Kosmologie (WPF Vertiefungsrichtung) Blatt 3

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1 Prof. Dr. K. Kassner Kosmologie (WPF Vertiefungsrihtung) Blatt 3 SS Uran-Blei-Datierung 7 Pkt. In dieser Aufgabe wollen wir einige Überlegungen anstellen, wie man mithilfe der bekannten Gesetzmäßigkeiten des radioaktien Zerfalls aus dem gemessenen Gehalt bestimmter Isotope in Gesteinen deren Alter bestimmen kann. Für diese Altersbestimmung interessant sind, wie wir im Einzelnen sehen werden, die Zerfallsreihen der beiden Uran-Isotope 235 U und 238 U Uran-Atinium-Reihe: 235 U 207 Pb ; Halbwertszeit: τ 235 = a Uran-Radium-Reihe: 238 U 206 Pb ; Halbwertszeit: τ 238 = a Das stabilste und häufigste Blei-Isotop ist 208 Pb (es hat einen doppelt magishen Kern), aber auh 206 Pb und 207 Pb sind stabil. Folgende Erkenntnisse dienen als Rihtshnur bei der Entwiklung einer Methode: Die Isotopenerhältnisse eines festen Elements in einer Probe können iel genauer bestimmt werden als Isotopenerhältnisse ershiedener Elemente. Das Uran im Sonnensystem stammt mit Ausnahme des in der Neuzeit on Menshen erzeugten aus der Zeit or der Entstehung des Planetensystems. Wenigstens gilt dies für die zwei betrahteten Isotope 235 U und 238 U. Sie wurden ursprünglih in einer Supernoa (oder mehreren) erzeugt. Natürlihe Prozesse produzieren seit der Entstehung der Sonne diese Isotope praktish niht mehr, weil die Halbwertszeit aller noh shwereren Elemente (wie Plutonium), die in die betreffenden Isotope zerfallen könnten, so kurz sind, dass es sie nah ein paar Millionen Jahren niht mehr in substanzieller Menge gab. (Einzig das Isotop 234 U wurde und wird weiter produziert, weil es durh Zerfall on 238 U entsteht.) Die Häufigkeit der beiden Uranisotope ist in ershiedenen Gegenden der Erde ershieden, sie kommen natürlih in Uranerz häufiger or als in anderen Gesteinen. Aber das Verhältnis ihrer Häufigkeiten ist auf der Erde (und im ganzen Sonnensystem) homogen; dies ist das aktuelle Isotopenerhältnis in allen Gesteinsarten auf der Erde! Bei einem durh die Gegebenheiten im solaren Urnebel bestimmten anfänglihen Isotopenerhältnis ist das später orliegende Häufigkeitserhältnis nur eine Funktion der seither erstrihenen Zeit, solange weder Prozesse auftreten, die neues Uran erzeugen, noh solhe, die die beiden Isotope oneinander trennen (was hemishe Prozesse gar niht und physikalishe nur sehr ineffizient tun). Es folgt dann allein aus den Halbwertszeiten der Isotope, der erstrihenen Zeit und dem Anfangsquotienten. Das Isotopenerhältnis 238 U/ 235 U ist unsere Uhr, mit der wir Zeiten messen können. Darauf basiert die ganze Datierungsmethode, mit der Eigentümlihkeit, dass wir den gegenwärtigen Zeigerstand der Uhr kennen, niht aber den des früheren Zeitpunkts, den wir ermitteln wollen. Für die Verhältnisse stabiler Isotope bei niedrigeren Ordnungszahlen gelten etwas andere Gesetzmäßigkeiten. Sind beide Isotope niht Teil (also Endpunkt) einer radioaktien Zerfallsreihe, so entstehen sie niht neu, ihr Verhältnis bleibt also über die Zeit konstant. Das gilt zumindest für diejenigen Isotopenpaare, deren relatier Massenuntershied klein ist. Chemish untersheiden sih Isotope niht, also müssen trennende Prozesse physikalisher Natur sein. Der releante physikalishe Untershied ist aber der Massenuntershied der Atome. Beim Wasserstoff ist der groß; shweres Wasser hat eine Dihte on g/m 3, könnte sih also in natürlihen Strömungen gegenüber normalem Wasser ab- oder anreihern. Aber bei Massenzahlen jenseits on 100 sind die physikalishe Prozesse, die Isotope trennen, rar und ineffizient, wie oben shon bemerkt. Kann mindestens eines on zwei stabilen Isotopen durh radioak- Abgabe:

2 tien Zerfall entstehen, dann ist das Isotopenerhältnis prinzipiell ariabel. Es hängt aber anders als das Verhältnis niht nahgebildeter zerfallender Isotope niht nur on der Zeit ab. Nehmen wir zur Vereinfahung der Diskussion an, dass beide Isotope aus Zerfallsreihen entstehen, wie es in unserer Aufgabe für 207 Pb und 206 Pb ja der Fall ist. Dann sind an der Bildung on beiden normalerweise ershiedene hemishe Elemente beteiligt. Die Bildungsraten hängen daon ab, in welher Menge diese Elemente zur Verfügung gestellt werden, und da können hemishe Prozesse Einfluss nehmen. Nun ist das Anfangselement der Zerfallsreihe zwar hier in beiden Fällen Uran, aber die Reihe geht über mehrere Zwishenstufen, die niht der gleihen Elementsequenz entsprehen. Das deuten auh die Namen Uran-Atinium-Reihe für 235 U 207 Pb und Uran-Radium-Reihe für 238 U 206 Pb an. Dass wir trotz ieler Zwishenshritte mit einer einzigen Halbwertszeit rehnen dürfen, liegt daran, dass die Halbwertszeit des ersten Zerfalls in beiden Reihen die Gesamtzeit dominiert. Die Isotopenerhältnisse, wie sie bei der Entstehung alter Gesteine herrshten, sind niht unbedingt bekannt. Aber sie sind für stabile Isotope bei gleiher Entstehungsart (z.b. Meteoritengestein im solaren Urnebel) gleih das ist eine Homogenitätsannahme. (Für die Uranisotope kann sie natürlih niht gemaht werden, denn da ist das Isotopenerhältnis ja eine Funktion der Zeit.) Bezeihnen wir die gegenwärtige Zeit mit t g, die Bildungszeit des zu untersuhenden Gesteins mit t 0 und setzen t = t g t 0, so gilt, wenn wir Häufigkeiten eines Isotops mit dessen Namen und einer Zeitkennzeihnung darstellen, offensihtlih: 235 U 235 U(t g ) = 235 U 0 2 t/τ 235 ( ) 207 Pb = 235 U U = 235 U 2 t/τ R Pb 204 Pb = 207 Pb Pb Pb 204 Pb Eine Häufigkeit ohne Index bezieht sih also auf die Gegenwart, eine mit Index 0 auf die Bildungszeit. 207 Pb ist die Differenz zwishen der gegenwärtigen und der zur Zeit t 0 existierenden Menge an 207 Pb. Analoge Beziehungen gelten für den Zerfall on 238 U, und die entsprehende relatie Häufigkeit on 206 Pb bezeihnen wir mit R Pb, dessen Häufigkeit im Nenner steht, ist zwar kein stabiles Bleiisotop. Aber seine Halbwertszeit ist größer als a, d.h., es zerfällt mehr als 10 7 mal langsamer als die beiden Uranisotope. Auf der Zeitskala der gegenwärtigen Lebensdauer des Uniersums kann die in einer Probe durh Zerfall abhanden kommende Menge an 204 Pb guten Gewissens ernahlässigt werden, es ist also nahezu stabil. Zum anderen gibt es keine Zerfallsreihe, die 204 Pb liefert. Damit nimmt die Häufigkeit on 204 Pb in einem Gestein nah dessen Entstehung auh niht mehr zu. Es gilt also in extrem guter Näherung 204 Pb = 204 Pb 0. Hingegen gibt es eine Zerfallsreihe, die auf 208 Pb führt ( 232 Th 208 Pb mit einer Halbwertszeit on a). Deshalb ist es niht günstig, in der Definition on R 1 und R 2 in den Nenner die Menge an 208 Pb zu shreiben. Messen können wir im Prinzip alle gegenwärtigen Größen, unbekannt sind alle Größen mit Index 0, also 235 U 0 und 238 U 0, aber auh die zur Gesteinsbildungszeit bereits orhandenen Häufigkeiten der stabilen Isotope 206 Pb 0 und 207 Pb 0. Misst man jedoh R i (A) und R i (B), i = 1, 2 für zwei or ershiedenen Zeiten t A und t B entstandene Gesteine derselben Art, so kann man 206 Pb 0 und 207 Pb 0 eliminieren (die sind für beide Gesteinssorten gemäß der obigen Homogenitätsannahme dieselben). Abgabe:

3 () Führen Sie diese Elimination durh, d.h. entwikeln Sie eine Formel für q AB (R 1 (A) R 1 (B))/(R 2 (A) R 2 (B)). Grundsätzlih bräuhten wir den Nenner 204 Pb in der Definition on R 1/2 niht, denn wir interessieren uns nur für das Verhältnis q AB, aus dem wir (bei niht zu untershiedlihen Zeiten t A und t B ) auf das Verhältnis der Uranisotope zur Entstehungszeit der Gesteine shließen können. Da wir jedoh dieses Verhältnis niht in einer Gesteinsprobe messen können, müssten wir ohne ein drittes Bleiisotop zur Ermittlung der Differenzen R 1 (A) R 1 (B) bzw. R 2 (A) R 2 (B) die Absolutwerte on 207 Pb und 206 Pb in beiden Proben messen, was sehr iel ungenauer ist als die Messung on Isotopenerhältnissen per Massenspektrometrie. Nehmen Sie im Weiteren explizit an, dass t A t B τ 235, τ 238 und lösen Sie nah t A (oder t B ) auf. Berehnen Sie das ungefähre Alter zweier Gesteinsproben, in denen die gemessenen relatien Häufigkeiten on 207 Pb und 206 Pb die Werte R 1 (A) = , R 2 (A) = sowie R 1 (B) = , R 2 (B) = haben. Außerdem ist bekannt, dass das gegenwärtige Verhältnis der beiden Uran-Isotope 238 U/ 235 U= ist. (3 Pkt.) 7. Wigner Rotation 8 Pkt. Die Lorentz-Transformation für einen Viererektor on einem Bezugssystem Σ in ein mit der Geshwindigkeit relati zu diesem bewegtem Bezugssystem Σ lautet: γ γ x γ y γ z γ x ˆL() = 1+ 2 x x y x z γ y y x 1+ 2 y y z, γ z z x z y 1+ 2 z wobei γ der Lorentzfaktor γ = 1 ( 1 ( ) = x + y + z ist. Wir betrahten zwei relati zueinander bewegte Objekte A und B. Zu Beginn betrahten wir die Situation on einem Koordinatensystem Σ aus, in dem das Objekt A ruht. Das Objekt B habe in Σ die Geshwindigkeit 3 b = 8 ( ) e x + e y ), Wir wollen im Folgenden zwei Möglihkeiten, om Ruhsystem des Objektes A in ein Ruhsystem on B zu wehseln, ergleihen. Hinweis: Die Vierergeshwindigkeit u eines Objektes mit der Geshwindigkeit ist. u = 1 1 ( ) (, x, y, z ) T Führen Sie als erstes eine Lorentztransformation in ein System Σ durh, welhes sih relati zu Σ mit der Geshwindigkeit b,x, also der x-komponente der Geshwindigkeit on Objekt B in Σ, bewegt. Bestimmen Sie die Geshwindigkeiten a des Objekts A in Σ und b in Σ. Das Objekt B sollte nun nur noh eine Geshwindigkeitskomponente in y Rihtung besitzen. Abgabe:

4 () (d) Führen Sie nun eine Transformation om System Σ in ein System Σ durh, welhes sih mit der Geshwindigkeit b relati zu Σ bewegt. Berehnen Sie die Geshwindigkeiten der Objekte a und b. Natürlih sollte b nun ershwinden, es kann aber niht shaden, das explizit nahzurehnen. Vergleihen Sie a mit b bzgl. Betrag und Rihtung. Führen Sie nun direkt die Lorentztransformation L( B ) on System Σ zu einem System ˆΣ durh, berehnen Sie wieder die Geshwindigkeit beider Objekte ˆ a und ˆ b. Vergleihen Sie ˆ a mit b bzgl. Betrag und Rihtung. Vergleihen Sie nun die Geshwindigkeitsektoren ˆ a und a on Objekt A in den beiden Ruhesystemen Σ und ˆΣ on B. Wenn Sie rihtig gerehnet haben, sind beide Vektoren om Betrag her gleih, untersheiden sih jedoh in der Rihtung. Da die Geshwindigkeit des Objektes A eine physikalishe Größe ist, bedeutet dies, dass die Koordinatensysteme ˆΣ und Σ gegeneinander gedreht sind. Berehnen Sie den Drehwinkel! Was bedeutet das physikalish für eine Rakete, die erst sehr kurzer Zeit in x Rihtung beshleunigt wird und danah sehr kurzer Zeit in y Rihtung beshleunigt wird und letztlih die Geshwindigkeit b erreiht, erglihen mit einer Rakete die direkt in Rihtung b auf eben diese Geshwindigkeit beshleunigt wird? 8. Riemannshe Geometrie auf der Kugeloberflähe 9 Pkt. Das zentrale Objekt der riemannshen Geometrie, das es erlaubt, geometrishe Verhältnisse rehnerish zu bestimmen, ist der metrishe Tensor g ik. Ein Längenelement ds ist bei bekanntem metrishem Tensor und zugehörigen Koordinaten x i gegeben durh ds 2 = g ik dx i dx k, (8.1) wobei gemäß der Einsteinshen Summenkonention über Paare koarianter (unten stehender) und kontraarianter (oben stehender) Indizes zu summieren ist. (Die Anzahl der Summanden ist gleih der Dimension des betrahteten Raumes.) Der zu g ik inerse Tensor ist g ik, d.h. es gilt: g ij g jk = δ i k. (8.2) Das Zeihen auf der rehten Seite ist das Kronekersymbol ( ). Aus dem metrishen Tensor lassen sih die Christoffelsymbole (zweiter Art) oder Zusammenhangskoeffizienten gemäß g ) kl x m (8.3) Γ i kl = 1 2 gim ( gmk x l + g ml x k berehnen. Die stellen selbst keine Tensorkomponenten dar, sind aber nützlih zur Berehnung des Riemannshen Krümmungstensors R i klm = Γi km x l Γi kl x m + Γn km Γi nl Γn kl Γi nm, (8.4) der eine geometrishe Größe ist. Vershwindet er in einem Koordinatensystem, so tut er es in allen (und der durh ihn beshriebene Raum hat keine Krümmung). Weiter definiert man den Rii-Tensor als eine Verjüngung des Riemann-Tensors, R kl = R i kli, (8.5) und den Krümmungsskalar R = R i i = gik R ki. (8.6) Abgabe:

5 Auf der Oberflähe einer Kugel mit Radius a ist das Linienelement gegeben durh ds 2 = a 2( dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2). (8.7) () Bestimmen Sie den metrishen Tensor in Kugelkoordinaten (seine Elemente sind g ϑϑ, g ϑϕ = g ϕϑ und g ϕϕ ) und sein Inerses, d.h., seine kontraarianten Komponenten. Berehnen Sie die aht möglihen Christoffelsymbole. Berehnen Sie den Rii-Tensor und den Krümmungsskalar. Wie hängt letzterer mit der gaußshen Krümmung der Kugeloberflähe zusammen? Anmerkung: In der Literatur findet man im Vorzeihen abweihende Definitionen für die Christoffelsymbole und/oder den Riemanntensor (sowie daon abgeleitete Größen). (3 Pkt.) (4 Pkt.) Es sind insgesamt 24 Punkte zu erreihen. Die Lösungen der Aufgaben sind zum unten genannten Termin abzugeben.. Abgabe: