x 3x 2x 0 2x x x 3 e 4 t t dt 12

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1 5 Gewöhnlihe Differentialgleihungen 5. Einführung und Definition einer Differentialgleihung, Beispiele Die Shulmathematik hat sih bisher sehr ausgiebig mit dem Lösen von Gleihungen beshäftigt. In diesen Gleihungen befand sih meist eine Variable, die es galt zu bestimmen. Beispiele: Lineare Gleihung 3 5 Quadratishe Gleihung Kubishe Gleihungen 3 3 Biquadratishe Gleihungen 4 Eponentialgleihungen 3 e 4 ln 5 Logarithmusgleihungen Integralgleihungen 4 t t dt Doh was passiert, wenn neben der Variablen auh noh ein Funktionsterm und mindestens eine seiner Ableitungen vorkommt? Also z. Bsp. Definiton: Jede Gleihung, die mindestens einen Differentialquotienten enthält heißt Differentialgleihung. Kommt in der Differentialgleihung lediglih die Ableitung nah einer Variablen vor, dann spriht man von gewöhnlihen Differentialgleihungen. Kommen Ableitungen nah mehreren Variablen vor, dann spriht man von partiellen Differentialgleihungen. Bemerkung: Statt Bezeihnung f verwendet man in einer Differentialgleihung (DGL) die oder einfah nur. Für die Ableitung gilt d. d Ist die höhste vorkommende Ableitung von der Ordnung n, so nennt man sie eine Differentialgleihung n-ter Ordnung. Beispiele: Differentialgleihung (DGL). Ordnung DGL. Ordnung DGL 3. Ordnung

2 Beispiele von Differentialgleihung aus Naturwissenshaft und Tehnik. Ungedämpfte Shwingung (harmonishe Shwingung): Aus der Phsik der. Klasse ist uns dies ja shon bekannt. Der Kraftansatz: F F Beshl. Rük. m a D m D führt auf eine Differentialgleihung. Ordnung. Die Lösung ist uns ja shließlih auh shon bekannt: D t A sin t mit m Die Amplitude A und die Phasenvershiebung resultieren aus den Startbedingungen (Anfangsbedingungen) des Pendels. Gedämpfte Shwingung: Berüksihtigt man nun, dass bei jedem realen Shwingungsvorgang Reibungsverluste auftreten, so wird dem shwingenden Sstem Energie entzogen. Die Amplitude nimmt von Shwingung zu Shwingung ab. Berüksihtig man dies nun im Kraftansatz (im einfahsten Fall ist die Reibungskraft linear von der Geshwindigkeit abhängig) so folgt: F F F Beshl. Rük. Reib. m a D k v m k D Auh hier handelt es sih wieder um eine Differentialgleihung. Ordnung. Für die Lösung bei shwaher Dämpfung gilt: k D t A e sin t mit m t m 3. Erzwungene Shwingung: Nun kommt es ja auh vor, dass dem shwingenden Sstem von außen eine Bewegung auferlegt wird (z. Bsp. ein mit einem Ezenter angetriebenes Pendel). z t B sin t überlagert sih mit der Shwingung Die Anregershwingung t des Pendels. So folgt für die Rükstellkraft der Feder FRük D t z t Der Kraftansatz liefert dann: F F F Beshl. Rük. Reib. m a D t z t k v m k D D B os t Auh hierfür gibt es eine (komplee) Lösung. 4. Einshaltvorgang im RC-Kreis (bei Gleihspannung): Hier erhält man nah anwenden der Kirhhoffshen Mashenregel die Differentialgleihung Q R Q U C t Für die Lösung der DGL erhält man: Qt Q RC e 5. Ausshaltvorgang im RC-Kreis (bei Gleihspannung): Hier erhält man nah anwenden der Kirhhoffshen Mashenregel die Differentialgleihung Q R Q C

3 Für die Lösung der DGL erhält man: Q t Q e 6. Radioaktiver Zerfall: Ist eine Menge N eines radioaktiven Materials zum Zeitpunkt t gegeben. So suht man nun eine Funktion N t welhe die zum Zeitpunkt t noh vorhandene Menge des radioaktiven Materials angibt. Aus phsikalishen Beobahtungen und theoretishen Annahmen weiß man, dass die Rate, mit der das radioaktive Material zerfällt, direkt proportional zur Menge des noh vorhandenen Materials ist. Daraus erhält man nun folgende DGL dn N dt N N Mit der Zerfallskonstanten. Die Lösung der DGL ist bekannt: t N t N e Weitere Beispiel, die auh auf DGLen führen: Wahstumsprozesse Abkühlprozesse Shiefer Wurf mit Luftwiederstand... t RC 8. Separierbare Differentialgleihungen Eine Differentialgleihung. Ordnung vom Tp f g heißt separabel und lässt sih durh die Methode Trennung der Variablen lösen. f eine Funktionsterm, welher lediglih die Variable enthält und g Dabei ist ist ein Funktionsterm, welher lediglih die Variable enthält. Obige DGL shreibt man zunähst in der Form: d f g d Bringt man nun die -Terme alle nah links und die -Terme alle nah rehts (Trennung der Variablen) so folgt: d f d g mit g. Nun werden die beiden Seiten unbestimmt integriert: d f d g und man erhält eine Gleihung mit. Löst man diese nah auf (was in den allermeisten Fällen auh möglih ist), dann hat erhält man die allgemeine Lösung der f g. DGL Möhte man eine spezielle Lösung der DGL, dann muss noh eine Bedingung (Anfangsbedingung) gegeben sein. Diese setzt man in die allgemeine Lösung der DGL ein und kann nun die Integrationskonstante eindeutig bestimmen. 3

4 Beispiele: Bestimmen Sie zunähst eine allgemeine Lösung der folgenden DGLen. Bestimmen Sie auh eine spezielle Lösung mit Hilfe der gegebene Anfangsbedingung.. Diese DGL ist von der Form f g mit f und g. Lösung durh Trennung der Variablen: d d d d d ln ln ln ln mit e d ln e k mit k e Die allgemeine Lösung ist also von der Form k, also alle Ursprungsgeraden. Möhte man nun eine spezielle Lösung, dann muss eine Anfangsbedingung gegeben sein. Zum Beispiel: Dies eingesetzt liefert: k Die spezielle Lösung lautet somit:. ; Lösung durh Trennung der Variablen: d d d d d d ln ln ln ln mit e ln e k mit k e Die allgemeine Lösung ist also von der Form k. Das Anfangsproblem: 4

5 k k liefert: Die spezielle Lösung lautet somit: 3. ; Lösung durh Trennung der Variablen d d d d d d d d mit 4 4 (Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius r ) Aufgaben:. Bestimmen Sie die Lösung der folgenden DGL mit dem angegebenen Anfangswert. a) e ; b) sin; 4 ) ; d) ; AI 3 Zum Zeitpunkt t besitzen die 8 Millionen Einwohner eines Staates Millionen Hands. Die Anzahl der Hands, die in diesem Staat in Privatbesitz f t beshrieben, wobei t in Jahren sind, wird durh den Funktionsterm gemessen wird. 3. Nah einem vereinfahten Modell gilt für die Anzahl der Hands in Privatbesitz in diesem Staat zum Zeitpunkt t, für t, die Differenzialgleihung: 6 f t, 6 f t wobei ft die Ableitung von f t nah der Zeit ist. Leiten Sie aus dieser Differenzialgleihung den Funktionsterm 3. Nun soll gelten 6 6,t f 6 5 e. f t her. Geben Sie an, welhe konkrete Bedeutung die Zahl 6 Millionen in diesem Funktionsterm hat. Berehnen Sie den Zeitpunkt, t, an dem 6% der Einwohner dieses Staates ein Hand besitzen, wobei angenommen wird, dass jeder Einwohner höhstens ein Hand hat. 5

6 3 AI Die hemishe Verbindung Mioflu zerfällt beim Erhitzen je nah Masse der Probe innerhalb einiger Minuten. Bei einem Versuh beträgt die Anfangsmasse der Probe an Mioflu,g, sei die in der Zeit t (gemessen in Minuten) zerfallene Masse. ;. Die zugehörige Differenzialgleihung ist: mit Dabei ist d dt die Ableitung der Funktion nah der Variablen t.. Bestimmen Sie für die Funktion einen Funktionsterm t. Auf die Verwendung von Einheiten wird während der Rehnung verzihtet. t e Möglihes Ergebnis : t t e. Für einen vollständigen Zerfall genügt es im Allgemeinen, wenn 99,9% der Anfangsmenge zerfallen sind. Nah welher Zeit tritt dieses Ereignis ein? 4 AI. Bestimmen Sie für die Lösung der separierbaren DGL so, dass gilt: AI 3 Für die Zunahme der Population einer bestimmten Pflanzenart gilt die Differenzialgleihung: N t, Nt 5 Nt N t erfasst hierbei die Anzahl der Pflanzen der Population zum Zeitpunkt t in für t. Dabei gilt: N 4,5. 3. Ermitteln Sie die spezielle Lösung der Differenzialgleihung für N N.,5t 5 N e Möglihes Eregebnis : Nt,5t 5 N N e 3. Berehnen Sie allgemein, auf welhen Endwert die Anzahl der Eemplare dieser Pflanzenart auf lange Siht anwahsen wird und zu welhem Zeitpunkt t* 9 Prozent des Endwertes erreiht werden. Beshreiben Sie den Einfluss des Anfangswertes N auf diesen Endwert. 6 AI Die Geshwindigkeit v t eines Körpers im freien Fall mit turbulenter Luftreibung kann durh folgende Differenzialgleihung beshrieben werden: v v g. Dabei ist g die konstante Fallbeshleunigung und eine Konstante, die von der Masse und der Form des Körpers sowie von der Dihte der Luft abhängt, und g sind positiv. 6

7 . Bestimmen Sie den Funktionsterm v t für t unter der Voraussetzung v. Dabei darf vorausgesetzt werden, dass stets gilt: v. g t e Ergebnis : v t g t e. Berehnen Sie lim v(t) und shließen Sie daraus auf die phsikalishe t Bedeutung der Konstanten. 6 AII 3 Beim radioaktiven Zerfall von Uran entsteht Helium. Die zeitabhängige Masse m t des Heliums zum Zeitpunkt t m t erfüllt die 4m Differenzialgleihung m(t) m(t) 35 mit. Dabei ist die Zerfallskonstante, m ist die Masse des Urans zum Zeitpunkt und mt ist die Ableitung von t m t nah der Zeit. 3. Bestimmen Sie die spezielle Lösung der Differenzialgleihung. 4m t Ergebnis : m t e 35 m t für t. Welhe Bedeutung hat dieser 3. Ermitteln Sie das Verhalten von Grenzwert für den beshriebenen Zerfallsvorgang. 7 AI 3 Bei einer hemishen Reaktion vereinigt sih ein Molekül A mit einem Molekül B zu einem neuen Molekül AB. In einem Laborversuh sind zu Beginn der Reaktion von beiden Molekülarten jeweils M Moleküle vorhanden. Die Umsatzvariable N t beshreibt die Anzahl der neuen Moleküle zum Zeitpunkt t. Für t N t gilt in guter Näherung die Differenzialgleihung dn(t) wobei k eine Konstante ist. k M N t, dt 3. Ermitteln Sie die spezielle Lösung der separierbaren Differenzialgleihung für N. Möglihes Ergebnis : N t k M t k M t 3. Berehnen Sie in Abhängigkeit von k und M, zu welhem Zeitpunkt t * Nt 99% des Endwertes erreiht hat. 7

8 8.3 Integration einer Differentialgleihung durh Substitution (niht im LP!) mit In einigen Fällen ist es möglih, eine Differentialgleihung. Ordnung f ; Hilfe einer geeigneten Substitution auf eine separable DGL. Ordnung zurükzuführen, die dann durh Trennung der Variablen gelöst werden kann. DGLen vom Tp f a b lassen sih durh die Substitution u a b lösen. Dabei sind und u als Funktionen von zu betrahten. Bildet man nun die Ableitung nah, so erhält man: u a b Setzt man noh die ursprünglihe DGL f u ein, so folgt: u a b f u Die rehte Seite dieser DGL hängt nur von u ab und lässt sih nun durh Trennung der Variablen lösen. Die Lösung u u setzt man dann in die Substitutionsgleihung ein und löst diese dann nah auf. Bsp.:. Diese DGL ist von der Form f a b Substitution: u Ableitung: u DGL einsetzen: u u T. d. V.: du u d du d u Integration: du d u ln u ln u u e u e e u k e k Rüksubstitution: u k e Auflösen nah : Weitere Beispiele:. k e mit k IR. k e. 3. e tan ln 8

9 DGLen vom Tp f lassen sih durh die Substitution u lösen. Dazu formt man die Substitution etwas um: u und leitet nun ab. u u Die DGL eingesetzt liefert dann f u u u Diese DGL kann durh Trennung der Variablen gelöst werden. Man erhält: du f u u d d du f u u Nah der unbestimmten Integration wird rüksubstituiert und die Gleihung nah aufgelöst. Bsp.: Nah einer kleinen Umformung folgt: Diese DGL ist nun von der Form f. Substitution: u Auflösen nah : u Ableitung bilden: u u DGL einsetzen: u u u Umformen: du u d T.d.V.: d du u Integration: d du u ln ln u ln u ln u e ln ln u e e k u k 9

10 Rüksubstitution: k k mit k IR Weitere Beispiele:. tan ln ln arsink 8.4 Lineare Differentialgleihungen. Ordnung Definition: Eine DGL. Ordnung heißt linear, wenn sie in der Form h g darstellbar ist. Die Funktion Ist, so heißt die lineare DGL g inhomogen. g wird dabei als Störglied oder Störfunktion bezeihnet. h homogen, ansonsten Anmerkung: Kennzeihen einer linearen DGL.Ordnung sind:. und treten linear, d.h. in. Potenz auf.. Ein gemishtes Produkt kann niht vorkommen. Um nun eine inhomogene DGL. Ordnung zu lösen geht man in drei Shritten vor. h durh Trennung der. Shritt: Lösen der homogenen linearen DGL Variablen. d h d d h d d h d d h d ln ln h d mit IR ln h d h d ln ln h d e e

11 Die so erhaltene Lösung ist die Lösung der homogenen DGL: hd e mit IR h Shritt: Lösen der inhomogenen DGL h g durh Variation der Konstanten. Dazu ersetzt man in der homogenen Lösung h die Integrationskonstante durh eine (noh unbekannte) Funktion und erhält den Lösungsansatz: e h d Bildet man nun die Ableitung (unter Verwendung von Produkt- und Kettenregel), so erhält man: hd hd e h e Setzt man nun die für und gefundenen Funktionsterme in die inhomogene DGL ein, so erhält man: hd hd h d e h e h e g hd e g g e h d g e d k mit k IR 3. Shritt: Diesen Ausdruk setzt man nun für die Funktion h d in obigen Lösungsansatz ein und erhält somit die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL. hd hd a g e d k e Das shaut zwar hier reht shlimm aus, in der Prais ist das aber niht ganz so dramatish! Bei gegebenen Anfangswert würde man noh einen konkreten Wert für die Integrationskonstante k erhalten. Beispiel: 998 AI Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung os mit IR mittels der Methode der Variation der Konstanten. Zunähst formt man diese DGL etwas um und erhält: os

12 . Shritt: Lösen der homogenen linearen DGL Variablen. durh Trennung der h d d d d d ln e e d ln ln e e ln ln (Lösung der homogenen DGL). Shritt: Lösen der inhomogenen DGL os Konstanten. Ansatz: durh Variation der Ableitung: In DGL einsetzen: os os os os d Das Integral wird durh partielle Integration gelöst: os d sin sin d sin os k 3. Shritt: Die allgemeine Lösung lautet dann: sin os k a mit der Integrationskonstanten k IR. Aufgaben: 998 AII. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung sin mit IR mit der Methode der Variation der Konstanten.

13 999 AI. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung mit IR mittels der Methode der Variation der Konstanten. 999 AII. Bestimmen Sie für die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung e mittels der Methode der Variation der Konstanten. AI 3 Eine Metallkugel befindet sih in einer mit Öl gefüllten senkrehten Röhre. Zum Zeitpunkt t wird die Kugel aus der Ruhelage losgelassen und fällt in der Röhre nah unten. Für die Geshwindigkeit v t der Kugel zum Zeitpunkt t, t gilt folgende Differenzialgleihung: k v v g b. Dabei bedeuten g die Maßzahl der Erdbeshleunigung und k, b > Konstanten, die von der Größe und Dihte der Kugel und der Viskosität und Dihte des Öls abhängen. v t mit der Methode der Variation der Konstanten. 3. Bestimmen Sie t Ergebnis : v t g b e k 3. Ermitteln Sie das Verhalten von Ergebnis phsikalish. v t für t, und interpretieren Sie das AII 3. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung mit IR mittels der Methode der Variation der Konstanten. AI 3. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung os os e sin für ; mit der Methode der Variation der Konstanten. AII 3. Bestimmen Sie für die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung e mittels der Methode der Variation der Konstanten. 3

14 AII Für einen Laborversuh wird eine Kupfersulfatlösung gebrauht, deren Konzentration t mit der Zeit t abnimmt. Dazu wird in einem Behälter eine Kupfersulfatlösung mit einer bestimmten Konzentration und dem Volumen V bereitgestellt. Während des Versuhs fließt eine weitere Kupfersulfatlösung mit konstanter Durhflussmenge Q und konstanter Konzentration k in den Behälter. Gleihzeitig fließt dieselbe Durhflussmenge Q bereits vermishter Kupfersulfatlösung aus dem Behälter ab. In dieser Versuhsphase gelte für die Konzentration t der Kupfersulfatlösung im Behälter die folgende Differenzialgleihung Q Q t k V V t mit Q, k und V konstant, t. Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung und bestimmen Sie die Integrationskonstante C, wenn sih zum Zeitpunkt t im Behälter eine g g Kupfersulfatlösung mit der Konzentration 3 befindet und k 4 ist. Q t V Teilergebnis : t C e k 3 AII 3. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung tan sin für ; mit der Methode der Variation der Konstanten. 4 AII 4 Shließt man eine reale Spule zum Zeitpunkt t an eine Gleihspannung mit U U an, dann gilt für die Stromstärke Jt die Differenzialgleihung U L Jt R Jt, wobei U, R und L konstante Größen sind und Jt die. Ableitung der Stromstärke ist. Bestimmen Sie mittels Variation der Konstanten die Lösung der J t für die Anfangsbedingung Differenzialgleihung für die Stromstärke J. 5 AII 4. Bestimmen Sie für die Differenzialgleihung mit die allgemeine Lösung mit der Methode der Variation der Konstanten. 7 AI 4. Bestimmen Sie für ; die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung os sin os sin mit der Methode der Variation der Konstanten. 4

15 7 AII 3. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung os mit IR