Klausur Mechanik für Geowissenschaftler WiSe Februar 2014

Transkript

1 Klausur Mehanik für Geowissenshaftler WiSe Februar 04 Matrikelnummer ) Gegeben sei das abgebildete rehtwinklige Dreiek. a β a) Benennen Sie Katheten und Hypotenuse. b) Was ist die Ankathete zu γ? ) Geben Sie sinα, os β und tanγ durh Katheten und/oder Hypotenuse an. d) Skizzieren Sie den Verlauf der sinus-, osinus- und tangens-funktionen. a) Offensihtlih ist γ der rehte Winkel. Damit ist die Hypotenuse und a und b die Katheten. b) Beim rehten Winkel spriht man niht unbedingt von Ankatheten, aber wenn Sie so wollen, könnte man auh beide Katheten als seine Ankatheten bezeihnen. ) sin a/ γ α b α =, os β = a/ ; tanγ ist undefiniert. d) das sind keine undefinierbaren Shlängellinien die Grafik brauht Ahsen samt Werteskalen,5 π/ π 3π/ π 0, ,5 - sinus osinus tangens -, ) Betrahten Sie kartesishe Koordinaten: a) Welhen Winkel nimmt der Vektor (,-,0) zu den Koordinatenahsen ein? b) Wie lauten die Normaleneinheitsvektoren für die x-y-, x-z- und y-z-ebenen?

2 a) Skalarprodukt a b = abos ( a, b) z ; e = (,0,0), e = (0,,0) und e = (0,0,) und damit z.b. x 0 = = + ( ) os α 0 0 osα = = oder α = b) für die x-y-ebene: e = (0,0,), für die x-z-ebene e = (0,,0) und für die y-z-ebene e = (,0,0) y y z x 3) Das Airy-Modell für isostatishes Gleihgewiht von Kontinenten betrahtet Blöke einheitliher Dihte ρ mit untershiedlihen vertikalen Ausdehnungen, die im Erdmantel mit der Dihte ρ m shwimmen. a) Wie muss sih die Dihte der Kontinente zur Dihte des Erdmantels verhalten, damit die Kontinente shwimmen? b) Wie groß ist der Auftrieb eines Bloks der Höhe h? ) Wie hängt die topographishe Höhe y (die Länge, die herausgukt) von der Blokhöhe h ab? d) Welhe topographishe Höhe erhält man für einen Blok der Höhe h = 35 km für Dihten ρ = 700 kg/m 3 und ρ m = 3300 kg/m 3? y ρ h ρ m a) die Kontinente müssen eine geringere Dihte haben: ρ < ρm. b) Auftrieb = Gewihtskraft der verdrängten Flüssigkeit F = ρ ( ) A mgv = ρ mga h y, wenn man die Quershnittflähe des Bloks mit A bezeihnet. ) die nah unten gerihtete Gewihtskraft des Bloks wirkt der nah oben gerihteten Auftriebskraft entgegen; die beiden Kräfte müssen sih ausgleihen, da Gleihgewiht herrsht: Fres = FA G = ρmgv ρgv = ρmga( h y) ρgah = 0 ρm ρ y = h ρ m d) y = 35 km 6.4 km ) An einem Handkarren der Masse m = 5 kg ziehen drei Personen: F = (.5, 3, 0) kn, F = (-0.5, -, 0) kn und F 3 = (-, 4, 0,5) kn (Angaben in einem kartesishen Koordinatensystem (x, y, z) mit der z- Ahse nah oben gerihtet). a) Wird sih der Handkarren in der horizontalen Ebene bewegen? (Rehnen und Zeihnen Sie) b) Was passiert in vertikaler Rihtung?

3 a) in der horizontalen Ebene: F res = F + F + F 3 = kn + kn + kn = kn 3 4 6, d.h. es gibt eine resultierende Kraft in y-rihtung (Zeihnung spare ih mir hier ), auf Grund derer sih der Handkarren in y-rihtung bewegen wird; in vertikaler Rihtung b) Fres, = kn mg = 0.5 kn 50 N = 0. kn, d.h., die Resultierende ist nah unten z gerihtet und der Handkarren bleibt einfah auf dem Boden (der als Wiederlager fungiert und die Gewihtskraft aufnimmt 5) Wie groß ist die Normalspannung unter einem Pfennigabsatz mit einem Durhmesser von m, wenn die Person, die den Shuh trägt, ihr gesamtes Gewiht von 60 kg auf a) einen einzigen Absatz und b) auf beide Absätze verlagert? G mg a) σ n = = 7.6 MPa, b) halb so groß A π d 4 6) Betrahten Sie einen quaderförmigen Pyramidenbaustein Masse m = 3000 kg auf einer shiefen Ebene. Der Reibungskoeffizient der Berührflähe betrage µ = 0.6. a) Der Quader habe eine Dihte ρ = 500 kg/m 3 und eine Grundflähe A = m. Wie hoh ist er? b) Zerlegen Sie die Gewihtskraft des Quaders in eine Komponente parallel und eine normal zur shiefen Ebene und geben die Größe dieser Komponenten an. ) Ist das Seil für die Siherung des Quaders vor Abrutshen nötig? Wird das Seil ausgelenkt und wenn ja um wieviel? (Vergleihen Sie die Hangabtriebskraft mit der Reibungskraft; betrahten Sie das Seil als eine Feder mit der Federkonstanten D = 5 kn/m.) d) Das Seil habe eine Anfangslänge von 5 m und einen Durhmesser von 0 m. Um wieviel ändert sih der Durhmesser, wenn das Seil eine Poisson-Zahl von 0.3 aufweist. α = 35 m 3000 kg m = ρv = ρah h = = =. m ρ A 500 kg/m m a) 3 b) G = Gos α; G = Gsinα, der Winkel α lässt sih auf das Zerlegungsdreiek übertragen (Winkel, deren Shenkel paarweise senkreht aufeinander stehen, sind gleih groß)

4 G G G α = 35 ) hier muss man betrahten, ob die Hangabtriebskraft G die Reibungskraft FR G = mg sinα 3000 kg 0 m/s sin(35 ) = 7. kn, F G mg R = µ = µ osα kg 0 m/s os(35 ) = 4.7 kn = µ G übershreitet; da das hier der Fall ist, wirkt auf das Seil eine Kraft von FS = G FR.5 kn und die Auslenkung FS.5 kn errehnet sih zu FS = FF = Dx x = = 0.5 m D 5 kn/m d) die relative Längenänderung beträgt ε axial = x/ l0 = 0.5 m / 5 m = 0.0, aus v = εquer / ε erhält axial man dann εquer = vεaxial = = für die relative Durhmesserreduzierung und absolut d = εquerd0 = 0.06 m = 0.6 mm 7) Zwei Personen der Massen m und m sitzen im Abstand r und r vom Drehpunkt einer Wippe. a) Geben Sie die Drehmomente für die horizontal ausgerihtete Wippe an. b) Geben Sie allgemeiner die Drehmomente als Funktion des Wippenwinkels zur Horizontalen an. a) M = mgr und M = mgr, wenn man das vektoriell korrekt mahen möhte, würde man z.b. die Wippe in die x-ahse legen und die Gewihtskraft entgegen der z-ahse; die Drehmomente M i = ri G i liegen dann entlang der y-ahse; b) für das Kreuz- oder Vektorprodukt gilt: Mi = rg i isin ( ri, Gi) (für rg i, i = π ( 90 ) ist der Sinus und damit erhält man die unter a) gegebenen Drehmomentbeträge; hier rg i, π i = + ϕ, wenn man den π Winkel mit der Horizontalen als ϕ bezeihnet, so dass Mi = rg i isin + φ = rg i ios( φ ), was man sih auh geometrish mit verkürztem Hebelarm r veranshaulihen kann) r r φ G

5 8) a) Was sagen die beiden Impulserhaltungssätze aus und b) welhe Rolle spielen darin die Größen Kraft und Drehmoment? a) Erhaltung des linearen Impulses: ein Körper verharrt in Ruhe oder bewegt sih mit konstanter Geshwindigkeit, wenn keine resultierende Kraft auf ihn wirkt: die zeitlihe Änderung des linearen Impulses gleiht der resultierenden Kraft p = F ; Erhaltung des Drehimpulses: ein Körper verharrt in Ruhe oder res bewegt sih mit konstanter Drehgeshwindigkeit, wenn kein resultierendes Drehmoment auf ihn wirkt: die zeitlihe Änderung des Drehimpulses gleiht dem resultierenden Drehmoment l = M ; b) siehe Antwort a) 9) a) Skizzieren Sie die Mohr shen Kreise für einen drei-dimensionalen Spannungszustand. b) Wo liegen die realisierten Spannungszustände? ) Wo treten im Mohr shen Kreis die geringsten Sherspannungen und Normalspannungen auf? d) Wie nennt man die Rihtungen der Normalen der Flähen, in denen keine Sherspannungen herrshen? res Sherspannung σ 3 σ Normalspannung σ a) b) in der blau gefärbten Flähe ) Sherspannungen sind null für die Hauptnormalspannungen (liegen auf der x-ahse); die kleinste Hauptnormalspannung ist die kleinste auftretende Normalspannung d) Hauptspannungsrihtungen 0) a) Wie sieht die Matrizendarstellung des Spannungstensors σ für gleihförmigen Druk p (isostatishe Spannungsverhältnisse) aus? b) Nutzen Sie die Darstellung des Spannungstensors aus a), um den Zusammenhang zwishen Kompressionsmodul K und dem Paar, Elastizitätsmodul E und + ν ν Poisson-Zahl ν, zu ermitteln? ε = σ Sp( σ) Ε, θ = Sp( ε), p = Kθ (die Größe θ gibt E E die relative Volumenänderung an). 0 0 a) σ = 0 0 p = Ep, b) ν ν + ν ν θ = Sp( ε) = Sp σ Sp( σ) Ε = Sp( σ) Sp( σ) Sp( Ε) E E E E + ν ν + ν ν + ν 3ν = psp( Ε) psp( Ε) Sp( Ε ) = p3 p3 = 3 p E E E E E E ν = 3 p E

6 (die Spur der Einheitsmatrix ist ++=3) und damit Werkzeugkasten: FR = µ Fn FF = Dx v = ε / ε quer axial E K = 3( ν )