VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN. Dienstag

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1 Übungen Dienstag -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN Dienstag Blk (Die Musterlösungen werden am Abend auf der Vrkurs-Hmepage aufgeshaltet!). Lösen Sie die flgenden linearen Gleihungssysteme mit einer Methde Ihrer Wahl: a y = 6 3-6y = 3 b. 5-3y = y = y = 0,5 +,5y = 5 () a + b y =. Im Therieskript haben wir flgendes gesehen: () a + b y = hat die Lösun- b b gen: = und a b a b y a a b =. Beweisen Sie das! a a b 3. Lösen sie die fünf Aufgaben zu Vershiedene Gleihungssysteme, vershiedene Lösungswege aus dem Therieskript. b 4. Leiten Sie die Rehenregel lg a = lg a b lg a Ptenzieren her! aus den Rehenregeln fürs 5. Ohne Tashenrehner: a) lg 7 49, b) lg 3, ) 6. Vereinfahen Sie s weit wie möglih: a) lg a ( b + ) + lg a b) lga b ( a ab + b ) b + 6 lg 5 5, d) lg 0 0 ) lg ( b ) lg ( a) 4 4 d) lg ( a b ) lg ( a + b ) lg ( a b) + 7. Finden Sie s dass: a) lg 8 = 3 b) lg 5 = ) lg 3 = 5 d) lg 04 = 0 8. * Wie viele Stellen hat die Zahl 9 0'000? Wie lautet die erste Ziffer? Tipp: Zahl als 0er-Ptenz shreiben!

2 Übungen Dienstag -- Auswahl an Musterlösungen ) 5 + y = 0,5 +,5y = 5 Sämtlihe Lösungsmethden liefern hier wahre Aussagen. Z. Bsp. «0 = 0». Bedeutung?! : Die zweite Gleihung ist das.5-fahe der ersten Gleihung und liefert smit «keine neue Infrmatin». D.h.: Sämtlihe Lösungspaare ( y), die die erste Gleihung erfüllen, erfüllen auh die zweite Gleihung: ( 5);(0 0);(4-0);... für beliebig: ( y = 0-5) 5) lg ( 5) = 5 = 5 5 = (5 ) 5 = 5 5 = 3 lg ( b ) lga ( b ) lga ( b ) 6) = = = lga ( b) (Beim ersten Shritt: Basiswehsel!) lg ( a) lg ( a) a lg( b) lg ( b ) lg ( b) lg( ) lg( b) Zweite Lösungsvariante: = = = = lga ( b) lg ( a) lg ( a) lg( a) lg( a) lg( )

3 Übungen Dienstag -3- Blk (Die Musterlösungen werden am Abend auf der Vrkurs-Hmepage aufgeshaltet!). Die flgenden Epnentialgleihungen sind mit einem Epnentenvergleih zu lösen: a) = 0.5 b) 3 + = 8 ) = d) 6 = 8 9. Lösen Sie die flgende Lgarithmusgleihung (Tipp: Lg.-Regel anwenden!): lg( + 3) lg( + ) = 3. Lösen Sie die flgenden Epnentialgleihungen a) 5. = b) 0 = ) 9 3 = 0 d) = e) + = Ih kaufe Wasserpflanzen für meinen Teih, die s shnell wahsen, dass sih die vn ihnen bedekte Flähe jeden Tag verdppelt. Kaufe ih ein Eemplar, s ist der Teih nah 0 Tagen völlig bedekt. Wie lange dauert das, falls ih gleih zwei Pflanzen kaufe? 5. Zu welher Grösse wird mein Anfangskapital vn 00 Franken nah 0 Jahre gewahsen sein, wenn der Zinssatz.5 Przent bleibt? Und wie lange dauert es, bis es sih verdreifaht hat? 6. Geben Sie die Winkel in Bgenmass an: a) 5 b) 5 ) 05 d) In einem rehtwinkligen Dreiek ABC mit β = 90 seien a) a = 3, b = 6 der b) a =, =. Berehnen Sie jeweils den Winkel α. 8. Berehnen Sie mit Hilfe der Additinsfrmeln und der Tabelle für spezielle Winkel aus dem Skript den Wert für s(π /) eakt (d.h. niht als Dezimalzahl, sndern als Wurzelterm.) 9. Ih stehe 0m vn einem Baum entfernt und muss meinen Kpf um 5 nah ben drehen, um dessen Spitze zu sehen. Meine Augenhöhe ist.80m. Wie hh ist der Baum? 0. Eine Strasse hat eine knstante Steigung vn 0%. Was gibt der Kilmeterzähler meines Fahrrads an, wenn ih 000 Höhenmeter auf dieser Strasse zurükgelegt habe?. * Überlegen Sie am Einheitskreis, dass tan(α ), α und sin(α ) für kleine psitive Werte vn α fast gleih sind, dass aber tan( α ) > α > sin( α) gilt.

4 Übungen Dienstag -4- Auswahl an Musterlösungen = = 8 ( ) 3 = 4 d) ; Epnentenvergleih: = 3; ll = {/3} + ) ( 3) Def. + ( + 3) lg( + 3) lg( + ) = lg0 = 0 = = = 4 = 4.36; = 0.36 (mit Lösungsfrmel für quadr.gl. gelöst). 0 3b) 0 + lg0 + = 0. 8 lgarithmieren = lg 0. 8 ( +) lg0 = lg 0. 8 ( +) Man beahte: lg0 = = lg lg 0. 8 lg0. 8 lg0.8 = lg 0. 8 ausklammern ( lg 0.8) = lg 0. 8 : ( lg 0.8) lg 0.8 = = lg 0.8 Tipp: Beim Eintippen in den TR genügend viele Klammern verwenden! lg0.8 / ( lg0.8)

5 Übungen Dienstag -5- Blk 3 (Die Musterlösungen werden am Abend auf der Vrkurs-Hmepage aufgeshaltet!). Lineare Funktinen: a) Bestimmen Sie die Gleihung der Geraden, die durh den Punkt C(/-3) verläuft und die Steigung m = - hat. b) Geben Sie die Gleihung der Geraden an, die durh den Punkt R(-/) verläuft und zu der Geraden g: y = 3 parallel ist. ) Prüfen Sie durh Rehnung, b die Punkte P(/), Q( 3/6) und R(5/-) zu einer Geraden gehören. d) Wir betrahten eine Gerade g mit der Steigung m g. Eine Gerade die senkreht zu g steht ist eine sg. Nrmale zu g (man sagt auh: n ist nrmal zu g). Es sei nun die Gerade n (mit der Steigung m ) eine Nrmale zu g. Beweisen Sie, dass dann n m m = gilt. Fertigen Sie dazu eine entsprehende Zeihnung an! g n e) Geben Sie die Gleihung der Geraden an, die durh den Punkt R(-/) verläuft und zu der Geraden g: y = 3 nrmal ist.. Bei einer Telefnfirma kstet ein Mbil-Abnnement mnatlih 5 Franken, man hat mnatlih 0 Gratisminuten, und jede weitere Minute kstet Franken. Bei einer anderen kstet zwar das Ab mnatlih 5 Franken, aber jede Minute kstet nur 50 Rappen. Ab wie vielen Minuten ist das zweite Angebt günstiger? 3. Lösen Sie graphish und rehnerish: a) + = +, b) = +, ) + = +, d) + 3 = 3 4. Bestimmen Sie die Gleihung der Parabel mit dem Sheitel im Ursprung und der y-ahse als Symmetrieahse, die durh den Punkt (/3) geht. 5. Welhe der flgenden Parabeln y = 0., y =.4, y = 8 5, y = 3, y = 5 und y = 3 verlaufen zwishen den Parabeln y =. und y =.4? 6. Eine Leihtathletikbahn hat flgende Frm: In der Mitte ist ein Gras-Rehtek, und auf zwei einander gegenüberliegenden Seiten ist jeweils ein Kunststff-Halbkreis angesetzt. Wie grss kann die Flähe des Gras-Rehteks maimal sein, wenn eine Runde um die ganze Bahn genau 400 Meter betragen sll? 7. Für welhe a hat ( - ) + = a genau eine Lösung? Zeihnen und erklären Sie was das heisst! 8. *(Spass): Man hat Seile, die je genau eine Stunde brennen, wenn man sie an einem Ende anzündet. Das Brennen muss aber niht gleihmässig erflgen: an gewissen Stellen sind die Seile diker als an anderen, und drt brennen sie entsprehend langsamer. Man hat aber einen Kuhen, der genau 3/4 Stunden gebaken werden muss. Wie misst man diese Zeit mit Hilfe der Seile?

6 Übungen Dienstag -6- Auswahl an Musterlösungen ). Idee (aufwendig!): Mit der Steigungsfrmel zuerst m berehnen, dann durh Einsetzen eines Punktes wie bei a) die Geradengleihung bestimmen, und shliesslih kntrllieren wir durh Einsetzen der Punkte.... Idee: (Effizienter und eleganter!): Angenmmen die 3 Punkte P, Q und R liegen auf einer Geraden, dann wären die Steigungen vn PQ und PR gleih! (Falls dieser Gedanke nh niht klar ist, sllte man es mit einer Skizze versuhen!) 6 Als: Steigung vn PQ: m = = Steigung vn PR: m = = 3 5 Gleihe Steigungen! Deshalb gilt: P, Q und R liegen tatsählih auf einer Geraden! d)

7 Übungen Dienstag -7- Blk 4 (Die Musterlösungen werden am Abend auf der Vrkurs-Hmepage aufgeshaltet!). Lösen Sie rehnerish und graphish die flgenden Ungleihungen: 3 + a) b) ) > 3 d) 4 + π π. Lösen Sie nah, wbei jeweils, gelten sll: sin a) s s( ) = s( 3) b) ( s ) = Tipp: Additinstherem anwenden! 3. Lösen Sie nah : a) s ( ) = s b) s + sin = 0 Tipp: Additinstherem anwenden! 4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der flgenden quadratishen Ungleihungen unter Verwendung der grafishen Methde: a) > 0 b) ) < 0 5. * Für welhe Werte vn a hat die Gleihung = a + genau zwei Lösungen? 6. * Für welhe Werte vn a hat die Gleihung ( a 3) + = 0 genau zwei Lösungen? 7. * Zeigen Sie, dass y y für alle, y lr gilt.

8 Übungen Dienstag -8- Auswahl an Musterlösungen d) Der Graph vn f ( ) = 4 + sieht flgendermassen aus. Daraus erkennt man die Lösungsmenge [, 4]. Oder rehnerish: 3 Fälle untersheiden Fall : > 4 IL = { } Fall : < < 4 (, 4) Fall 3: < IL = { } Nh die Grenzen betrahten: = k. Smit: [, 4] =4 k. b)