Transportprozesse (molekulare Interpretation)

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1 Transportproesse (molekulare Interpretation) Der Ausgangspunkt der Betrahtung ist die ufällige Bewegung von Molekülen in Gasen. Die kinetishe Gastheorie kann ur molekularen Interpretation makroskopisher Größen herangeogen werden, wie bereits im ersten Kapitel an den Beispielen der molekularen Interpretationen des Druks und der Temperatur geeigt wurde, wobei sie sih nur auf die folgenden drei Annahmen gründet: Das Gas besteht aus Molekülen der Masse m in kontinuierliher, ufälliger Bewegung. Die Größe der Moleküle ist vernahlässigbar gegenüber der Wegstreke, die sie wishen wei Zusammenstößen urüklegen. Es gibt keine Wehselwirkungen wishen den Molekülen außer gelegentlihen kuren, elastishen Stößen. Von elastishen Stößen wird gesprohen, wenn die Translationsenergie der Stoßpartner erhalten bleibt, also keine Energie auf innere Freiheitsgrade übertragen wird. Hans-Ulrih Morit Universität Hamburg

2 Druk und Molekülgeshwindigkeiten Wie bereits früher geeigt wurde (Kap. ), besteht folgende Beiehung wishen wishen Druk und Volumen eines idealen Gases: pv nm 3 wobei die molare Masse der Moleküle M ist und ihre quadratish gemittelte Geshwindigkeit M mn A v Die quadratish gemittelte Geshwindigkeit sett sih aus den quadratish gemittelten Geshwindigkeitskomponenten in den drei Raumrihtungen usammen: v vx + vy + Da sih die Moleküle ufällig bewegen, sind die Mittelwerte der drei Komponenten gleih groß: oder v v v 3 Nah dem weiten Newton shen Axiom ergibt sih der Druk auf die Wand aus der Geshwindigkeit der Impulsänderung der in einer Box in x-rihtung hin und her fliegenden Moleküle u: p nm v V x v oder Hans-Ulrih Morit Universität Hamburg x pv x nm 3 3

3 Druk und Molekülgeshwindigkeiten Daraus folgt mit dem Idealen Gasgeset: pv nrt pv nm 3 für quadratish gemittelte Geshwindigkeit : 3RT M Aus der Maxwell shen Geshwindigkeitsverteilung ergeben sih für die mittlere Geshwindigkeit die wahrsheinlihste Geshwindigkeit die mittlere Relativgeshwindigkeit 8RT πm RT * M 8RT πm rel Hans-Ulrih Morit Universität Hamburg 3

4 Mittlere freie Weglänge und Stoßhäufigkeit Die Stoßhäufigkeit (Anahl der Stöße eines Moleküls pro Zeiteinheit mit N Molekülen im Volumen V beträgt: oder mit Die mittlere freie Weglänge berehnet sih nah oder N σrel V σrelp kt λ kg λ kg kt σp λ kg σ πd Stoßquershnitt rel 8RT πm 8RT πm Hans-Ulrih Morit Universität Hamburg 4

5 Transporteigenshaften von Fluiden Diffusion, der Transport von Materie in Rihtung eines Konentrationsgradienten Wärmeleitung, der Transport von Energie in Rihtung eines Temperaturgradienten elektrishe Ladung, der Transport elektrisher Ladung in Rihtung eines Potenialgradienten Viskosität, der Transport von Impuls in Rihtung eines Geshwindigkeitsgradienten Hans-Ulrih Morit Universität Hamburg 5

6 Für das grundlegenden Verständnis und die Auslegung hemisher und verfahrenstehnisher Proesse sind die folgenden drei Transportphänomene von überragender Bedeutung: Stofftransport Wärmetransport Impulstransport Stoffübergang und Stoffdurhgang Wärmeübergang und Wärmedurhgang Fluiddynamik (Hydrodynamik) In der Praxis treten sie häufig gemeinsam auf. Aus didaktishen Gründen werden sie hier separat naheinander behandelt. Es soll aber betont werden, daß es viele Analogien wishen diesen Transportproessen gibt, u denen auh die sie beshreibenden Grundgleihungen gehören: Stofftransport Wärmetransport Fundamentale Transportgesete Diffusion. Fikshe Geset Wärmeleitung. Fouriershe Geset Impulstransport Viskosität Newtonshes Geset Auf der mikroskopishen Größenskala liegen den Transportproessen eng verwandte Molekülbewegungen und wehselwirkungen ugrunde. Weiterführende Literatur: R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot: Transport Phenomena, Wiley, 00 Hans-Ulrih Morit Universität Hamburg 6

7 Fundamentale Transportgesete Die Grundgleihungen ur eindimensionalen Beshreibung des stationären Transports von Stoff, Wärme und Impuls sind analog aufgebaut: Stofftransport. Fikshes Geset Wärmetransport. Fouriershes Geset Impulstransport J i ni & A Q q& & A D λ i dt dx dc dx i Zustandsgrößen in den Gleihungen Konentration Temperatur Impulsdihte Newtonshes Reibungsgeset τ Fx A du η dy x ηγ& νρ du dy x ν dix dy Bei der physikalishe Definition erfolgt ein Transport gegen den Gradienten (negatives Voreihen), der tehnishe Absat geht von einer positiven Geshwindigkeit aus (pos. Voreihen im Reibungsgeset). Hans-Ulrih Morit Universität Hamburg 7

8 Mittlere freie Weglänge und Stoßhäufigkeit Die Stoßhäufigkeit (Anahl der Stöße eines Moleküls pro Zeiteinheit mit N Molekülen im Volumen V beträgt: oder mit Die mittlere freie Weglänge berehnet sih nah oder N σrel V σrelp kt λ kg λ kg kt σp λ kg σ πd Stoßquershnitt rel 8RT πm 8RT πm Hans-Ulrih Morit Universität Hamburg 8

9 Shätwerte der Transportkoeffiienten Stofftransport molekulare Diffusionskoeffiienten Gase ~ 0-5 m s - Flüssigkeiten ~ 0-9 m s - Feststoffe ~ 0-4 m s - Wärmetransport Wärmeleitfähigheitskoeffiienten Gase ~ 0 - W m - K - Flüssigkeiten ~ 0 - W m - K - Nihtmetalle ~ 0 - W m - K - Metalle ~ 50 W m - K - Impulstransport Viskositätskoeffiienten (dynamishe Viskosität) Gase ~ 0-5 Pa s Flüssigkeiten ~ 0-3 Pa s Hans-Ulrih Morit Universität Hamburg 9

10 Vergleih der Felder in Hydrodynamik, Wärme- und Elektriitätslehre Hans-Ulrih Morit Universität Hamburg 0