on,5 auf,8 erfordert dieselbe Energie wie die Erhöhung on,9 auf,9. Relatiistishe Erhaltungsgrößen Sollen die Erhaltungssätze der Mehanik zu Impuls und Energie auh bei hohen Geshwindigkeiten gelten, dann müssen die Vorstellungen über Masse und Energie entsprehend der Einstein shen Theorie geändert werden. Die Gleihung E = m kann am Beispiel der Paarernihtung eines Elektrons und eines Positrons (OB) nahollzogen werden. Dabei werden zwei Pho tonen frei, die für einen Beobahter im Ruhesystem S der Teilhen aufgrund der Impulserhaltung gleih große, aber entgegengerihtete Impulse haben und daher gleihe Energiemengen E = h f = p Der Beobahter im System S, das sih mit der Geshwindigkeit gegen S bewegt, nimmt aufgrund des Dopplereffekts (OS.87) dagegen die beiden Photonen mit den untershiedlihen Frequenzen f + = + und f = wahr. Daher haben beide Photonen in S die Gesamtenergie E = h ( f + + f ) = h f = E Nun besteht aber für den Beobahter in S or der Vernihtung der Untershied zum System S alleine darin, dass sih beide Teilhen zusätzlih mit der Geshwindigkeit bewegen. Daher führt er den Untershied zwishen E und E ausshließlih auf kinetishe Energie zurük: E E = E kin und berehnet für sih E kin = E ( ) E ( + + ) Für kleine Geshwindigkeiten sind alle weiteren Terme gegenüber dem ersten ernahlässigbar; es ergibt sih dann die kinetishe Energie der Newton shen Mehanik, nämlih E kin = m. Daher shließt Einstein, dass die träge Masse im System S durh m = E/ bestimmt wird. Die Form der Energie ist dabei gleihgültig. Insbesondere muss jedes Teilhen in Ruhe, dem man ansonsten keine Energie zushreiben würde, eine Energie E = m besitzen. Für Teilhen mit der Geshwindigkeit folgt dann als Energie einshließlih der kinetishen Energie: E = m = m Daher ist niht nur die Energie im System S um den Faktor größer, sondern auh die träge Masse ist on abhängig: m () = E = m Die träge Masse eines Körpers mit der Geshwindigkeit ist um den Faktor größer als die Ruhemasse des Körpers. Für die Größen Energie und Impuls liefert die Theorie die Gleihung: ( E ) ( p ) = ( m ) Sie wird als Energie-Impuls-Beziehung bezeihnet und erallgemeinert die Beziehung E = p für Photonen auf Teilhen mit Ruhemasse. So folgt für den relatiistishen Impuls p = m = m () d. h., es gilt die Beziehung p = m, wobei jetzt m geshwindigkeits abhängig ist. Methoden S' B Paarernihtung. Das System S bewegt sih mit Geshwindigkeit parallel zu den Geshwindigkeiten der erzeugten Photonen. e S (E, p) (E, p) getroffenes Elektron Photon + e B Umgekehrter Vorgang der Paarernihtung: Erzeugung eines Elektrons e und eines Positrons + e durh ein Photon, das auf ein Elektron getroffen ist. Bemerkung: Photonen haben keine Ruhemasse und bewegen sih daher mit Lihtgeshwindigkeit. Ihre Energie hängt on der Frequenz ab. Relatiitätstheorie 5

10 Exkurs Transformationen y y' t z z' B Zur Galilei-Transformation: t = t = sei x = x = Hendrik Antoon Lorentz (85 98) Er hatte bereits or der Veröffentlihung on Einsteins Spezieller Relatiitätstheorie die Formeln zur Transformation bei elektromagnetishen Vorgängen entwikelt. Ein Auto, das mit u = km/h einen mit = 8 km/h fahren den Bus überholt, entfernt sih relati zum Bus mit der Differenz on km/h. Fahren sie sih entgegen, so geshieht dies mit der Summe, also mit 8 km/h. Diesen Werten für die Geshwindigkeit liegt die Galilei-Transformation zu Grunde. Die Transformation besteht aus Gleihungen, die die Ortskoordinaten und Zeitpunkte zwishen gegenseitig bewegten Bezugssystemen S und S umzurehnen ge statten (OB ): Vom System S in S om System S in S x = x t x = x + t y = y y = y t = t t = t Diese Gleihungen berüksihtigen Zeitdilatation und Längenkontraktion niht. Bei größeren Geshwindigkeiten weiht aber (/ ) merklih on ab, so dass die Transformationsgleihung für die x-koordinate, in der orkommt, geändert werden muss. Nah dem Relatiitätsprinzip müssen die Bewegungsgleihungen in allen Inertialsystemen physikalish gleih lauten. Nimmt man an, dass es einen Korrekturfaktor k gibt, der die S t S' x = t x' = t' P (x, y, z) P' (x', y', z') x x' x t > x' Untershiede in der Transformation zwishen den Systemen ausgleiht, so lauten die Gleihungen für die x-koordinaten: k x = x t bzw. k x = x + t Wird zur Zeit t = t = ein Lihtsignal bei x = x = in x-rihtung abgesandt, so hat es im System S den Weg x = t, im System S den Weg x = t zurükzulegen (OB). Setzt man diese Beziehungen in die orherigen Gleihungen ein, so erhält man: k t = t t k t = t + t k t = t ( ) k t = t ( ) Werden die gleihen Seiten miteinander mul tipliziert, so ergibt sih: k t t = t t ( ) k = (/ ) = / Damit gilt für Transformationen, die das Relatiitätsprinzip berüksihtigen: x = (x t) bzw. x = (x + t ) Wird die zweite Beziehung nah t aufgelöst und x durh die erste Beziehung ersetzt, so führt dies zu: t = ( x ( x t)) t = ( x (/ ) x t (/ ) ) t = x ( (/ ) ) x + t (/ ) t = t x/ (/ ) Die Beziehungen x t x = (/ ) sowie t = t x/ (/ ) heißen Lorentz-Transformationen. Ereignisse, die in einem System zur gleihen Zeit, aber an ershiedenen Orten stattfinden, finden in einem anderen Inertialsystem niht gleihzeitig statt.» Die Zeit hängt niht nur on der Geshwindigkeit des Systems, sondern auh om Ort des Ereignisses ab, für die sie bestimmt wird. B Zur Lorentz-Transformation 5 Relatiitätstheorie