IX. Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik

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1 IX. Lagrange-Formulierung der Elekrodynamik In diesem Kapiel wird gezeig, dass die Maxwell Lorenz-Gleihungen der Elekrodynamik hergeleie werden können, wenn dem Sysem {Punkladung + elekromagneihes Feld} eine Lagrange- Funkion L M +L F +L M+F zugeordne wird, wobei die drei Beiräge jeweils die freie Punkladung, das freie Feld und den Wehselwirkungerm beshreiben. IX.1 Freie Punkladung Die Lagrange-Funkion eines freien Teilhens der Masse m is L M x, v = m 1 v, IX.1 mi x bzw. v der Posiion bzw. der Geshwindigkei des Teilhens. Der ensprehende kanonish konjugiere Impuls is p M x, v m v = IX. v 1 v / und die Euler Lagrange-Gleihungen lauen d p d = 0, ensprehend dem. Newon shen Gesez. Shließlih führ die Inegraion der Lagrange-Funkion IX.1 längs der Bahnkurve des freien Teilhens zur Wirkung S M = b dl M x, v = m IX. Punkladung in einem elekromagneishen Feld τb τ a dτ. IX.3 Jez wird die Bewegung eines geladenen Punkeilhens mi Ladung q in einem fesen elekromagneishen Feld berahe. Die Lagrange-Funkion für den Wehselwirkungserm zwishen Feld und Punkladung laue 13] dx µ L M+F x, v = q A µ, x = qφ, x +q v d A, x. IX.4 Der resulierende kanonishe Impuls der Punkladung im Feld folgus der gesamen Lagrange- Funkion L 1 = L M +L M+F : Π 1 x, v m v = v 1 v / +q A, x. IX.5 Der erse Term im rehen Glied is der kineishe Impuls p der Punkladung. Es gelen zum einen d A d = A + v A und zum anderen 1 x, v x = q φ, x+q v A, x ], IX. Lagrange-Formulierung der Elekrodynamik 80

2 so dass die Euler Lagrange-Gleihung d 1 d v d d m v 1 v / ] = q A = 1 x führ zu, x v ] A, x φ, x + v A, x ]. Aus der Formel für das doppele Kreuzproduk folg v A = v A v A. Mi den Relaionen VII.6 ergib sih dann d p d = q E, x + v B, x ], IX.6 d.h. die Zeiableiung des kineishen Impulses der Punkladung is gleih der Lorenz-Kraf: man findelso das üblihe Resula. Die Lagrange-Funkion IX.4 ensprih der Wirkung S M+F = b dl M+F x, v = q b a dx µ A µ, x = q die wie die Wirkung IX.3 deulih Lorenz-invarian is. τb τ a dτ u µ A µ, x, IX.7 Die Wirkung IX.7 isuh eihinvarian: uner einer Eihransformaion VII.5 änder sih die Lagrange-Funkion IX.4 lau ] χ L M+F L M+F = L M+F +q + v χ = L M+F +q dχ d. Da L M+F und L M+F nur um eine oale Zeiableiung abweihen, unersheiden sih die Wirkungen nur um eine Konsane, die keine Rolle für die Bewegungsgleihungen spiel. Die Wehselwirkung mehrerer Punkladungen mi dem elekromagneishen Feld wird beshrieben durh die Wirkung b S M+F = d q i A 0, x i v i A, x i ] i b = d d 3 r q i δ 3 r x i A 0, r v i A, r ] d 4 x = j µxa µ x. i IX.8 Die Lezere is Lorenz- und eihinvarian. Hamilon-Funkion Die Hamilon-Funkion für die Punkladung im fesen äußeren elekromagneishen Feld is H Π v L = m 1 v / +qφ x. IX.9 Mi dem Vierervekor π µ H/, Π gil p µ = π µ qa µ x. Die Quadraur dieser Gleihhei gib m 4 = p µ p µ = H qφ Π q A, d.h. H x, Π = ] Π q A x +m 4 +qφ x. IX. Lagrange-Formulierung der Elekrodynamik 81

3 Shließlih liefern die Hamilon-Gleihungen die üblihen Bewegungsgleihungen. H Π i = ẋ i, H x i = Π i IX.3 Elekromagneishes Feld mi Quellen In diesem Abshni werden Elemene der klassishen Feldheorie eingeführ Lagrange-Dihe, mi den ensprehenden Euler Lagrange-Gleihungen, Noeher-Theorem... und angewanduf das Beispiel des elekromagneishen Felds. IX.3.1 Klassishe Feldheorie. Hamilon shes Prinzip Es sei ein Feld definieruf dem Minkowski-Raum, 6 das in einem gegebenen Bezugssysem durh N Komponenen ϕ k x, k = 1,...,N beshrieben wird. Diesem Feld wird eine Lagrange-Dihe L ] ϕ k, µ ϕ k zugeordne, die eine explizie Funkional der Komponenen ϕ k und deren Ableiungen µ ϕ k is. Die ensprehende Lagrange-Funkion is durh L = d 3 rl ] ϕ k, µ ϕ k, IX.10a gegeben, wobei die Inegraion auf den ganzen dreidimensionalen Raum durhgeführ wird. Die resulierende Wirkung is b d 4 x S = dl = L ] ϕ k, µ ϕ k. IX.10b Wenn die Lagrange-Dihe ein Lorenz-Skalar is, dann is die Wirkung auomaish Lorenzinvarian. Zwei Lagrange-Dihen, die um eine 4-Divergenz µ Λ µ abweihen, ensprehen Wirkungen, die dieselben Bewegungsgleihungen liefern. Solhe Lagrange-Dihen sind also äquivalen. Die Variaion der Wirkung für eine Variaion δϕ k des Felds is d 4 x δs = δϕ k + ] ϕ k µ ϕ k δ µϕ k, worin über doppelufreende Indizes k und µ summier wird. Da δ µ ϕ k = µ δϕ k, kann der zweie Term durh parielle Inegraion berehne werden. Der resulierende Oberflähenerm kann weggelassen werden 7 und es folg d 4 ] x δs = µ δϕ k. ϕ k µ ϕ k Die Wirkung is saionär Hamilon shes Prinzip wenn δs = 0 für beliebige Variaionen δϕ k, d.h. wenn das Feld und dessen Ableiungen genügen den Euler Lagrange-Gleihungen µ =. µ ϕ k ϕ k 6 Tasählih kann man ein Feld eines beliebigen Zeiraum berahen. 7 An den Endpunken, ensprehend dem Oberflähenerm, werden die Felder nih variier. IX.11 IX. Lagrange-Formulierung der Elekrodynamik 8

4 IX.3. Sandard Lagrange-Dihe des freien elekromagneishen Felds Lau Gl. IX.8 und IX.10b kann man die Lagrange-Funkion für den Wehselwirkungserm als das Inegral der Lagrange-Dihe L M+F x = j µ xa µ x IX.1 umshreiben. In dieser Lagrange-Dihe ri das elekromagneishe Feld in der Form des Poenials A µ, nih des Feldsärkeensors F µν auf: die Freiheisgrade sind also die Komponenen A µ. Die Lagrange-Dihe für das freie elekromagneishe Feld is L F A µ, ν A µ ] = 1 F µν xf µν x = ǫ 0 E, r ] B, r. IX.13 4µ 0 Ein elekromagneishes Feld in Anwesenhei von fesen Quellen is dann beshrieben durh die Lagrange-Dihe L A µ, ν A µ ] = L F A µ, ν A µ ]+L M+F A µ, ν A µ ]. Die ensprehenden Euler Lagrange-Gleihungen folgen dann aus M+F A ν = j ν, M+F µ A ν = 0, F A ν = 0 sowie F µ A ν = 1 Fµν F µν = 1 µ A ν F µν = 1 F µν, und lauen 4µ 0 µ A ν µ 0 µ A ν µ 0 j ν x = 1 µ 0 µ F µν x, d.h. geben die inhomogenen Maxwell-Gleihungen wieder. Zum anderen sind mif µν = µ A ν ν A µ Gl. VII.4] die homogenen Maxwell-Gleihungen auomaish erfüll. Da die Lagrange-Dihe IX.13 des freien elekromagneishen Felds nur vom Feldsärkeensor F µν x abhäng, is sie eihinvarian. Im Gegensaz is die Lagrange-Dihe IX.1 für den Wehselwirkungserm zwishen Feld und Punkladung nih eihinvarian. Wie oben shon bermerk wurde is die ensprehende Wirkung aber eihinvarian. In der obigen Herleiung der Bewegungsgleihungen wurde angenommen, dass die Komponenen A ν, ν = 0,1,,3 unabhängig voneinander sind. Wegen der Eihinvarianz der Elekrodynamik is dies aber nih der Fall: das elekromagneishe Feld im Vakuum besiz nih vier Freiheisgrade, sondern nur zwei ensprehend der zwei möglihen linearen Polarisaionen. Die Eihinvarianz der Theorie kann späer durhgesez werden, wie sih am folgenden Beispiel des Energieimpulsensors beobahen läß. IX.3.3 Energieimpulsensor Aus der Invarianz der Elekrodynamik uner einer beliebigen Translaion x µ x µ = x µ +a µ in der Raumzei folg die Exisenz einer Erhalungsgröße, des Energieimpulsensors. IX.3.3 a Noeher-Theorem Es sei wieder die allgemeine Lagrange-Dihe Abshni IX.3.1] L ] ϕ k, µ ϕ k. IX. Lagrange-Formulierung der Elekrodynamik 83

5 Es wird angenommen, dass die resulierende Wirkung d 4 x S = L ϕ k x, µ ϕ k x ] invarian is uner der gleihzeiigen infiniesimalen Transformaion x µ x µ = x µ +δx µ, ϕ k x ϕ k x = ϕ kx+ δϕ k x. IX.14 IX.15a IX.15b Uner dieser Transformaion änder sih das Inegraionsvolumen in Gl. IX.14 gemäß. Die Variaion des Felds δϕ k ϕ k x ϕ k x läß sih mihilfe einer Taylor-Enwiklung zur ersen Ordnung umshreiben als δϕ k = δϕ k x+δx µ µ ϕ k x. IX.15 Dann laue die ransformiere Wirkung IX.14 S d 4 x = L ϕ k x, µ ϕ k x ] d 4 x = L ϕ k x, µϕ k x] + L ϕ k x, µϕ k x] δx µdσ µ, mi der Hyperflähe des Inegraionsvolumens und dσ µ einem Hyperflähenelemen. Die Taylor-Enwiklung zur ersen Ordnung des ersen Terms auf der rehen Seie dieser Gleihung liefer die Variaion der Wirkung S S = = d 4 x d 4 x + ϕ k δϕk µ ϕ k µ δϕ k µ ϕ k µ ϕ k ] + ] δϕ k + Lδx µdσ µ ] dσ µ k +Lδx µ ϕ k δϕ µ, wobei der Übergang von der ersen zur zweien Zeile einer pariellen Inegraion ensprih. Das Volumeninegral vershwinde dank der Euler Lagrange-Gleihungen IX.11. Somi is die Wirkung nur dann invarian uner der Transformaion IX.15, wenn das Oberfläheninegral ebenfalls vershwinde, d.h. wenn dσ µ µ ϕ k ] δϕk δx ν ν ϕ k +Lδx µ dσ µ µ ϕ k δϕ k Man definier den kanonishen Energieimpulsensor = µ ϕ k ν ϕ k η µν L ] δx ν = 0. sowie den Noeher-Srom T µν kan. = N µ = µ ϕ k ν ϕ k η µν L µ ϕ k δϕ k T µν kan. δx ν. IX.16a IX.16b Dami liefer der Saz von Sokes N µ dσ µ = d 4 x µ N µ = 0. IX.16 IX. Lagrange-Formulierung der Elekrodynamik 84

6 Wenn die Felderϕ k im Unendlihen vershwinden, während das Volumen zwishen den Hyperflähen 1 = Konsane und = Konsane darsell, ensprehend dem zeiarigen Hyperflähenelemen dσ µ = d 3 x, 0, dann is d 3 xn 0 eine Konsane der Bewegung. Insbesondere wenn δϕ k = 0, δx ν = a ν d.h. für Translaionen der Raumzei gil für jede der vier Größen P ν d 3 x Tkan 0ν x mi ν = 0, 1,, 3 das Erhalungsgesez 1dP ν = d 3 x 0 Tkan 0ν d x = d 3 x i Tkan iν x = d Sn i Tkan iν x = 0, d.h. es gib vier Erhalungsgrößen. Hier bezeihne ein Inegral bei konsaner Zei. Die Erhalung der P ν sell einen Sonderfall des Noeher-Theorems dar, lau dem zu jeder koninuierlihen Gruppe von Transformaionen der Felder und Koordinaen, die die Wirkung invarian lassen, eine Erhalungsgröße zugeordne werden kann. Die Invarianz der Wirkung uner Translaionen der Raumzei is nur Teil der nöigen Invarianz relaivisisher Theorien uner Elemene der Poinaré-Gruppe. Aus der Invarianz uner Lorenz- Transformaionen der Koordinaen folg die Erhalung des Tensors 3. SufeM µνρ = x ν T µρ kan xρ T µν mi T µν kan dem kanonishen Energieimpulsensor. Außerdem ismµνρ symmerish. In manhen Bühern wird sa der Invarianz der Wirkung uner den Transformaionen IX.15 die srengere Invarianz der Lagrange-Dihe erforder. Diese Bedingung isber zu beshränkend und gil für die Lagrange-Dihe einer Punkladung in einem elekromagneishen Feld nih! Für eine Diskussion s. Lévy-Leblond 14]. In Analogie zur Mehanik einer endlihen Zahl von Freiheisgraden kann man dem Feld ϕ k mi der Lagrange-Dihe L einen kanonish konjugieren Impuls π k 1// 0 ϕ k assoziieren. Dami ergib sih die Hamilon-Dihe Hπ k,ϕ k ] = π k 0 ϕ k L, dessen Inegral über den Raum die Hamilon-Funkion liefer. Aus Gl. IX.16a folg die Gleihhei der Hamilon-Dihe mi der 00-Komponene des kanonishen Energieimpulsensors, H = T 00 kan.. IX.3.3 b Elekromagneisher Energieimpulsensor Aus Gl. IX.16a und der Sandard Lagrange-Dihe IX.13 des freien elekromagneishen Felds ergib sih der kanonishe Energieimpulsensor kan, T µν kan. = F µ A ρ ν A ρ η µν L F = 1 µ 0 F µρ ν A ρ η µν L F. IX.17 Dieser Tensor isber nih eihinvarian! Wenn mann A µ durh A µ = A µ + µ χ ersez, dann ransformier sih T µν kan. in T µν kan. = Tµν kan. 1/µ 0F µρ ν ρ χ. Allgemein exisieren neben dem kanonishen Tensor IX.16a weiere Energieimpulsensoren, die ebenfalls erhalen sind: T µν kan. ˆT µν = T µν kan. + σk µσ,ν, wobei K µσ,ν anisymmerish in µ, σ is: K µσ,ν = K σµ,ν. Man überprüf einfah µˆtµν = µ T µν kan. + µ σ K µσ,ν = 0. IX. Lagrange-Formulierung der Elekrodynamik 85

7 Für das elekromagneishe Feld liefer die Wahl K µσ,ν = 1/µ 0 F µσ A ν einen eihinvarianen Energieimpulsensor T µν = 1 µ 0 F µρ ν A ρ ρ F µρ A ν] η µν L F = 1 µ 0 F µρ ν A ρ F µρ ρ A ν η µν L F, wobei die Maxwell-Gleihung ρ F µρ = 0 benuz wurde. Mi dem Ausdruk IX.13 der Lagrange- Dihe läß sih dieser Tensor umshreiben als T µν = 1 µ 0 F µρ F ν ρ 1 4 ηµν F ρσ F ρσ. IX.18 Man findelso Gl. VII.9 wieder. Lieraur Jakson 4], Kapiel 1.1, 1.7, 1.10 Landau Lifshiz 5], Kapiel Shek 15], Kapiel 3 Shwinger 1], Kapiel 8 & 9. IX. Lagrange-Formulierung der Elekrodynamik 86