Klassischer Ladungstransport. Faouzi Saidani. Auf dem Weg zur Nanoelektronik. Faouzi Saidani. Universität Freiburg

Transkript

1 Auf dem Weg zur Nanoelektronik Universität Freiburg 12. Mai 2010

2 Inhalt Das Drudemodell und seine Grundannahmen Gleichstromleitfähigkeit Halleffekt und Magnetwiderstand Wechselstromleitfähigkeit Wärmeleitfähigkeit Zusammenfassung

3 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Einleitung betrachte Leiter als Ionenkristall

4 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Einleitung betrachte Leiter als Ionenkristall übertrage kinetische Gastheorie auf Metalle

5 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Einleitung betrachte Leiter als Ionenkristall übertrage kinetische Gastheorie auf Metalle Einzelatome eines Metallelements kommen zusammen Valenzelektronen spalten sich ab

6 Das Drudemodell und seine Grundannahmen

7 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Annahme 1 WW der Elektronen untereinander vernachlässigbar

8 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Annahme 1 WW der Elektronen untereinander vernachlässigbar Falls E auss = 0 gleichförmige Elektronenbewegung auf einer Geraden

9 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Annahme 1 WW der Elektronen untereinander vernachlässigbar Falls E auss = 0 gleichförmige Elektronenbewegung auf einer Geraden Falls E auss 0 Bewegung nach newtonscher Bewegungsgleichung

10 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Annahme 2 Stöße als momentane Ereignisse, ändern Geschwindigkeit des Elektrons aprupt

11 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Annahme 3 Elektronen stoßen mit Wahrscheinlichkeit 1/τ pro Zeiteinheit

12 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Annahme 3 Elektronen stoßen mit Wahrscheinlichkeit 1/τ pro Zeiteinheit τ =Relaxationszeit=Stoßzeit =Zeit, in der sich ein herausgegriffenes Elektron frei bewegen kann

13 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Annahme 3 Elektronen stoßen mit Wahrscheinlichkeit 1/τ pro Zeiteinheit τ =Relaxationszeit=Stoßzeit =Zeit, in der sich ein herausgegriffenes Elektron frei bewegen kann τ ist von Ort und Geschwindigkeit des Elektrons unabhängig

14 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Annahme 4 Elektronen erreichen das thermodynamische Gleichgewicht ausschließlich durch Stöße

15 Das Drudemodell und seine Grundannahmen Annahme 4 Elektronen erreichen das thermodynamische Gleichgewicht ausschließlich durch Stöße Je wärmer die Region, in der ein Stoß stattfindet, desto schneller geht ein Elektron aus dem Stoß hervor

16 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz I V

17 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz I V Drude-Modell sagt I V voraus und liefert Abschätzung für Größe des Widerstands

18 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz I V Drude-Modell sagt I V voraus und liefert Abschätzung für Größe des Widerstands ρ =spezifischer Widerstand

19 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz I V Drude-Modell sagt I V voraus und liefert Abschätzung für Größe des Widerstands ρ =spezifischer Widerstand j = I /A Stromdichte

20 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz I V Drude-Modell sagt I V voraus und liefert Abschätzung für Größe des Widerstands ρ =spezifischer Widerstand j = I /A Stromdichte E = ρ j

21 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz I V Drude-Modell sagt I V voraus und liefert Abschätzung für Größe des Widerstands ρ =spezifischer Widerstand j = I /A Stromdichte E = ρ j R = ρl/a

22 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen

23 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen effektive Stromdichte: j = ne v

24 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen effektive Stromdichte: j = ne v ohne äußeres Feld: Elektronen bewegen sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede(irgendeine) Richtung

25 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen effektive Stromdichte: j = ne v ohne äußeres Feld: Elektronen bewegen sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede(irgendeine) Richtung Leitfähigkeit σ := 1/ρ

26 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen effektive Stromdichte: j = ne v ohne äußeres Feld: Elektronen bewegen sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede(irgendeine) Richtung Leitfähigkeit σ := 1/ρ j = σe ; σ = ne2 τ m

27 Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen effektive Stromdichte: j = ne v ohne äußeres Feld: Elektronen bewegen sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede(irgendeine) Richtung Leitfähigkeit σ := 1/ρ j = σe ; σ = ne2 τ τ = m ρne 2 m

28 Gleichstromleitfähigkeit elektrische Leitfähigkeit betrachte Elektronenimpuls p(t) und Coulomb-Kraft f (t)

29 Gleichstromleitfähigkeit elektrische Leitfähigkeit betrachte Elektronenimpuls p(t) und Coulomb-Kraft f (t) dp(t) dt = p(t) τ + f (t)

30 Halleffekt und Magnetwiderstand E.W. Hall wollte herausfinden, ob Lorentzkraft auf A: den stromführenden Draht oder auf die B: Elektronen wirkt.

31 Halleffekt und Magnetwiderstand E.W. Hall wollte herausfinden, ob Lorentzkraft auf A: den stromführenden Draht oder auf die B: Elektronen wirkt. Annahme: B, d.h. auf die Elektronen

32 Halleffekt und Magnetwiderstand Resultierende Lorentz-Kraft:F L = e c vx H

33 Halleffekt und Magnetwiderstand Resultierende Lorentz-Kraft:F L = e c vx H Strom in x-richtung

34 Halleffekt und Magnetwiderstand Resultierende Lorentz-Kraft:F L = e c vx H Strom in x-richtung Magnetwiderstand ρ(h) = Ex j x (unabhängig von E y (H-Feld))

35 Halleffekt und Magnetwiderstand Resultierende Lorentz-Kraft:F L = e c vx H Strom in x-richtung Magnetwiderstand ρ(h) = Ex j x (unabhängig von E y (H-Feld)) Hallkoeffizient R H = Ey j x H

36 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hallkoeffizient R H = Ey j x H

37 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hallkoeffizient R H = Ey ( F = e E + 1 c vx H ) j x H

38 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hallkoeffizient R H = Ey j x H ( F = e E + 1 c vx H ) dp dt = e ( E + P mc x H ) P τ

39 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hallkoeffizient R H = Ey j x H ( F = e E + 1 c vx H ) dp dt = e ( E + P mc x H ) P τ Im stationären Zustand: 0 = ee x ω c p y px τ 0 = ee y ω c p x py τ mit ω c = eh mc

40 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hallkoeffizient R H = Ey j x H ( F = e E + 1 c vx H ) dp dt = e ( E + P mc x H ) P τ Im stationären Zustand: 0 = ee x ω c p y px τ 0 = ee y ω c p x py τ mit ω c = eh mc σ 0 E x = ω c τj y + j x

41 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hallkoeffizient R H = Ey j x H ( F = e E + 1 c vx H ) dp dt = e ( E + P mc x H ) P τ Im stationären Zustand: 0 = ee x ω c p y px τ 0 = ee y ω c p x py τ mit ω c = eh mc σ 0 E x = ω c τj y + j x σ 0 E y = ω c τj x + j y

42 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hallkoeffizient R H = Ey j x H ( F = e E + 1 c vx H ) dp dt = e ( E + P mc x H ) P τ Im stationären Zustand: 0 = ee x ω c p y px τ 0 = ee y ω c p x py τ mit ω c = eh mc σ 0 E x = ω c τj y + j x σ 0 E y = ω c τj x + j y E y = ωcτ σ 0 j x = H nec j x

43 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hallkoeffizient R H = Ey j x H ( F = e E + 1 c vx H ) dp dt = e ( E + P mc x H ) P τ Im stationären Zustand: 0 = ee x ω c p y px τ 0 = ee y ω c p x py τ mit ω c = eh mc σ 0 E x = ω c τj y + j x σ 0 E y = ω c τj x + j y E y = ωcτ σ 0 j x = H nec j x Hall-Koeffizient: R H = 1 nec

44 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hall-Koeffizient: R H = 1 nec

45 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hall-Koeffizient: R H = 1 nec ist unabhängig von Metall

46 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hall-Koeffizient: R H = 1 nec ist unabhängig von Metall hängt von Ladungsträgerkonzentration ab

47 Halleffekt und Magnetwiderstand Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hall-Koeffizient: R H = 1 nec ist unabhängig von Metall hängt von Ladungsträgerkonzentration ab Abhängig von Magnetfeld und Temperatur

48 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz E(t) = Re(E(ω)e iωt )

49 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz E(t) = Re(E(ω)e iωt ) j(ω) = σ(ω)e(ω)

50 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz E(t) = Re(E(ω)e iωt ) j(ω) = σ(ω)e(ω) σ(ω) = σ 0 1 iωτ

51 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz E(t) = Re(E(ω)e iωt ) j(ω) = σ(ω)e(ω) σ(ω) = σ 0 1 iωτ σ 0 = ne2 τ m

52 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz E(t) = Re(E(ω)e iωt ) j(ω) = σ(ω)e(ω) σ(ω) = σ 0 1 iωτ σ 0 = ne2 τ m Gleichung für die Ausbreitung von elektromagnetischer Strahlung in Metall

53 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge

54 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge mit Maxwell-Gleichungen: 2 E = ω 2 c 2 ɛ(ω) E

55 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge mit Maxwell-Gleichungen: 2 E = ω 2 c 2 ɛ(ω) E mit Dielektrizitätskonstante ɛ(ω) = 1 + 4πiσ ω

56 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge mit Maxwell-Gleichungen: 2 E = ω 2 c 2 ɛ(ω) E mit Dielektrizitätskonstante ɛ(ω) = 1 + 4πiσ ω Falls ωτ 1:

57 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge mit Maxwell-Gleichungen: 2 E = ω 2 c 2 ɛ(ω) E mit Dielektrizitätskonstante ɛ(ω) = 1 + 4πiσ ω Falls ωτ 1: ɛ(ω) = 1 ω2 p ω 2

58 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge mit Maxwell-Gleichungen: 2 E = ω 2 c 2 ɛ(ω) E mit Dielektrizitätskonstante ɛ(ω) = 1 + 4πiσ ω Falls ωτ 1: ɛ(ω) = 1 ω2 p ω 2 mit der Plasmafrequenz ω p : ω 2 p = 4πne2 m

59 Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz

60 Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Widermann-Franzsches Gesetz κ σ T

61 Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Widermann-Franzsches Gesetz κ σ T κ Wärmeleitfähigkeit σ el. Leitfähigkeit

62 Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Widermann-Franzsches Gesetz κ σ T κ Wärmeleitfähigkeit σ el. Leitfähigkeit Erklärung durch Drude-Modell

63 Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Widermann-Franzsches Gesetz κ σ T κ Wärmeleitfähigkeit σ el. Leitfähigkeit Erklärung durch Drude-Modell Wärmeleitung durch Elektronen, viel weniger durch Atomrümpfe

64 Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Betrachte: Metallstab

65 Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Betrachte: Metallstab T-Änderungn entlang des Stabes

66 Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Betrachte: Metallstab T-Änderungn entlang des Stabes j q = κ T

67 Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Betrachte: Metallstab T-Änderungn entlang des Stabes j q = κ T Wärmeleitung durch Elektronen, viel weniger durch Atomrümpfe

68 Wärmeleitfähigkeit eines Metalls

69 Zusammenfassung Die vier Grundannahmen vom Drudemodell 1 Vernachläßigung der Wechselwirkung der Elektronen 2 Stöße als momentane Ereignisse 3 τ =Relaxationszeit=Stoßzeit 4 Rolle der Temperatur

70 Zusammenfassung Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz I V Leitfähigkeit σ := 1/ρ τ = m ρne 2 elektrische Leitfähigkeit dp(t) dt = p(t) τ + f (t)

71 Zusammenfassung Halleffekt und Magnetwiderstand Resultierende Lorentz-Kraft:F L = e c vx H Magnetwiderstand ρ(h) = Ex j x Hall-Koeffizient: R H = 1 nec

72 Zusammenfassung Wechselstromleitfähigkeit σ(ω) = σ 0 1 iωτ σ 0 = ne2 τ m Die Dielektrizitätskonstante ɛ(ω) = 1 + 4πiσ ω Die Plasmafrequenz ω p : ω 2 p = 4πne2 m

73 Zusammenfassung Wärmeleitfähigkeit Widermann-Franzsches Gesetz κ σ T Erklärung durch Drude-Modell Wärmeleitung durch Elektronen, viel weniger durch Atomrümpfe

74 Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!