Darstellung von Wellen

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1 Darstellung von Wellen Um vershiedene Wellenphänomene anshaulih verstehen zu können, sind grafishe Darstellungsformen von Wellen hilfreih. Nahe an der Mathematik ist die Darstellung von Wellen im kartesishen Koordinatensystemen. Die Ausbreitungsahse wird meistens horizontal gewählt, das Signal wird nah oben aufgetragen. y(t) Welle zur Zeit t_0 Welle zur Zeit t_0 + Delta t x Diese Darstellung kann verwirrend sein, wenn man den Kurvenverlauf irrtümliherweise für den Verlauf der Wellenausbreitung hält. Ein weiterer Nahteil besteht darin, dass man untershiedlihe Polarisationsgrade nur dann festhalten kann, wenn man das Koordinatensystem auf drei Dimensionen erweitert. In diesem Fall ist eine quantitative Interpretation aber mitunter shwierig. Vorteilhaft ist die Nähe zur mathematishen Repräsentation von Wellen als Funktion. Außerdem kann man bei dieser Darstellungsform die Ausbildung stehender Wellen und Wellenüberlagerung sehr gut nahvollziehen. Alternativ kann man auh nur die Wellenfronten einzeihnen die Punkte einer Welle, deren Phase gleih einem bestimmten Wert ist, auf den man sih verständigt. Übliherweise nimmt man bei sinusförmigen Wellen die Wellenberge als Wellenfronten her.

2 Vorteil dieser Darstellungsart kann sein, dass die für die Illustration eines bestimmten Phänomens wesentlihen Informationen (beispielsweise Position und Ausbreitung der Wellenfronten) niht in unwesentlihen Informationen (beispielsweise Signalrihtung) untergehen. Nahteilig kann sein, dass man mögliherweise die Lihtersheinungen fotografisher Aufnahmen von Wellenbädern direkt mit Wellenfronten identifiziert, und somit aus den Augen verliert, dass man über ein Modell spriht (Stihwort Teilhenmärhen ). Zeit t_0 Zeit t_0 + Delta t Kreis oder Kugelwelle Zeit t_0 + 2 Delta t Gerade Welle Shließlih ist es auh möglih, nur die Ausbreitungsrihtung von Wellen einzuzeihnen, wobei man sih nah ästhetishen Gesihtspunkten einen oder mehrere Repräsentanten (Pfeile) des Ausbreitungsvektors der Welle aussuht. Kreis oder Kugelwelle Diese Darstellungsvariante ist in der Hinsiht gefährlih, als dass man leiht die Wellenharakteristik von Wellen aus den Augen verlieren kann, wenn man eine Welle als eine einzige gerade Linie zeihnet; man kann ins Denken von Wellen- bzw. Lihtstrahlen verfallen. Besonders gefährlih ist das dann, wenn man sowieso shon Unsauberkeiten der Alltagssprahe bewusst wahrnehmen muss, weil man auf Gerade Welle dem Gebiet der Wellenphänomene sowieso noh niht allzu bewandert ist. Gezeihnete Lihtstrahlen ershwert diesen Prozess des Be- wusstwerdens.

3 Der Grund für die Vielzahl geometrisher Darstellungsarten von Wellen liegt darin, dass Wellen mathematish sehr komplexe Objekte sind. 1. Eine Zahl aus R stellt kein Problem dar. 2. Eine Shwingung, mathematish als Funktion der Zeit (R R) modelliert (y(t)), ist shon anspruhsvoller, lässt sih aber noh mit den Mitteln der Mathematik der elften Jahrgangsstufe vollständig in Griff bekommen beispielsweise ist die Ableitung nah einer Variablen kein Problem. Gezeihnet werden kann eine Shwingung in einem y-t-diagramm y(t) hängt shließlih nur von einer einzigen Variable ab. 3. Eine Welle dagegen ist weitaus anspruhsvoller und lässt sih niht mit der Mathematik der 11. oder 12. Jahrgangsstufe vollständig analysieren. Modelliert werden Wellen als Funktionen der Zeit und des Ortes (R R R; y(x, t)). Wollte man die üblihe Darstellungsmethode von Shwingungen auf Wellen binäre Funktionen erweitern, müsste man dreidimensionale y-x-t-diagramme zeihnen. Das Zeihnen selbst ist für Computer kein Problem; solhe Diagrame zu interpretieren insbesonders quantitativ zu interpretieren ist für Menshen jedoh niht einfah der Grund für die Vielzahl anderer Darstellungsformen. y(x,t)

4 Wellenbrehung Unter Brehung versteht man die Änderung der Ausbreitungsrihtung einer Welle, die beim Wehsel zwishen zwei Medien untershiedliher Brehungsindizes auftritt. Brehung ist harakteristish für alle Arten von Wellen. Wellen nehmen niht den Weg, der am räumlih kürzesten ist, sondern den, der zeitlih am shnellsten ist. Mit diesem Ansatz lässt sih das (SNELLiusshe) Brehungsgesetz herleiten: a A( a, x) 1 Wellenaus breitungs rihtung x d 0 d x beta 2 Mediengrenze B(b,d x) Die Zeit, die die Welle benötigt, um von A nah B zu gelangen, ergibt sih zu: t nötig (x) = A0 + 0B a2 + x = 2 + b2 + (d x) 2 ; Gesuht ist jetzt nah dem x, für das die benötigte Zeit möglihst gering wird. Also leiten wir nah x ab und setzen auf 0 s m : t nötig (x) = x 1 1 a 2 +x 2 2 = 1 1 x a2 +x b 2 +(d x) d x! b 2 +(d x) 2 = 0 s m ; 2 2 (d x) ( 1) = Ähnlih wie bei der Herleitung der THOMSONshen Shwingungsgleihung, bei der uns die mathematishe Lösung der Differentialgleihung x(t) niht so sehr interessiert hat wie die das System harakterisierende physikalish relevante Konstante ω, interessieren wir uns auh hier weniger für x, sondern vielmehr für eine geeignete Umformung: 1 1 x a2 + x 1 d x = 2 2 b 1 sin α 1 sin β = 0 s 2 + (d x) m ; b Weitere Umformung führt dann zum Brehungsgesetz: sin α sin β = 1 2 ;

5 Möhte man Wellen niht auf ihre Ausbreitungsrihtung reduzieren, kann man sih des HUYGENSshen Prinzip bedienen. Nah dem HUYGENSshen Prinzip kann man sih jede Stelle der Übergangslinie zwishen den zwei Medien als Entstehungsort neuer Elementarwellen denken; Der Teil der Elementarwellen, der sih im anderem Medium ausbreitet, überlagert sih zur gebrohenen Welle. Der Teil, der sih im ursprünglihen Medium ausbreitet, überlagert sih zur reflektierten Welle. lambda/sin lambda 1 O(0,0) 2 lambda d Dass wir mit einem einzigen Ansatz der Überlagerung der Elementarwellen niht nur Brehung, sondern auh Reflexion erklären können, ist ein großer Vorteil des HUYGENSshen Modells. Auf die Weise, wie wir das Brehungsgesetz hergeleitet haben, hätten wir niht auh Reflexion mathematish behandeln können. Mit unserer Shulmathematik ist es leider niht möglih, diesen Ansatz vollständig durhzurehnen; die ersten Shritte können wir aber sehr wohl handhaben und dadurh die Mathematik hinter Wellen besser zu verstehen lernen. Eine Kreiswelle, die im Punkt O(0, 0) zur Zeit 0 entsteht, stellen wir mathematish als binäre Funktion von r und der Zeit dar, wobei r der Abstand eines bestimmten Wellenpunkts zu O ist. Die Frequenz dieser Elementarwelle ist gleih der Frequenz der einfallenden geraden Welle. Die Ausbreitungsgeshwindigkeit ist im neuen Medium jedoh eine andere 2, niht 1 ; mit = λf errehnet sih die Wellenlänge des relevanten Teils der Elementarwellen des Teils der Elementarwellen, der sih im neuen Medium ausbreitet zu λ = 2 f. ( f 0 (r, t) = A sin ωt + 2π λ r ) = A sin 2π (ft + 1λ ) r ;

6 Mit r = x 2 + y 2 ergibt sih umgerehnet in kartesishe Koordinaten: f 0 (x, y, t) = A sin 2π (ft + 1λ ) x2 + y 2 ; y > 0; Die Darstellung einer Elementarwelle, die niht im Ursprung, sondern im Punkt (d, 0) entsteht, ist etwas komplizierter. Zum einen entsteht diese Welle niht wie f 0 zur Zeit 0, sondern zeitversetzt die einfallende Welle trifft erst später an der Mediengrenze ein. Diese Zeitdifferenz errehnet sih mit sin α = λ d zu t = λ = d sin α = d sin α λf ; Außerdem untersheidet sih die Entfernung vom Ursprungsort der Welle zu einem bestimmten Wellenpunkt: r = (x d) 2 + y 2 ; y > 0; Einsetzen bringt damit für die Gleihung der Welle, die im Punkt (d, 0) entsteht: f d (x, y, t) = A sin 2π ( ft + 1 r ) = A sin 2π [ [ f (t t) + 1 r ) = λ λ ( ) ] = A sin 2π f t d sin α + (x 1λ d) 2 + y λf 2 ; y > 0; Um die Überlagerung unendlih vieler Elementarwellen zu fassen, betrahten wir mathematish nur den Bereih zwishen o und o auf der Grenzlinie. Damit wir 2 2 trotzdem die Überlagerung aller Wellen, und niht nur einem Teil, erhalten, lassen wir o gegen Unendlih gehen. Außerdem denken wir uns, dass über die gesamte Streke [( o, 0) ( o, 0)] genau n 2 2 Elementarwellen im Abstand o entstehen. Lassen wir n gegen Unendlih gehen, n geht der Abstand o gegen Null und wir erfassen alle Wellen. n In symbolisher Shreibweise drüken wir das so aus: f ges. (x, y, t) = lim o lim n n i=0 f o 2 + o n i (x, y, t); y > 0; Dieses Problem können wir leider niht mehr lösen wir kennen keine Formeln für die Summe vieler Sinusanwendungen auf komplizierte (niht-lineare) Werte.

7 Wellenbeugung Unter Beugung versteht man die Ablenkung von Wellen an einem undurhlässigen Hindernis. Gebeugte Wellen können sih in dem geometrishen Shattenraum des Hindernisses ausbreiten. Shattenraum Shattenraum Shattenraum Ist das Hindernis bzw. die Öffnung im Vergleih zur Wellenlänge sehr groß, ist der Effekt zwar selbstverständlih auh vorhanden, aber kaum bemerkbar bzw. vernahlässigbar. Sind die Größe des Hindernisses bzw. der Öffnung und die Wellenlänge von der gleihen Größenordnung, kann der Effekt im Allgemeinen niht vernahlässigt werden. Der Teil der Wellen hinter dem Hindernis bzw. der Öffnung sind annähernd gerade. Ist die Öffnung im Vergleih zur Wellenlänge klein, so ist die Welle hinter dem Hinderniss bzw. der Öffnung keine gerade Welle, sondern annähernd eine Kreis- bzw. Kugelwelle. Beugung darf man niht mit dem alltäglihen Phänomen unsharfer Shatten verwehseln. Zum einen sind die von Lampen ausgesendeten Lihtwellen keine geraden Wellen, und zum anderen befinden sih oft mehrere Lihtquellen in einem Raum.

8 Nah dem HUYGENSshen Prinzip kann man sih die Randpunkte des Hindernisses bzw. der Öffnung als Entstehungsort neuer Elementarwellen der gleihen Wellenlänge und Frequenz wie der einfallenden Welle vorstellen. Im Falle der Beugung an einem Hindernis shließen die Elementarwellen in einiger Entfernung vom Hindernis die Lüke. Im Falle der Beugung an einer Öffnung einer undurhlässigen Barriere kann man sih die Elementarwellen in genügend großer Entfernung als gerade Wellen vorstellen. Besonders interessante Phänomene treten auf, wenn man die Beugung einer Welle niht nur an einem Hindernis oder an einer Öffnung untersuht, sondern an mehreren. Große Krümmung Kleine Krümmung In diesem Fall überlagern sih die an jedem Hindernis bzw. Öffnung entstehenden Elementarwellen; es kommt zur Interferenz. Berühmt ist die Beugung am Doppelspalt. Gerade Lihtwellen werden auf eine Blende gerihtet, die Shirm (im Fernfeld) nur an zwei shmalen Shlitzen durhlässig ist. Auf einem hinter der Blende im Fernfeld positioniertem Shirm, der ankommenendes Liht registriert, zeigt sih ein Interferenzmuster. Grund für dieses Muster ist die Interferenz der HUYGENSshen Elementarwellen, die in den beiden Blendenöffnungen entstehen. Das Interferenzmuster aus helleren und dunkleren Streifen hängt unter anderem von der Wellenlänge des einfallenden Lihts, der Breite und dem gegenseitigen Abstand der Shlitze, und der Entfernung des Sihtshirms von der Blende ab. "Fast keine" Krümmung

9 Ist der Sihtshirm weit von der Blende entfernt, sind die Winkel der beiden Shlitze zu einem Punkt (x, 0) des Shirms etwa gleih groß. Für diesen Fall können wir näherungsweise die Orte der größten und der kleinsten Helligkeit ermitteln: a x d os α = l a ; tan α = d x ; Delta l α ist sehr klein, wenn der Shirm weit von der Blende entfernt ist. Für kleine Winkel stimmen der Wert des Sinus mit dem des Kosinus und des Tangens näherungsweise überein; es gilt: l a = os α tan α = d x ; l a d x ; x 1 l da; l ist der Ganguntershied die Wegdifferenz der Elementarwellen, die in den beiden Shlitzen entstehen. Konstruktive Interferenz helle Punkte auf dem Shirm tritt dann ein, wenn der Ganguntershied ein ganzzahliges Vielfahes der Wellenlänge λ der Elementarwellen ist: x hell = 1 da; k N; kλ Die Wellen vernihten sih gegenseitig, wenn der Ganguntershied ein ungeradzahliges Vielfahes der halben Wellenlänge ist. x dunkel = 1 (2k + 1) λ 2 da; k Z; Als Thomas Young 1805 den Versuh erstmalig durhführte, demonstrierte er die Wellennatur des Lihts. Zu besonderer Berühmtheit ist das Doppelspaltexperiment deswegen gelangt, weil sih ein Interferenzmuster auh dann zeigt, wenn man den Versuh mit Teilhen (beispielsweise mit Elektronen 1927 Clinton Davisson und Lester Germer) statt Liht ausführt eine Demonstration des (irreführend benannten) Welle Teilhen-Dualismus.