Wellengleichung Für die Fourier-transformierten Felder lauten die Maxwell-Gleichungen (XI.1) in Abwesenheit von externen Ladungsträgern

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1 XII.2.4 Dispersion und Absorption Der Einfahheit halber wird im Weiteren nur der Fall eines homogenen isotropen Mediums diskutiert. Dieses wird durh eine dielektrishe Funktion ɛ() harakterisiert, sowie durh eine frequenzabhängige Permeabilität µ(). 56 XII.2.4 a Wellengleihung Für die Fourier-transformierten Felder lauten die Maxwell-Gleihungen (XI.1) in Abwesenheit von externen Ladungsträgern E(, r) = 0, (XII.13a) H(, r) = 0, (XII.13b) E(, r) iµ() H(, r) = 0, H(, r) + iɛ() E(, r) = 0, (XII.13) (XII.13d) wobei die konstitutiven Gleihungen shon benutzt wurden, um die Flussdihten D(, r) und B(, r) durh die Feldstärken zu ersetzen. Die Summe von ɛ() mal der Rotation der Gl. (XII.13) und dem Produkt der Gl. (XII.13d) mit iµ() gibt, unter Berüksihtigung der Gl. (XII.13a) E(, r) + 2 µ()ɛ() E(, r) = 0, (XII.14a) während H(, r) einer analogen Gleihung genügt H(, r) + 2 µ()ɛ() H(, r) = 0. (XII.14b) Eine solhe partielle Differentialgleihung wird (homogene) Helmholtz-Gleihung genannt. Der Brehungsindex (auh als Brehzahl bezeihnet) n() ist definiert durh 57 n() 2 = [ n () + in () ] 2 = ɛr () µ r (), (XII.15) mit n (), n () reellwertigen Funktionen und ɛ r () bzw. µ r () der relativen dielektrishen Funktion bzw. Permeabilität. n () heißt Extinktionskoeffizient und das Verhältnis κ() = n ()/n () Absorptionsindex. Mit dem Brehungsindex lauten die Helmholtz-Gleihungen (XII.14) E(, r) + 2 n() 2 2 E(, r) = 0, H(, r) + 2 n() 2 2 H(, r) = 0. (XII.16) Bemerkung: Laut den Kramers Kronig-Beziehungen (XII.11) darf der Brehungsindex niht reell oder rein imaginär über den ganzen Frequenzraum sein. XII.2.4 b Lösung der Wellengleihung Um diese linearen Differentialgleihungen zu lösen, wird der Ansatz E(, r) = E 0 e i k() r = E 0 e i k r() r e k i () r (XII.17) und ein analoger Ansatz für H(, r) gemaht, mit einem komplexen frequenzabhängigen Wellenvektor k = k r + i k i. Mit diesem Ansatz lässt sih der Laplae-Operator durh k 2 ersetzen, so dass 56 In den meisten Materialen ist die Abhängigkeit der Permeabilität nah tatsählih vernahlässigbar in den Bereihen, wo ɛ() erheblih variiert, und umgekehrt. 57 Manhmal wird nur der Realteil n () als Brehungsindex bezeihnet. XII. Elektromagnetishe Wellen in Materie 121

2 die Gleihung (XII.16) eine Lösung nur dann haben kann, wenn die Bedingung erfüllt wird. Bemerkungen: k() 2 = 2 n() 2 2 (XII.18) Diese Bedingung maht die Notwendigkeit eines komplexen Wellenvektors deutlih: und sind reelle Größen, so dass ein komplexer Index n() von einem komplexen k() begleitet werden muss. Wegen des Imaginärteils des Wellenvektors ist das Feld niht periodish im Raum. Somit stellt der Ansatz (XII.17) keine ebene Welle dar. Im Allgemeinen sind Real- und Imaginärteil des komplexen Wellenvektors niht kollinear. Hiernah werden sie der Einfahheit halber als kollinear angenommen. Dann kann deren gemeinsame Rihtung als die Propagationsrihtung der Welle identifiziert werden. Sei k 0 () ein reeller Vektor mit dem Betrag k 0 () = /, und e k der zugehörige Einheitsvektor. Der komplexe Vektor k() ɛr ()µ r () k 0 () (XII.19) erfüllt dann die Bedingung (XII.18). Somit ist ein durh Gl. (XII.17) gegebenes Vektorfeld E(, r) mit beliebiger Amplitude E 0 und dem Wellenvektor k() Lösung der Helmholtz-Gleihung. Dazu muss E(, r) bzw. H(, r) noh der Maxwell Gauß- bzw. Maxwell Thomson-Gleihung genügen. 58 Dies gibt i k() E 0 = 0 bzw. i k() H 0 = 0, d.h. e k E 0 = 0 bzw. e k H 0 = 0. (XII.20) Das elektrishe und das magnetishe Feld sind also senkreht zur Propagationsrihtung: eine solhe Welle wird Transversalwelle genannt. Shließlih liefert Gl. (XII.13) die zusätzlihe Beziehung k() E 0 = µ() H 0, d.h. H0 ɛ() = µ() e k E 0. (XII.21) Somit sind die elektrishe und magnetishe Feldstärken orthogonal zueinander, und k(), E 0, H 0 bilden ein rehtshändiges System. Die physikalishen Felder sind reell. Mit n() = ɛ r () µ r () kommt E(t, r) = Re( E 0 e i[n () k 0 () r t] ) e n () k 0 () r, H(t, r) = Re( H0 e i[n () k 0 () r t] ) e n () k 0 () r, wobei die Realteile der Summe untershiedliher Fourier-Komponenten entsprehen. Dann ist der Betrag E H des Poynting-Vektors (XI.7) proportional zum Faktor e 2n () k 0 () r = e α() l, mit α() 2n () dem Absorptionskoeffizient und l = e k r dem Abstand in der Propagationsrihtung. (XII.22) 58 Tatsählih wird Gl. (XII.13a) bzw. (XII.13b) in der Herleitung der Helmholtz-Gleihung für E(, r) bzw. H(, r) vorausgesetzt. XII. Elektromagnetishe Wellen in Materie 122

3 XII.2.4 Dispersion Ist der Extinktionskoeffizient n () null, so stellt der Ansatz (XII.17) (mit dem zugehörigen magnetishen Feld) eine ebene Welle dar. Die Bedingung (XII.18) vereinfaht sih dann zur Relation k() 2 = 2 n () 2 / 2, worin jetzt nur reelle Größen auftreten. Die Lösung dieser Bedingung für liefert die Dispersionsrelation = ( k) = (k), wobei die letztere Identität aus der angenommenen Isotropie des Mediums kommt. Bemerkung: Konventionell werden die Kreiswellenzahl 59 k() = k() und die Kreisfrequenz als positiv angenommen. Im Rest dieses Paragraphs wird der Fall eines normalen Materials mit positivem Brehungsindex n () diskutiert. (Meta)Materiale mit negativer Brehzahl werden in Abshn. XII.2.5 a behandelt. Im Allgemeinen ist n () niht konstant, so dass (k) eine niht-lineare Funktion von k ist: somit ist die Phasengeshwindigkeit der Welle gerihtet entlang e k mit dem Betrag eff () = (k) (XII.23) k abhängig von der Frequenz. Infolgedessen ändert sih die Gestalt eines Wellenpakets, d.h. einer Überlagerung von ebenen Wellen untershiedliher Frequenzen, in dessen Ausbreitung: man spriht von Dispersionseffekten. Aus der oberen Definition und Gl. (XII.18) folgt eff () = ɛr ()µ r () = n (). (XII.24) Diese Phasengeshwindigkeit untersheidet sih von der Gruppengeshwindigkeit v g () = d(k) dk. (XII.25) Durh Differentiation der Beziehung k() = n ()/ kommt für die Letztere v g () = d[n ()]/d = n () + dn ()/d. (XII.26) Wenn die Ableitung dn ()/d negativ ist, spriht man von anomaler Dispersion. In einem solhen Bereih ist die Gruppengeshwindigkeit größer als die Phasengeshwindigkeit, und eventuell auh größer als, oder gar negativ. Dies passiert nur in der Nahbarshaft einer Resonanz, insbesondere für Kreisfrequenzen a < a + Γ a. Beispiele solher anomalen Verhalten werden hiernah gegeben. XII.2.4 d Absorption Wenn n () > 0 nimmt der Betrag des Poynting-Vektors mit der Weglänge im Medium ab, d.h. das elektromagnetishe Feld verliert Energie an die Materie. 60 In einem solhen Fall ist das Medium niht transparent. Der Imaginärteil der Brehzahl spiegelt den Imaginärteil der dielektrishen Funktion ɛ() oder der Permeabilität µ() wider. Damit ist n () insbesondere bedeutend in der Nahbarshaft einer Resonanz: man spriht von Bereihen mit resonanter Absorption. Bemerkung: Die Möglihkeit solher Energieübertragung wurde in Abshnitt XI.2 niht berüksihtigt, weshalb dort nur nihtdispersive Medien betrahtet wurden. XII.2.5 Phasen- und Gruppengeshwindigkeit Die Phasengeshwindigkeit eff ( 0 ) [Gl. (XII.23)] stellt die Geshwindigkeit der Propagation von der Phase einer Welle der Kreisfrequenz 0 dar. 59 Die Kreiswellenzahl k ist gleih 2π mal der Wellenzahl 1/λ, mit λ der Wellenlänge. 60 Umgekehrt wird für n () < 0 Energie durh das Medium an die Welle gegeben, wie es z.b. im Verstärker eines Lasers der Fall ist. XII. Elektromagnetishe Wellen in Materie 123

4 Die Gruppengeshwindigkeit v g ( 0 ) [Gl. (XII.25)] gibt an, mit welher Geshwindigkeit ein Wellenpaket bestehend aus einer Überlagerung von ebenen Wellen mit Frequenzen um eine zentrale Frequenz 0 propagiert. Dabei wird angenommen, dass in der Taylor-Entwiklung (k) = 0 + d(k) dk (k k 0 ) + = 0 + v g ( 0 )(k k 0 ) + k0 die Terme höherer Ordnung vernahlässigbar sind: dies kann also nur gelten weit von der Nahbarshaft einer Resonanz, wo n() und dabei [Gl. (XII.18)] k() bzw. (k) shnell variiert. Die Definition der Gruppengeshwindigkeit beruht implizit auf der Annahme, dass die Gestalt des Wellenpakets sih niht zu stark ändert. Deshalb sollen die Frequenzen der Wellen im Paket niht zu breit verteilt sein, damit sie alle ungefähr mit der gleihen Phasengeshwindigkeit propagieren. Man kann zeigen [15], dass in solhen Bereihen, wo das Medium als dispersiv aber verlustfrei (der Absorptionskoeffizient ist vershwindend gering) und linear wirkt, die Gruppengeshwindigkeit gleih der Geshwindigkeit des Energieflusses ist. Die Idee ist folgende. Sei f(t, x) die Amplitude einer eindimensionalen Welle zur Zeit t; für eine fortshreitende Welle ist f der Form f(x vt), mit v der Geshwindigkeit der Welle. In manhen Fällen ist die Energiedihte in der Welle proportional zu f(t, x) 2 = f(x vt) 2, entsprehend einer Bewegung der Energie mit Geshwindigkeit v. Shreibt man ein Wellenpaket als Überlagerung von ebenen Wellen f(t, x) = i[kx (k)t] dk f(k) e 2π mit Kreiswellenzahlen bzw. -frequenzen k bzw. (k), so führt die Taylor-Entwiklung der Letzteren zur ersten Ordnung zu f(t, x) = e i[k0 d(k0)/dk 0]t ( ik(x [d(k0)/dk]t) dk f(k) e 2π = d(k0)/dk 0]t f x d(k ) 0) t, 0, ei[k0 dk d.h. f ist (bis auf einer unwesentlihen Phase) Funktion der einzigen Variable x d(k 0) t, und dk propagiert mit der Geshwindigkeit d(k 0 )/dk. Im Gegensatz wird in der Nahbarshaft einer Resonanz Energie dem Medium übertragen wenn n () > 0 oder durh das Medium gegeben wenn n () < 0, so dass der Begriff eines gerihteten Energiestroms mit wohldefinierten Rihtung und Geshwindigkeit an Sinn verliert. Dementsprehend kann die Gruppengeshwindigkeit größer als ohne Widerspruh zur speziellen Relativitätstheorie werden, oder auh negativ. Durh sorgfältige Betrahtungen haben Sommerfeld [16] und Brillouin [17] tatsählih gezeigt, dass in der Fortpflanzung in Materie einer elektromagnetishen Welle genauer, eines stufenartiges Wellenpulses die Wellenfront immer mit der Vakuumlihtgeshwindigkeit propagiert, unabhängig von den Werten der Phasen- und Gruppengeshwindigkeit: man spriht von dem optishen Vorläufer ( optial preursor ). Somit propagiert die Information immer mit einer Geshwindigkeit kleiner gleih. Diese Ausbreitung des Vorläufers mit wurde neulih auf der Ebene eines einzelnen Photons experimentell nahgewiesen [18], d.h. die im Rahmen der klassishen Physik hergeleitete Vorhersage von Sommerfeld und Brillouin gilt noh im Rahmen der Quantenfeldtheorie. Im Folgenden werden einige unüblihen Verhalten von Medien dargelegt, die durh die Existenz dieser Bereihe anomaler Dispersion bedingt sind. XII.2.5 a Substanzen mit gleihzeitig negativen Werten der Permittivität und der Permeabilität Laut der Bedingung (XII.18) bzw. der Definition (XII.15) soll das Produkt ɛ r () µ r () positiv sein, damit eine Welle sih im Medium ausbreiten kann. Das heißt aber nur, dass ɛ r () und µ r () dasselbe Vorzeihen haben sollen, entweder positiv wie in den vorigen Paragraphen angenommen XII. Elektromagnetishe Wellen in Materie 124

5 wurde oder negativ. Die letztere Möglihkeit wird hiernah untersuht [19], für den Fall eines verlustfreien linearen Mediums. Wiederholt man die Herleitungen des Paragraphs XII.2.4 b, so findet man ausgehend von dem Ansatz (XII.17), dass k(), E 0, H 0 ein linkshändiges System bilden [vgl. Gl. (XII.21)]. Bemerkung: Dagegen prüft man einfah nah, dass das System k(), E 0, B 0 = µ() H 0 immer rehtshändig ist, egal, ob die Permeabilität positiv oder negativ ist. Ein besonderes Phänomen ergibt sih bei der Brehung (vgl. Abshn. XII.1.3). Fällt eine Welle der Kreisfrequenz, die in einem normalen [ɛ r,a () > 0, µ r,a () > 0] Dielektrikum propagiert, auf die Grenzflähe mit einem Medium mit ɛ r,b () < 0, µ r,b () < 0 ein, so propagiert die gebrohene Welle in diesem Medium auf der gleihen Seite der normalen Gerade zur Grenzflähe wie die einfallende Welle, statt auf der anderen Seite wie in Abb. XII.1. Um dies zu berüksihtigen, kann man entweder den Brehungswinkel θ B im Brehungsgesetz (XII.5) als negativ betrahten, oder das Gesetz als n A sin θ A = n B sin θ B mit einem negativen Brehungsindex n B shreiben, d.h. in diesem Fall n() = ɛ r ()µ r (). Dementsprehend wird die zweite Identität in Gl. (XII.24) hier ist n() = n (), denn das Medium verlustfrei ist ersetzt durh eff () = ɛr ()µ r () = n (). Dies bleibt wie und k positiv, d.h. die Phase der Welle propagiert immer noh in die Rihtung des Wellenvektors k(). Shließlih kommt für die Phasengeshwindigkeit, anstatt Gl. (XII.26), die Identität v g () = d(k) dk für die Gruppengeshwindigkeit. = d[ ɛ r ()µ r ()]/d = d[n ()]/d Sei eine Substanz, deren frequenzabhängige Permittivität und Permeabilität durh das Lorentz Drude-Modell gegeben sind, wobei für die Diskussion nur eine Resonanzfrequenz wihtig ist: 61 ɛ r () = 1 + mit ɛ,1 = Ω 2 ɛ,0 ɛ,0 2 2 ɛ,1 2 2 iγ ɛ,0 2 ɛ,0 2, µ() = 1 + ɛ,0 2 + Ω2 ɛ,0 und µ,1 = Ω 2 µ,0 2 µ,0 2 iγ µ,0 2 2 µ,1 2 2 µ,0 (XII.27) µ,0 2 + Ω2 µ,0. Das Vernahlässigen der Dämpfungsterme entspriht der Annahme eines verlustfreien Mediums. Im Allgemeinen gibt es keinen Zusammenhang zwishen der Kreisfrequenz ɛ,j und µ,k für j, k = 0, 1. Hier wird aber angenommen, dass ɛ,0 = µ,0 und ɛ,1 = µ,1. Der Kürze halber werden diese Kreisfrequenzen dann als 0 bzw. 1 bezeihnet. Mit solhen Resonanzfrequenzen ist ɛ r () bzw. µ r () negativ für 0 < < 1, entsprehend dem Bereih, wo die obige Diskussion relevant wird. In diesem Bereih nimmt ɛ r ()µ r () mit ab, so dass die Gruppengeshwindigkeit ebenfalls negativ ist, d.h. entgegengesetzt zur Rihtung der Phasengeshwindigkeit. Diese Verhalten werden in Abb. XII.4 gezeigt. Metamateriale mit negativen Permittivität und Permeabilität in einem Frequenzintervall wurden experimentell entwikelt, sowohl im Mikrowellen- [21, 22] als im optishen Bereih [23]. Deren Verhalten gegenüber Brehung kann dann benutzt werden, um Tarnkappen herzustellen. Optishe Linsen aus einem solhen Metamaterial können auh theoretish perfekt sein [24], d.h. deren Auflösung überwindet die Beugungsbedingte Abbe-Grenze [25]. 61 Das folgende Beispiel wurde von Kirk T. MDonald geklaut [20]., XII. Elektromagnetishe Wellen in Materie 125

6 ɛ r () bzw. µ r () ɛ r ()µ r () Abbildung XII.4: Relative Permittivität bzw. Permeablität (links) und Produkt ɛ r ()µ r () (rehts) für die Abhängigkeiten (XII.27). XII.2.5 b Langsames Liht Jetzt wird die Fortpflanzung von Wellen in einem Material untersuht, 62 dessen dielektrishe Funktion durh das Lorentz Drude-Modell beshrieben wird, mit zwei eng benahbarten Resonanzen 1 = 0 bzw. 2 = 0 +, wobei 0 < 0, mit jeweiligen Breiten Γ 1 bzw. Γ 2 und gleih großen Amplituden Ω 2 1 = Ω2 2 = Ω2. Die (relative) Permeabilität wird als konstant im Bereih dieser Resonanzen angenommen: µ r () = µ r 1. In normalen Materialen entspriht Γ a der Dämpfung der Shwingungen der Elektronen und führt (mit positivem Wert) zur Absorption einfallender elektromagnetisher Wellen mit Frequenzen in der Nahbarshaft der Resonanzfrequenz a. Hier wird angenommen, dass dieses Verhalten für die niedrigere Resonanz bei 1 gilt, aber dass bei der höheren Kreisfrequenz 2 einfallende Wellen verstärkt werden. Dies wird durh eine negative Dämpfungskonstante Γ 2 modelliert. Der Einfahheit halber wird Γ 2 = Γ 1 Γ mit 0 < Γ 0 angenommen. Die Shwähung im Medium einer Welle mit der Kreisfrequenz a entspriht quantenmehanish der Absorption von Photonen der Energie a, die gleih der Energiedifferenz zwishen zwei Energieniveaus des Mediums ist. Im Fall einer Besetzungsinversion zwishen zwei Niveaus kann dann die Intensität einer Welle mit der geeigneten Frequenz durh den Zerfall des angeregten Niveaus verstärkt werden: dabei handelt es sih um den Laser-Effekt. Unter Vernahlässigung der anderen Resonanzen lautet die relative dielektrishe Funktion Ω 2 1 Ω 2 2 ɛ r () = iγ iγ 2 [ 1 + Ω iγ ( ) 2 + Γ ] iγ ( ) 2 + Γ 2 2, (XII.28) wobei in der zweiten Zeile Terme der Ordnung 2 gegen solhe der Ordnung 0 weggelassen wurden. Die Absorption einer einfallenden elektromagnetishen Welle mit der Kreisfrequenz wird durh den Imaginärteil des Brehungsindex beshrieben. Für = 0 ist ɛ r ( 0 ) = 1 und damit Im ɛ r ( 0 ) null. Eine Welle dieser Frequenz wird also niht gedämpft, d.h. das Medium ist für solhes Liht transparent, was als eletromagnetially indued transpareny des Mediums bezeihnet wird. Dementsprehend ist n( 0 ) = 1, d.h. die Phasengeshwindigkeit (XII.24) bei dieser Frequenz ist eff ( 0 ) =. Unter Nutzung der Näherung n() ɛ r () [ɛ r() 1] sieht man auh, dass Liht mit einer Kreisfrequenz etwas kleiner bzw. größer als 0 abgeshwäht bzw. verstärkt wird, wie in Abb. XII.5 dargestellt wird. 62 Die Modellierung des Effekts wird wieder von K. T. MDonald genommen [26]. XII. Elektromagnetishe Wellen in Materie 126

7 n () 1 n () Abbildung XII.5: Real- (oben) und Imaginärteil (unten) des Brehungsindex n() [ɛ r() 1] entsprehend der dielektrishen Funktion (XII.28) für Γ =. Gleihung (XII.26) gibt dann die Gruppengeshwindigkeit bei 0 v g ( 0 ) (4 2 + Γ 2 ) 2 2Ω Γ 2. Im Dampf eines Metalls mit der Ladungszahl Z ist Ω 2 n e e 2 /(ɛ 0 m e Z), mit n e der Elektronendihte. Für Natrium (Z = 11) mit n e = m 3 ergibt sih somit Ω 2 1, s 2. Mit Γ = = s 1 erhält man v g ( 0 ) 21 m s 1. In einem Experiment mit den obigen Werten von n e und Γ wurde eine Gruppengeshwindigkeit des Lihts von 17 m s 1 gemessen [27]. XII.2.5 Negative Gruppengeshwindigkeit Sei jetzt ein Material 63 mit zwei eng benahbarten Resonanzen 1 = 0 bzw. 2 = 0 + wobei 0, die beiden in Besetzungsinversionen (mithilfe eines Lasers) gepumpt werden. 64 Um diese Situation im Rahmen des klassishen Lorentz Drude-Modells zu beshreiben, werden den beiden Oszillatoren negative Amplituden zugeordnet, 65 die hiernah gleih groß angenommen werden: Ω 2 1 = Ω2 2 = Ω2. Dann lautet die relative dielektrishe Funktion in der Nahbarshaft dieser Resonanzen [ ɛ r () 1 Ω iγ ( ) 2 + Γ ] + iγ ( ) 2 + Γ 2 2, (XII.29) d.h. für den Brehungsindex [unter der Annahme µ r () 1] n() 1 Ω2 2 [ iγ ( ) 2 + Γ iγ ( ) 2 + Γ 2 2 Der Verlauf dieses Brehungsindex wird in Abb. XII.6 dargestellt. Für = 0 gilt Ω 2 Γ n( 0 ) 1 i 2(4 2 + Γ 2, ) 0 ]. (XII.30) 63 Die folgende Modellierung stammt noh einmal aus einer Arbeit von K. T. MDonald [28]. 64 Der Vorteil solher Medien zum Nahweis exotisher optisher Eigenshaften wurde in Ref. [29] betont. 65 Die korrekte quantenmehanishe Beshreibung des Systems sollte auf den sog. optishen Bloh-Gleihungen beruhen, die hier kein gutes klassishes Analogon haben. XII. Elektromagnetishe Wellen in Materie 127

8 n () 1 n () Abbildung XII.6: Real- (oben) und Imaginärteil (unten) des Brehungsindex (XII.30). d.h. die Phasengeshwindigkeit ist eff ( 0 ) = und der Absorptionskoeffizient α( 0 ) = Die Gruppengeshwindigkeit (XII.26) für = 0 ist v g ( 0 ) /[1 2Ω Γ 2 ] (4 2 + Γ 2 ) 2, ΓΩ 2 (4 2 + Γ 2 ). d.h. kann für geeignete Werte von Ω 2, Γ 2 und 2 negativ werden. Wenn Γ 2 2 wird diese Phasengeshwindigkeit zu v g ( 0 ) / ( 1 Ω 2 /2 2). In einem Experiment [30] wurde für die Gruppengeshwindigkeit des Lihts in einem Caesium- Dampf v g ( 0 ) /310 gemessen, entsprehend einem Verhältnis Ω/ 24. Eine solhe negative Gruppengeshwindigkeit bedeutet, grob gesagt, dass der Energiestrom im Medium in die entgegengesetzte Rihtung zur Propagationsrihtung der einfallenden Welle im Vakuum ist. Dies ist ja möglih, da das Medium wegen der Besetzungsinversionen in einem angeregten Zustand ist, so dass es Energie emittieren kann. XII. Elektromagnetishe Wellen in Materie 128