12. Lagrange-Formalismus III

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1 Übungen zur T: Theoretishe Mehanik, SoSe3 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45. Lagrange-Formalismus III Dr. James Gray Übung.: Eine Gitarrensaite Wir betrahten eine Saite die zwishen den zwei festen Punkten =,y =un = l, y = eingesannt ist. Die Funktion y(, t) beshreibt kleine transversale Auslenkungen der Saite um ihren Ruhezustand für (,l)undt>. Die Saite hat eine konstante Dihte µ (Masse ro Längeneinheit) und eine konstante Sannung F. a) Zeigen Sie, dass die kinetishe und otentielle Energie der Saite durh T = µ dt s V = dy + A geben sind. Vernahlässigen Sie dabei die Erdanziehungskraft. b) Die Auslenkung y wird nun als sehr klein angenommen, es gilt also dy <<. Nähern sie für diesen Fall die Lagrange-Funktion so, dass sie nur noh quadratishe Terme in y enthält. Stellen Sie für diese genäherte Lagrange-Funktion die Euler-Lagrange-Gleihungen auf. Lösung von Übung. a) Wenn die Saite ausgelenkt wird, ändert sih ihre Länge um s l dy + A. Die otentielle Energie F muss, beträgt somit l, also die Arbeit die für diese Längenänderung verrihtet werden V = F dy + A. Die Saite bewegt sih nur entlang der y-ahse. Daher ist ihre kinetishe Energie - wie gewohnt - definiert als das Integral über die Hälfte der Massendihte µ multiliziert mit der Geshwindigkeit in y-rihtung zum Quadrat: T = µ. dt Kombiniert man diese beiden Ergebnisse so ergibt sih die Lagrange-Funktion L µ s dy + AA. dt

2 b) Nun nehmen wir an, dass dy sehr klein ist. In diesem Fall ergibt sih die Näherung! L () µ dy F dy = dt für die Lagrange-Funktion, wobei wir kubishe und noh höhere Ordnungen in dy vernahlässigt haben. Aus der genäherten Lagrange-Funktion folgt die Euler-Lagrange-Gleihung µ d y dt = F d y. Diese artielle Di erentialgleihung beshreibt die Ausbreitung einer Welle in einer Dimension. Die Ausbreitungsgeshwindigkeit beträgt F/µ. Übung.: Atwoodshe Fallmashine Bei einer Atwoodshen Fallmashine sind zwei Punktmassen m und m ü b e r e i n S e i l k o n - stanter Länge l miteinander verbunden. Das Seil läuft über ein reibungsfrei gelagerte Rolle mit dem Radius R (siehe Skizze). Die gesamte Anordnung ist der Erdanziehungskraft ausgesetzt. a) Geben Sie die Lagrange-Funktion L für dieses System an. Nutzen Sie dabei den Abstand als verallgemeinerte Koordinate. b) Stellen Sie mit Hilfe der Lagrange-Funktion die Bewegungsgleihungen auf und lösen Sie diese für die Beshleunigung ẍ. y m m Lösung von Übung. Da das Seil seine Länge + y + R = l niht ändern kann, sind die Höhen und y der beiden Massen niht unabhängig voneinander. Wir können also y durh als y = +onst. () ausdrüken. Also nutzen wir als generalisierte Koordinate. Weiterhin ist aus () sofort ersihtlih, dass ẏ = ẋ gilt. Somit ergibt sih als kinetishe Energie des Systems T = m ẋ + m ẏ = (m + m )ẋ.

3 Gleihzeitig beträgt die otentielle Energie U = m g m gy = (m m )g +onst. Kombinierten wir diese beiden Ergebnisse, so erhalten wir die Lagrange-Funktion L = T U = (m + m )ẋ +(m m )g, in der wir den konstanten Anteil der otentiellen Energie niht mit angeben. Lagrange-Gleihung lautet Die Euler- wodurh sih mit = (m m )g =(m + m )ẍ, ergibt. Aus dieser Gleihung ergibt sih die gesuhte Beshleunigung ẍ = m m m + m g. Wählt man die Massen m und m sehr ähnlih, so ergibt sih eine Beshleunigung die wesentlih geringer als die Fallbeshleunigung g ist. Diese Beshleunigung lässt sih viel einfaher messen als g. Daher stand mit der Atwood shen Fallmashine zum ersten mal eine relativ genaue Methode, um die Fallbeshleunigung zu bestimmen, zur Verfügung. Übung.3: Fermat shes Prinzi Laut dem Fermat shen Prinzi bewegt sih ein Lihtstrahl zwishen zwei festen Punkten entlang der Bahn, die seine Laufzeit minimiert. a) Verwenden Sie das Fermat she Prinzi um das Refleionsgesetz Einfallswinkel = Ausfallswinkel für einen Lihtstrahl an einem Siegel herzuleiten. b) Verwenden Sie das Fermat she Prinzi, um die Brehung beim Übergang eines Lihtstrahls von einem Medium mit der Lihtgeshwindigkeit /n in ein Medium mit der Lihtgeshwindigkeit /n zu beshreiben. Dabei steht für die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum und n bzw. n bezeihnen die Brehungsindizes der jeweiligen Medien. Leiten Sie das Brehungsgesetz n sin = n sin her, wobei und die Winkel zwishen dem Lot auf der Grenzflähe der beiden Medien und dem einfallenden bzw. dem ausfallenden Strahl sind. Lösung von Übung.3 3

4 a) Wir betrahten einen Lihtstrahl der sih von (,y )nah(,y )bewegtunddabeidie Siegeloberflähe am Punkt (, ) berührt (siehe Skizze). (,y ) (,y ) Seine Laufzeit beträgt t = (, ) q ( ) + y + q ( ) + y. Wir suhen das Minimum der Laufzeit und erhalten die Bedingung ( ) = ( ) + y =. () Weiterhin wissen wir das für die Winkel und ( ) + y =sin und ( ) + y =sin gilt. Diese beiden Winkel sind die Einfalls-/Ausfallswinkel des Lihtstrahls (siehe Skizze). Mit ihnen kann () auh als geshrieben werden. Es gilt also sin =sin =, was äquivalent mit dem wohlbekannten Refleionsgesetz Einfallswinkel=Ausfallswinkel ist. b) Nun betrahten wir einen Lihtstrahl, der sih vom Punkt (,y )immediumamitdem Brehungsinde n zum Punkt (,y )immediumbmitdembrehungsinden bewegt. Dabei assiert er die Grenzflähe zwishen den beiden Medien am Punkt (, ) (siehe Skizze). 4

5 (,y ) inde n (, ) inde n (,y ) Die Laufzeit des Strahls beträgt in diesem Fall t = n q ( ) + y + n q ( ) + y. Wir suhen wieder das Minimum dieser Laufzeit in Abhängigkeit von und erhalten = n ( ) + y n ( ) + y =. (3) Mit den folgenden Definitionen ( ) + y =sin und ( ) + y =sin des Ein- und Ausfallswinkel (siehe Skizze) ergibt sih aus (3) das Snell she Brehungsgesetz n sin = n sin. 5