Wärmelehre/Thermodynamik. Wintersemester 2007

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1 Einführung in die Physik I Wärmelehre/Thermodynamik Wintersemester 007 Vladimir Dyakonov #4 am Folien im PDF Format unter: Raum E43, Tel , dyakonov@physik.uni-wuerzburg.de Antwort des Tages Man mischt kg schmelzendes Eis und kg siedendes Wasser: kg Eis, T=0 C kg H O, T=00 C T=? T=0 C T=50 C T=75 C

2 Frage des Tages Man mischt kg schmelzendes Eis und kg siedendes Wasser: λ=335 kj/kg C (H O)=4.8 kj/kg K kg Eis + kg H 0 Q=m C T Lösung: Q (in kg T=00 C) =48 kj Q (Rest nach dem Schmelzen)=48kJ kj= 80 kj T=80kJ / (kg x 4.8kJ/kg K)= 0 C 0. Wärmetransport T T T m Bringt man zwei Wärmebäder mit unterschiedlicher Temperatur in engen Kontakt, so stellt sich nach einer gewissen Zeit ein thermisches Gleichgewicht ein Das ursprünglich wärmere Reservoir wird kälter und das ursprünglich kältere wird wärmer

3 0. Wärmetransport 0. Wärmetransport Konvektion Konvektion (von lat. convehere = mittragen, mitnehmen), auch Thermische Konvektion, ist der Transport von Stoffen oder physikalischen Eigenschaften durch die Bewegung von Teilchen. Ein Mechanismus zum Transport von thermischer Energie. Konvektion ist dadurch gekennzeichnet, dass die Wärmeübertragung durch den Transport von Teilchen, die ihre kinetische Energie mitführen, bewerkstelligt wird. 3

4 0. Wärmetransport Konvektion Verbunden mit Materietransport Ursache: Temperaturabhängigkeit der Dichte In Festkörpern ohne Bedeutung Der Mechanismus: Erwärmung von unten oder innen Abkühlung von oben Thermische Ausdehnung -> Auftrieb Heißes Material steigt auf kühlt an Oberfläche ab sinkt als kaltes Material ab 0. Marangoni-Konvektion Durch Verdunsten der Flüssigkeit auf der Oberfläche bildet sich ein Temperaturgradient aus, der eine Konvektion in der Flüssigkeitsschicht erzeugt. An den Stellen, an denen die Flüssigkeit absteigt, sammelt sich das Pulver am Boden der Petrischale und erzeugt Strukturen. Alternativ: Durch eine wellenförmige Störung bilden sich Wellentäler und Wellenberge aus. Da die Wellentäler näher an der Wärmequelle liegen, haben sie eine höhere Temperatur. Bei höherer Temperatur sinkt jedoch die Oberflächenspannung. Der Unterschied der Oberflächenspannung zwischen den Bergen und Tälern ist die Kraft, die eine Konvektion zwischen diesen antreibt. 4

5 0. Rayleigh-Benard-Konvektion Bei der Wärmeausdehnung nimmt die Dichte von Gasen /Flüssigkeiten mit steigender Temperatur ab Kühlen Heizen Wärmere Bereiche steigen nach oben 0. Rayleigh-Benard-Konvektion 5

6 0. Wärmetransport Wärmestrom durch Konvektion: α = Wärmeübergangskoeffizient A = Querschnittsfläche T = Temperaturdifferenz Q / t = α A( T - T ) T Wand: T Fläche A Insgesamt schwierig zu beschreiben durch die Beteiligung vieler Effekte: Auftrieb, Viskosität, Wärmeleitung, Oberflächenspannung Konvektion kann z.b. durch poröse Materialien unterdrückt werden (poröse Dämpfstoffe) Strömung transportiert die Wärme effektiver als die Wärmeleitung 0. Wärmetransport Konvektion freie Konvektion : Vorgang findet selbsttätig statt erzwungene Konvektion : Wenn z.b. durch eine Umwälzpumpe die Bewegung von Materie erzwungen wird Wärmemenge, die bei der Konvektion transportiert wird, entspricht dem Wärmeinhalt der transportierten Materie: z.b. Fernheizung Bei der Fernheizung wird 00 C heißer Wasserdampf durch wärmeisolierte Rohre geschickt, kondensiert beim Endverbraucher und kühlt sich auf ca. 40 C ab. Kondensationswärme: 540 cal/g Abkühlung: 60 cal/g 6

7 0. Wärmeleitung in Festkörpern Kein Massentransport Für den Transport der Wärme ist ein Temperaturgefälle notwendig Wärmeleitung in festen Stoffen beruht auf Kopplung zwischen benachbarten Atomen, so dass Schwingungsenergie von einem Atom auf ein anderes übertragen werden kann Bsp.: Heizplatte & Bratpfanne d.h. Wärme wird durch Materie, die selbst in Ruhe bleibt, fortgeleitet 0. Wärmeleitung in Festkörpern 7

8 0. Wärmeleitung in Festkörpern Wärmeleitung in Festkörpern: Stationärer Zustand Irreversibler Vorgang Wärmemenge Q lauft in der Zeit t vom wärmeren zum kälteren Bad (T > T ) dq T T = = j A = Aλ L Wärmeleitungsgleichung P j = λ Die Temperaturverteilung ist linear längs x T T T = L x dq/ ist der Wärmestrom 0. Wärmeleitung in Festkörpern Allgemeine Form der Wärmeleitungsgleichung (stationärer Fall): r j = λ gra = λ,,. dy dz Gleichung gilt nur für den stationären Fall, wenn also das Temperatur- Gefälle durch geeignete Maßnahmen ständig aufrechterhalten wird. d.h. in einem herausgegriffenen Volumenelement bleibt die Temperatur konstant: Es fließt genauso viel Wärme zu wie ab 8

9 0. Wärmeleitung in Festkörpern Temperaturverteilung im stationären Zustand: dq / T ( x) = x + T λ A T (x) T x Temperaturverteilung im nicht-stationären Zustand: T = t λ ρc T x λ/ρc = Temperaturleitzahl 0. Wärmeleitung in Festkörpern Stoff Wärmeleitfähigkeit in W / m K Silber 40 Kupfer 390 Aluminium 30 Konstantan (40% Ni, 60% Cu) Quarzglas,4 Wasser 0.54 (keine Konvektion) Polymere 0.5 Luft 0.04 (keine Konvektion) 9

10 0. Wärmeleitung in Festkörpern Wärmeleitung in Festkörpern Isolatoren: Wärmeleitung durch Phononen(gas) Phononendichte ~ Temperatur Phononen strömen aus Bereichen hoher Dichte niedriger Dichte Metalle: Wärmeleitung durch Leitungselektronen Elektronen quasifrei zwischen den Metallatomen (Elektronengas). hohe λ s in Metallen: zusätzlicher Beitrag der Leitungselektronen Hohe elektrische Leitfähigkeit σ sind mit hohen Werten für λ verknüpft: λ = const T σ Empirisch: Wiedemann-Franzsches Gesetz, (gilt nicht bei tiefen Temperaturen) 0. Wärmeleitung in Festkörpern Zeitliche Entwicklung der Temperaturverteilung: Die Wärmestrom-Bilanz aus Zu-/Abfluß in einem Volumenelement ist: j x dy dz dv j x d j x + dy dz dq j = A Insgesamt ist pro Zeiteinheit die Wärmemenge dq abgeflossen: 0

11 0. Wärmeleitung in Festkörpern dq d j x = d j y + dy d j r z + dy dz = div j dv. dz Diese Wärmemenge erzeugt eine Temperaturerhöhung im Volumenelement. dq = C Die Temperaturerhöhung ist = dm c = ρdv c. r = div j. ρc ρ: Dichte, m: Masse, C: Wärmekapazität c: spez. Wärmekap. r Mit: j = λ gra folgt: λ = div gra ρc und mit div gra T, ( : Laplace-Operator) folgt: λ d T d T d T + + ρc dy dz = oder T& λ = T. ρ c Differentialgleichung der Wärmeleitung 0. Wärmeleitung in Festkörpern Die Gesamtentropien ändert sich wie: ds = ds + d S T T Die Änderung der Entropie S ist dq ds = = C T T integrieren liefert: T m T S = C = C ln T T T m T m ebenso: T S = C ln T m Es folgt: S = S + S = C ln Tm T T

12 0. Wärmeleitung in Festkörpern Der Prozess des Temperaturausgleichs läuft von selbst ab. Die Entropie verrät aber nicht wie schnell er abläuft. Das Experiment zeigt: die Wärmemenge, die pro Zeit durch eine Fläche A fließt, ist proportional zur Temperaturänderung senkrecht zur Fläche. dq P = Q P = t wenn zeitlich konstant dq P = r j da r P = r j A r wenn räumlich konstant A gra x 0. Wärmeleitung in Festkörpern λ = T ρ c Achtung: Delta bedeutet hier den Laplaceoperator Die zweiten Ableitungen im Laplace-Operator glätten eine vorgegebene Temperaturverteilung aus: d T > 0 d T < 0 d T < 0 d T d > 0 T d T > > 0 0 Das System konvergiert in Richtung thermodynamisches Gleichgewicht