M 8 Schallgeschwindigkeit von Gasen

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1 M 8 Shallgeshwindigkeit von Gasen 1. Aufgabenstellung 1.1 Bestimmen Sie die Shallgeshwindigkeit in Luft und vorgegebener Gase. 1. Berehnen Sie die zugehörigen Adiabatenexponenten. 1.3 Überprüfen Sie den Einfluss der Temperatur auf die Shallgeshwindigkeit in Luft. 1.4 Diskutieren Sie die Fehlerquellen und führen Sie eine Größtfehlerberehnung zu allen Ergebnissen durh.. Theoretishe Grundlagen Stihworte zur Vorbereitung : harmonishe Shwingung, stehende Wellen, Shallwellen, Kundt shes Rohr, Adiabatenexponent, ideales Gas Literatur : A. Reknagel Shwingungen und Wellen, Wärmelehre Kap. 1.8, 1.9, 1.11,.1,.,.3, Verlag Tehnik Berlin W. Ilberg Physikalishes Praktikum für Anfänger, Mehanik Kap. 8.0, 8.1, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellshaft, Leipzig 1979 Grimsehl Lehrbuh der Physik, Bd. I Kap. 9.1, 9.9, 10.4, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellshaft, Leipzig 1991 Gerthsen, Vogel Physik, Kap ; ; 4.5. Springer 1993 Bergmann-Shäfer Lehrbuh der Experimentalphysik, Bd. I Kap. 85 W. de Gruyter 1990 Erstelldatum

2 .1 Kennzeihen von Wellen Unter einer Welle versteht man einen zeitlih und räumlih periodishen Vorgang, bei dem sih ein Shwingungszustand mit bestimmter Geshwindigkeit ausbreitet. Eine eindimensionale Welle, bei der sih der Shwingungszustand in Rihtung der x- Ahse ausbreitet und von der y- und z-koordinate unabhängig ist, kann durh Gl.(1) beshrieben werden ( t x) ψ 0 ψ, x sin = ω t Gl.(1) stellt eine ebene harmonishe Welle dar, deren Shwingungszustand (Phase) sih mit der Geshwindigkeit in Rihtung der x-ahse ausbreitet, wobei ψ (t, x) der Momentanwert der periodishen physikalishen Größe ψ 0 ω die Amplitude und die Kreisfrequenz der Shwingung ist. x Das Argument der Sinusfunktion, in diesem Fall ω t, ist die Phase. Sie harakterisiert den Shwingungszustand zu einem bestimmten Zeitpunkt bzw. an einem bestimmten Ort. Entsprehend der zeitlihen und räumlihen Periodizität einer Welle kann sie auf zwei vershiedene Arten dargestellt werden (Abb. 1). Einmal entnimmt man der Abbildung die Wellenlänge (Abb. 1a) als Periodizität, zum anderen die Shwingungsdauer T (Abb. 1b). y( t,x)=f( x) y( x,t)=g( t) (1) y 0 y 0 a) b) x T t Abb.1: Darstellungsformen einer Welle a) fester Zeitpunkt, b) fester Ort Die Wellenlänge und die Frequenz f einer Welle sind über die Ausbreitungsgeshwindigkeit miteinander verknüpft f =. () Ein weiteres allgemeines Kennzeihen jeder Welle ist der Energietransport, denn zur Erzeugung einer Welle muss man eine bestimmte Arbeit aufwenden, die sih dann als Energie durh den Raum mit der Welle fortpflanzt. Der zeitlihe Mittelwert der in Erstelldatum

3 einem Volumenelement enthaltenen Energie ist proportional dem Quadrat der Wellenamplitude. Stimmen bei einer Welle Shwingungsrihtung und Ausbreitungsrihtung überein, so bezeihnet man die Welle als Longitudinalwelle. Ist die Shwingungsrihtung senkreht zur Ausbreitungsrihtung, so heißt diese Welle Transversalwelle. Da bei Longitudinalwellen Verdihtungen und Verdünnungen auftreten, sind solhe in allen Medien möglih, die Volumenelastizität besitzen, d. h. in festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen. In festen elastishen Stoffen sind auh Transversalwellen möglih, weil im Festkörper Sherkräfte auftreten können.. Stehende Wellen Jede Überlagerung von Wellen bezeihnet man als Interferenz, falls das Prinzip von der ungestörten Superposition gilt, d.h. jede Welle breitet sih so aus, als ob die anderen Wellen niht vorhanden wären. Eine wihtige Interferenzersheinung erhält man, wenn sih zwei Wellen gleiher Amplitude und Wellenlänge, aber entgegengesetzter Fortpflanzungsrihtung, überlagern. Addiert man z. B. zu der durh Gl.(1) dargestellten Welle ψ (, ) 1 t x eine Welle ( t x ) ψ, 0 x ψ sin = ω t +, (3) die sih in Rihtung der negativen x-ahse ausbreitet und keine Phasendifferenz gegenüber ψ (, ) 1 t x hat, so erhält man durh Überlagerung eine resultierende Welle ψ R, deren Ausdruk sih mit Hilfe des Additionstheorems vereinfahen lässt: x x ψ R = ψ1 + ψ = ψ 0 sin ω t 0 sin t + ψ ω + ω x π x ψ R = ψ 0 os sinω t = ψ 0 os sin ω t. In Gl.(4) tritt das harakteristishe Argument ω t (4) x ± einer Welle, das die Aus- breitung der Phase darstellt, niht mehr auf. Man bezeihnet deshalb die resultierende Welle als stehende Welle. Die Zeit t und die Ortskoordinate x ersheinen getrennt voneinander in zwei vershiedenen Faktoren. Dabei stellt sinω t eine im ganzen Raum phasengleihe Shwingung dar. Erstelldatum

4 Den Ausdruk ψ os ψ ( x) π x = kann man als Amplitude auffassen, die eine 0 0 π x periodishe Funktion von x mit der Periode ist. Für alle Raumpunkte, die der Beziehung ( n ) π = + 1 mit n = 0, 1,,... (5) genügen, wird die resultierende Welle ψ R gleih Null. Man bezeihnet diese Stellen der Ruhe als Shwingungsknoten, die Maximalwerte von ψ R als Shwingungsbäuhe. Auh andere physikalishe Größen der Wellen zeigen die gleihe Periodizität. So gibt es bei Longitudialwellen außerdem Drukbäuhe und knoten. In einer Verdihtung einer Longitudialwelle herrsht maximaler, in einer Verdünnung minimaler Druk. Der Druk p einer in x-rihtung sih ausbreitenden Longitudialwelle ist proportional der räumlihen Veränderung des Momentanwertes, d. h. aus Gl.(4) folgt p ψ x 4πψ πx R 0 ~ = sin sin ω t. Aus Gl.(6) kann man ablesen, dass p = 0 an den Stellen x wird, an denen die Shwingungsbäuhe liegen. Die Drukknoten fallen mit den Shwingungsbäuhen zusammen und umgekehrt. Zur experimentellen Erzeugung stehender Wellen lässt man z. B. eine Welle an einem Hindernis so reflektieren, dass sie in sih selbst zurükläuft. Die einlaufende Welle (punktierte Kurve, Abb. ) erleidet bei Reflexion am dihteren Medium einen Phasensprung von π (entspriht /) und überlagert sih mit der reflektierten Welle (gestrihelte Kurve) zu einer resultierenden Welle (ausgezogene Kurve). In Abb. ist in den Darstellungen 1 bis 5 die einlaufende Welle jeweils um /5 vershoben. Rehts von der Grenzlinie des dihteren Mediums ist jeweils die um / vershobene einlaufende Welle eingezeihnet, deren Spiegelung an der Grenzlinie die reflektierte Welle ergibt. Im untersten Teilbild sind die resultierenden Wellen für die 5 dargestellten Zustände zusammengezeihnet. Aus Abb. entnimmt man, dass in Abständen von / Shwingungsknoten entstehen, nämlih an den Stellen x = ( n+ 1) nah Gl.(5). Infolge des Phasensprungs π bei Reflexion am dihteren 4 Medium befindet sih an der Reflexionsstelle ein Knoten. (6) Erstelldatum

5 / dihteres Medium Abb.: Ausbildung einer stehenden Welle.1 Erzeugung stehender Wellen Erstelldatum

6 Breitet sih eine Welle in einem Stab, einer Flüssigkeits- oder einer Gassäule aus, so wird sie an beiden Enden reflektiert. Es entsteht nur dann ein stationäres Interferenzfeld, wenn Wellenlänge und Ausdehnung des Mediums (Länge des Stabes, der Gassäule) in einem bestimmten Verhältnis stehen. Statt von stehenden Wellen spriht man auh von Eigenshwingungen des Körpers. Erregt man einen Körper mit einer seiner Eigenfrequenzen, dann besteht zwishen dem Erreger (1) und dem angeregten Körper () Resonanz, d. h., ihre Frequenzen sind gleih und damit ist nah Gl.() =. (7) 1 1 Bei einer Gassäule, die durh ein dihteres Medium abgeshlossen ist und an deren Enden deshalb Shwingungsknoten auftreten, tritt Resonanz auf, wenn die Länge der Gassäule der Bedingung l = n n= 1,,3,... (8) genügt.. Shallausbreitung in einem Medium Für den Abstand x zwishen der ersten und letzten gut erkennbaren Knotenstelle gilt bei n dazwishen liegenden Shwingungsbäuhen: x = n, (9) da der Abstand benahbarter Knotenstellen gerade eine halbe Wellenlänge beträgt. Da die Frequenz der Shallwellen in vershiedenen Medien gleih ist, gilt für die Shallgeshwindigkeit in vershiedenen Medien M1 und M: f M1 = M1 M M = f. (10) Bei Kenntnis der Shallgeshwindigkeit in einem Medium, z. B. Luft, lassen sih daher die Shallgeshwindigkeiten in anderen Medien berehnen, auh wenn die Frequenz unbekannt ist. Zur weiteren Auswertung der Messungen soll als nähstes eine Formel für die Ausbreitungsgeshwindigkeit einer Longitudialwelle in einem Metallstab abgeleitet werden. Erstelldatum

7 Die x-ahse liegt in der Längsahse des Stabes. Infolge einer longitudialen Verformung werden Teilhen des Stabes mit einer Ruhelage bei x 0 an die Stelle x vershoben. Für die Vershiebung eines Teilhens kann man shreiben: ( ) 0 u x, t = x x. (11) Auf Grund der Teilhenauslenkung wird aus einem Ausgangsvolumenelement dv = Adx ein Volumenelement der Größe Ad x. Durh Differentation von Gl.(11) 0 nah x bei konstant gehaltener Zeit t erhält man die relative Längenänderung des Volumenelementes d ( 0 ) x x u =. (1) dx x Nah dem Hooke shen Gesetz besteht zwishen einer elastishen Spannung σ und der dadurh verursahten Verformung (in dem hier betrahteten Fall Dehnung) der Zusammenhang wobei E den Elastizitätsmodul und Gl.(13) ergibt sih daraus l σ = E l l l, (13) die relative Längenänderung bedeutet. Mit u σ = E. (14) x Diese Spannung gelte für die linke Seite des herausgegriffenen Volumenelementes der Masse dm = ϕ A d x des Stabes. Allgemein wird sih der Spannungszustand längs d x um dσ = σ d x ändern. Die auf das Masseelement wirkende Kraft x df = Adσ ist mit Gl.(14) u d F = AE d x. x (15) Andererseits ruft diese Kraft an dem Element die Beshleunigung a ~ hervor. Mit der Newton shen Bewegungsgleihung df = adm bzw. u t Erstelldatum

8 u A E d x = ρ Ad x x u t (16) folgt dann: ρ u u = 0, E t x (17) die Wellengleihung für den betrahteten Stab. Andererseits gilt generell für jedes eindimensionale Wellenproblem die Wellengleihung 1 u u = 0, t x wobei die Fortpflanzungsgeshwindigkeit der Welle bedeutet. Durh Vergleih von Gl.(17) und (18) erhält man den Zusammenhang zwishen den elastishen Eigenshaften des Mediums und der Fortpflanzungsgeshwindigkeit von Wellen in diesem Medium. (18) E = (19) ρ Diese Beziehung kann benutzt werden, um aus den Materialkonstanten eines Festkörpers die Shallgeshwindigkeit in diesem Stoff zu bestimmen. Umgekehrt wird mit Hilfe von Ultrashallerzeugung in den Materialien deren Elastizitätsmodul ermittelt. Beispiel für die Größenordung der Shallgeshwindigkeit in Festkörpern: Blei: Pb =100 ms -1 Aluminium: Al = 5040 ms -1. Betrahtet man statt eines Stabes eine Flüssigkeits- oder Gassäule, so kann man einen zu Gl.(19) analogen Ausdruk herleiten. Im Gegensatz zu Festkörpern sind Flüssigkeiten und Gase nur durh eine einzige elastishe Konstante harakterisiert, den Kompressionsmodul Q, der durh die Gleihung definiert ist, wobei V V Drukänderung bedeuten. V p = Q (0) V die relative Volumenänderung und p die dazu nötige In dem betrahteten Fall einer Gassäule gilt V = A a und V = Aa a = Länge der Gassäule). Da p = σ ist, erkennt man die Analogie zu Gl.(14). Demzufolge Erstelldatum

9 ist auh der Ausdruk für die Shallgeshwindigkeit analog, nur dass an die Stelle des Elektrizitätsmoduls E der Kompressionsmodul Q tritt. Für Flüssigkeiten und Gase gilt demnah Q =. (1) ρ Auf Grund des großen Kompressionsmoduls ergeben sih in Flüssigkeiten Fortpflanzungsgeshwindigkeiten, die etwa zwishen 800 ms -1 und 1800 ms -1 liegen (z. B. in Wasser von 0 C ist = 1485 ms -1 ). Betrahtet man die Gase als sogenannte ideale Gase, so lässt sih für V folgendes ableiten: Bei infinitesimal kleinen Drukänderungen dp (dazugehörige Volumenänderung dv ) gilt nah Gl.(1) Q dp = V. () d V Da die Gaskompressionen bei der Ausbreitung des Shalls sehr shnell und demzufolge ohne Wärmeaustaush also adiabatish erfolgen, muss zur Berehnung von d p dv Diese lautet: die adiabatishe Zustandsgleihung verwendet werden. pv χ = onst. mit dem Adiabatenexponenten χ = p V, dem Verhältnis der spezifishen Wärmekapazitäten bei konstantem Druk und konstantem Volumen. Da pv χ = onst. ist, muss die Änderung dieser Produktgröße d( pv χ ) = 0 sein: χ χ χ 1 ( ) χ d pv = V d p + p V dv = 0 d p p. dv = V χ Der Vergleih mit Gl. () ergibt: Q = p χ und mit Gl. (1): p χ =. (3) ρ Erstelldatum

10 m n M Ersetzt man ρ = V = V mit Hilfe der Zustandsgleihung für ideale Gase p M p V = n R T, so erhält man ρ =. RT (R = 8,31 J K -1 mol -1, allgemeine Gaskonstante) Für die Ausbreitungsgeshwindigkeit gilt somit: χ RT =. (4) M Die Ausbreitungsgeshwindigkeit von Shallwellen in Gasen ist proportional T jedoh unabhängig vom Druk bzw. von der Gasdihte. Das gilt streng nur für ideale Gase. Diese Tatsahe lässt sih im molekularen Bild anshaulih erklären. In Gasen wirken keine koppelnden Kräfte, der Shall in ihnen ist deshalb stets eine Longitudinalwelle. Wird eine Shallwelle z.b. durh eine Stimmgabel erzeugt, werden die Moleküle diht an der Gabel in Rihtung der Stimmgabelbewegung angestoßen. Durh Zusammenprall mit etwas entfernteren Molekülen (in der nähsten dünnen Luftshiht) übertragen sie die erhaltene Energie auf diese. Diese ihrerseits stoßen Moleküle der nähsten Shiht an und so pflanzt sih die Energie durh das Gas fort. Da die Gasmoleküle eine verhältnismäßige lange Streke (die sogenannte mittlere freie Weglänge) zurüklegen müssen, ehe sie Moleküle in der nähsten Shiht treffen, wird die Fortpflanzungsgeshwindigkeit des Shalls im wesentlihen durh die Geshwindigkeit der Wärmebewegung der Moleküle bestimmt. Da die Wärmegeshwindigkeit der Teilhen bei fester Temperatur unabhängig davon ist, ob das Gas komprimiert oder verdünnt ist und da die kinetishe Energie der Moleküle proportional der absoluten Temperatur ( ~ T ) ist, ist der oben erwähnte Effekt erklärlih. Durh Umstellen der Gl.(4) lässt sih der Adiabatenexponent χ berehnen. 3. Versuhsdurhführung 3.1 Allgemeine Vorgehensweise Der zur Shallgebung genutzte Lautspreher ist an einem Frequenzgenerator (Hinweise zur Bedienung beahten!) angeshlossen, sodass vershiedene Signalformen und Frequenzen gewählt werden können. Am Frequenzgenerator wird eine Sinusspannung im Bereih von 700 Hz bis 4000 Hz eingestellt. Dies wird durh den gro- Erstelldatum

11 ßen Drehregler realisiert, wenn die Frequenzeinstellung gewählt ist (niht die Amplitudeneinstellung!). Die Amplitude ist am Frequenzgenerator auf 1% zu regeln, da bei zu großen Lautstärken das Mikrofon übersteuert. Abb.3: Shematisher Versuhsaufbau Es ist darauf zu ahten, dass zur Messung neben dem Oszilloskop auh die sog. Battery Box des Mikrofons eingeshaltet sein muss. (Diese Box ist, falls längere Zeit niht benötigt und am Versuhsende, zur Shonung der Batterien wieder abzushalten). Vershiebt man nun das Mikrofon innerhalb der Plexiglasröhre, so kann man auf dem angeshlossenen Oszilloskop die Amplitude der Shallwelle am Ort der Mikrofonspitze darstellen. Durh Vershieben wird die Wegdifferenz x von erstem und letztem Shwingungsknoten bestimmt sowie die Anzahl n der dazwishen liegenden Shwingungsbäuhe. Am Frequenzgenerator und am Oszilloskop ist die Verstärkung so einzustellen, dass die Knoten optimal vermessen werden können. Die Wellenlänge berehnet sih zu: x =. (5) n Erstelldatum

12 3. Messung in Luft Die Shallgeshwindigkeit in Luft L soll für zwei einzustellende Frequenzen bestimmt werden. Die Messungen sind jeweils 5mal zu wiederholen. 3.3 Messung an einem vorgegebenen Gas Das Einregeln des erforderlihen Gasdrukes am Reduzierventil der Drukgasflashe und das Öffnen der übrigen Ventile erfolgt nur durh den betreuenden Assistenten! Als Gas wird entweder CO oder Argon verwendet. Der Gasshlauh wird an der Mirkofonseite auf eine der Anshlussstutzen des Rohres gestekt. Dabei ist zu beahten, dass Gase, welhe shwerer sind als Luft, unten einströmen sollten und leihtere oben. Man lässt das Gas einige Minuten strömen, ehe man mit der Messung beginnt. Die Messung wird wie bei Luft, aber mit strömendem Gas und nur für eine Frequenz durhgeführt. 3.4 Temperaturabhängigkeit der Shallgeshwindigkeit Da der Teilversuh in Luft durhgeführt wird, sollte der Lautspreher einige Minuten vor der Durhführung aus der Anordnung entfernt werden, damit das vorher benutzte Gas shneller aus der Röhre ausströmen kann. Eventuell kann die Verwendung eines Föns dies zusätzlih beshleunigen. Für die Temperaturabhängigkeit der Shallgeshwindigkeit in Luft gilt im Bereih der Zimmertemperatur in guter Näherung folgende Korrekturformel: / ϑ L ms-1 = 331,6 + 0,6, C wobei ϑ die Temperatur in C ist. Durh den Gehalt an Wasserdampf ändert sih die Shallgeshwindigkeit (gegenüber trokener Luft) nur unmerklih. Da es shwierig ist mit dem Heizdraht eine gleih bleibende Temperatur innerhalb der Röhre zu realisieren, sollen hier bis 3 Messungen pro Knoten ausreihen. Das Stromversorgungsgerät des Heizdrahtes wurde so gewählt, dass bedenkenlos die volle Leistung eingestellt werden kann (0 V/5 A), jedoh darf die Temperatur innerhalb der Röhre 80 C niht übershreiten um Beshädigungen zu vermeiden. Ist die Messtemperatur erreiht, ist es zwekmäßig kurz zu warten bis sih innerhalb des Röhrenvolumens ein ungefähres Gleihgewiht zwishen Aufheizen durh den Heizdraht und Abkühlung eingestellt hat. Unter Umständen ist dazu die Leistung des Versorgungsgerätes zu erniedrigen. (6) Erstelldatum

13 4. Kontrollfragen 4.1 Erläutern Sie den Untershied zwishen Shwingungen und Wellen. 4. Erläutern Sie das Zustandekommen stehender Wellen. 4.3 Was ist Shall und wovon ist seine Ausbreitungsgeshwindigkeit in Gasen abhängig? 4.4 Leiten Sie die Näherungsformel Gl.(6) für die Shallgeshwindigkeit in Luft her. 4.5 Bei einer stehenden Welle entstehen Knoten und Bäuhe der Geshwindigkeit. An welhen Stellen liegen sie. 4.6 Was versteht man unter dem Begriff Obershwingung? Erstelldatum