Ist Zeit relativ? Posten Einleitung

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1 Posten 3 Ist Zeit relati? Sozialform: Bearbeitungszeit: Voraussetzung: Partnerarbeit 30 Minuten Posten 1 Einsteins Postulate 3.1 Einleitung Die Postulate on Einstein so kurz und erständlih sie auh zu sein sheinen führen in ihrer logishen Konsequenz zu überrashenden Folgen. Eine daon die sogenannte Zeitdilatation (Dilatation = Ausdehnung) soll in diesem Posten behandelt werden. Sie werden lernen, dass die Zeit niht für alle gleih shnell läuft. Sie werden dies mithilfe on theoretishen Überlegungen ableiten, sih mit einem Gedankenexperiment zu einem Astronauten auseinandersetzen und Sie werden ein experimentelles Beispiel dazu kennen lernen, welhes diese Vorraussagen bestätigt. Danah wird sih ermutlih Ihr Verständnis on Zeit geändert haben. 3. Arbeitsauftrag 1) Lesen Sie den ersten Text im Abshnitt 3.3 Die Lihtuhr durh und beantworten Sie die Frage 1. Die Bemerkungen sind jeweils der Vollständigkeit halber angeheftet und empfehlen sih für diejenigen, welhe ein tieferes Verständnis der Problematik erreihen möhten. Seite 1/6

2 ETH Zürih: Werkstatt E=m ) Lesen Sie die Abshnitte 3.4 Experimentelle Überprüfung und 3.5 Gedankenexperiment: Das Zwillingsparadoxon und bearbeiten Sie die Fragen und falls Sie gut in der Zeit liegen die Frage 3. 3) Lesen Sie den Abshnitt 3.6 Beispiel: Die Lebensdauer der Myonen durh und bearbeiten Sie Aufgabe 4. 4) Diskutieren Sie mit Ihrem Partner über Ihr Verständnis des Zeitbegriffs. 3.3 Die Lihtuhr Stellen Sie sih eine möglihst einfahe Lihtuhr or. Sie besteht aus einem Behälter mit Spiegeln an beiden Enden, sodass ein Lihtblitz immer hin und her geworfen wird. An einem Ende des Behälters befindet sih ein Zähler, der jedes Mal eine Einheit weiterzählt, wenn ein Lihtblitz dort ankommt. Ist die Länge des Zylinders beispielsweise l = 0.15 m, dann ist die Zeiteinheit der Uhr t0 = l / = 0.3m m / s = 10-9 s = 1 ns Abb. 1: Uhr C bewegt sih mit Geshwindigkeit an den ruhenden Uhren A und B orbei. Betrahtet man nun zwei in einem Inertialsystem ruhende Uhren A und B. Diese Uhren sollen synhronisiert sein, indem sie z. B. om Liht einer Blitzlampe in Gang gesetzt wurden, die genau in der Mitte zwishen den beiden Uhren gezündet wurde. Eine dritte Uhr C bewege sih nun relati zu A und B mit der Geshwindigkeit on links nah rehts. In Bezug auf die ruhenden Uhren läuft das Liht in der bewegten Uhr shräg auf und ab. Es legt daher einen längeren Weg als in den ruhenden Uhren zurük. Da aber laut Einsteins Postulaten die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum immer beträgt, wird die Periode der bewegten Uhr für den ruhenden Beobahter aufgrund des längeren Weges länger. Diesen Effekt bezeihnet man als Zeitdilatation. Seite /6

3 ETH Zürih: Werkstatt E=m Abb. : Das Liht in der Uhr C muss einen längeren Weg zurüklegen und geht daher langsamer. Um die Zeitdilatation zu berehnen, muss man feststellen, welhe Beziehung zwishen der Zeitangabe t0 der bewegten Uhr und der Zeit t der ruhenden Uhren besteht. Läuft das Lihtsignal in der bewegten Uhr C einmal hinab, so zeigt C die Zeit t0 = l/ an. Vom Standpunkt der bewegten Uhr C hat das Lihtsignal ja lediglih die Zylinderlänge l zurükgelegt. Vom Standpunkt der ruhenden Uhren A und B dagegen hat das Lihtsignal einen wesentlih längeren Weg zurükgelegt und dazu die Zeit t benötigt, die wir mit Hilfe der Abbildung berehnen können. Aus dem Pythagoreishen Lehrsatz folgt nämlih l² + (t)² = (t)² Setzt man für l die Streke, die das Liht zurüklegt, also l = t0 ein, so ergibt das (t0)² + (t)² = (t)² Auflösen nah t ergibt: t0 1 t : t0 (mit Relatiitä tsfaktor ) Da für >0 immer < 1 gilt, so folgt daraus: t0 < t Im Bezugssystem der Uhren A und B geht die bewegte Uhr C also langsamer als die ruhenden. Bemerkung: Es ist dabei tatsählih notwendig, on mindestens zwei ruhenden Uhren auszugehen. Zunähst fliegt nämlih Uhr C an der ruhenden Uhr A orbei, wobei beide auf Null gestellt werden sollen, t = t0 = 0. Da sih C weiterbewegt, kann diese Uhr später niht wieder mit A erglihen werden, sondern nur mit der zweiten ruhenden Uhr B. Dabei muss B mit A synhronisiert sein, um den Zeitergleih zwishen der Angabe t0 der bewegten Uhr C und der Anzeige t on B sinnoll zu mahen. Seite 3/6

4 ETH Zürih: Werkstatt E=m Bei der Zeitdilatation handelt es sih niht um eine Art sheinbaren Effekt oder eine Täushung - es sind hier die tatsählihen Zeiten betroffen, wie sie mit (hinreihend genauen) Uhren beliebiger Bauart gemessen werden können. Die Zeitdauer, die ein Prozess in Anspruh nimmt, ist keine unierselle Größe, sondern hängt om Bewegungszustand des Beobahters ab. Die Zeit hat ihren absoluten Charakter - den sie in der klassishen Physik hatte - erloren. Bemerkung: Im Zuge unserer Argumentation haben wir stillshweigend orausgesetzt, dass der Abstand zwishen den Spiegeln in beiden Systemen gleih groß ist. Sie werden im Posten 5 feststellen, dass niht nur Zeitinteralle, sondern auh räumlihe Abstände om Bewegungszustand des Beobahters abhängen. Allerdings betrifft dieser Effekt nur Längen in die relatie Bewegungsrihtung der beiden Systeme. Wir haben, mit anderen Worten, stillshweigend orausgesetzt, dass Längen quer zur Bewegungsrihtung in beiden Systemen gleih groß sind. Der entsprehende Beweis wird in Posten 5 nahgeholt. Zusammenfassung: Bewegt sih eine Uhr an einem Satz synhronisierter Uhren orbei, der in einem Inertialsystem ruht, so geht sie im Vergleih zu diesen Uhren langsamer. Eine bewegte Uhr geht langsamer. Zeigt die bewegte Uhr die Zeit t0 und der ruhende Uhrensatz die Zeit t an, so gilt der Zusammenhang (: Geshwindigkeit der bewegten Uhr, : Lihtgeshwindigkeit im Vakuum): t0 1 t : t0 (mit Relatiitä tsfaktor ) Aufgabe 1: Bewegt sih eine Uhr mit der Geshwindigkeit an einem Uhrensatz orbei, welher in einem Inertialsystem ruht, so geht sie langsamer als diese Uhren. Nähert sih die Geshwindigkeit der Uhr der Lihtgeshwindigkeit, so erlangsamt sih ihr Gang immer mehr. a) Wenn bei einer ruhenden Uhr eine Stunde ergeht, wie iele Minuten ergehen in einer Uhr, die sih gegenüber den ruhenden Uhren mit der Hälfte der Lihtgeshwindigkeit bewegt? b) Mit welher Geshwindigkeit muss sih die Uhr bewegen, damit sie halb so shnell läuft wie die ruhende? ) (freiwillig) Welhen Wert nimmt t0 für Überlihtgeshwindigkeiten (beispielsweise = ) an? Wie interpretieren Sie dieses Resultat? Seite 4/6

5 ETH Zürih: Werkstatt E=m 3.4 Experimentelle Überprüfung 1971 sind mit den Physiker Hafele und Keating zwei Atomuhren an Bord einer Boeing 747 mit einer durhshnittlihen Geshwindigkeit on 900 Kilometer pro Stunde um den Erdball geflogen. Man hatte sie zuor mit zwei Atomuhren am Boden synhronisiert. Nah der Landung hatten die beiden bewegten Uhren tatsählih einen Ganguntershied on einigen Nanosekunden (10-9 s) zu den ruhenden Uhren. Obwohl dieser sehr gering ist, liegt er deutlih über der Messgenauigkeit on damaligen Atomuhren. 3.5 Gedankenexperiment: Das Zwillingsparadoxon Stellen Sie sih zwei Zwillinge or. Der eine bleibe auf der Erde und der andere sei ein Raumfahrer, der auf einen Weltraumflug mit der Geshwindigkeit = 0.8 geshikt wird. Nah den bisherigen Erkenntnissen ergeht die Zeit für den Astronauten langsamer. Wenn er on seinem Raumflug zurükkommt, ist er weniger gealtert als sein Zwillingsbruder auf der Erde. Aufgabe : Zum Zeitpunkt der Abreise sind die Zwillinge 5 Jahre alt. Berehnen Sie das Alter des Astronauten, wenn sein Zwillingsbruder auf der Erde seinen 50. Geburtstag feiert. Aufgabe 3 (freiwillig): Wie weit hat sih der Astronaut während seiner Reise on der Erde entfernt? (Bemerkung: Für ihn ist aber nur die Zeit ergangen, welhe Sie in Aufgabe berehnet haben. Ist er jetzt mit Überlihtgeshwindigkeit unterwegs gewesen? Mahen Sie sih niht zu iele Gedanken. Die Antwort finden Sie im Posten 5 und bedarf einer etwas genaueren Analyse.) Bemerkung: Warum handelt es sih hier um ein Paradoxon? Nun, man könnte argumentieren wie die frühen Kritiker der Relatiitätstheorie, dass gemäß dem Relatiitätsprinzip für den Astronauten sein Bruder auf der Erde sih mit = 0.8 bewegt. Demnah müsste dieser weniger altern. Über dieses Problem sind sogar shon Büher geshrieben worden. Es lässt sih jedoh zeigen, dass der Raumfahrer durh seine Rükkehr abgebremst und beshleunigt wird und das Raumshiff mit welhem er unterwegs ist, daher kein Inertialsystem darstellt. Seite 5/6

6 ETH Zürih: Werkstatt E=m 3.6 Beispiel: Die Lebensdauer der Myonen Myonen sind elektronenähnlihe Elementarteilhen, die aber instabil sind und nur für kurze Zeit existieren, beor sie wieder zerfallen. Sie entstehen durh Wehselwirkungen on kosmisher Strahlung mit Protonen in den oberen Shihten der Erdatmosphäre (1-15 km Höhe). Entstehen z. B. zum Zeitpunkt t = 0 insgesamt Myonen, so findet man zur Zeit t = 1 µs nunmehr 635 daon or, nah 1,5 µs nur noh 500, also die Hälfte. Man bezeihnet daher t1/ = 1,5 µs als die Halbwertszeit der Myonen. Der Zerfall genügt einem Exponentialgesetz, wie dies auh für den radioaktien Zerfall manher hemisher Elemente der Fall ist. Nah 1.5 µs = 3.04 µs sind noh 1000 (½) = 50, nah µs = 4.56 µs noh 1000 (½) 3 = 15 Myonen zu finden. Nehmen wir an, die Myonen würden mit einer Geshwindigkeit on auf die Erde fallen, so benötigen sie für einen ruhenden Beobahter auf der Erde: t = l / = 1 km / km/s = 40 µs Nah 40 µs existieren aber nah der Berehnung der Lebensdauer nur noh n = n0 (½) 40/1.5 = n , also nur noh ein winziger Bruhteil. Auf der Erde hingegen wird immer noh rund die Hälfte der anfänglihen Myonen gemessen. Wie lässt sih das erklären? Die Aufklärung gibt die Zeitdilatation. Die bewegten Myonen kann man als Uhren ansehen. Bei einer tatsählihen Geshwindigkeit on ist wegen der Zeitdilatation ihr Zerfall enorm erlangsamt, und die Halbwertszeit der bewegten Myonen ergrössert sih für den ruhenden Beobahter. Aufgabe 4: Berehnen Sie die Halbwertszeit der Myonen für den ruhenden Beobahter, wenn sih die Myonen mit der Geshwindigkeit = bewegen. Damit ist in der Teilhenphysik ein experimenteller Nahweis für die Zeitdilatation gefunden worden. Aufgabe 5 (freiwillig): Denken Sie über Ihr Verständnis der Zeit nah. Hat sih dieses in der letzten halben Stunde für Sie geändert? Diskutieren Sie mit Ihrem Gruppenpartner, resp. Ihrer Gruppenpartnerin. Seite 6/6