Opto-elektronische. Materialeigenschaften VL # 3

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1 Opto-elektronische Materialeigenschaften VL # 3 Vladimir Dyakonov dyakonov@physik.uni-wuerzburg.de Experimental Physics VI, Julius-Maximilians-University of Würzburg und Bayerisches Zentrum für Angewandte Energieforschung e.v. (ZAE Bayern) 24 April 2012

2 Elektronische Eigenschaften von FK 3 verschiede Statistiken 2

3 Elektronische Eigenschaften von FK 3 verschiede Statistiken 3

4 Elektronische Eigenschaften von FK Maxwell-Boltzmann Teilchenzahl ist fest. Unterscheidbare Teilchen. Masse m kommt hier explizit nicht vor. Das ermöglicht die Definition der Temperatur aus der mittleren thermischen Energie 4

5 Elektronische Eigenschaften von FK Fermi-Dirac Elektronenzahl N ist fest. Ununterscheidbar. Besetzen nie gleiche Zustände (Pauli-P.) Im Bereich E>>EF Boltzmann-Näherung e -E/kT immer ausreichend 5

6 Elektronische Eigenschaften von FK Bose-Einstein Photonenzahl ( bzw. Phononezahl) ist nicht fest. Ununterscheidbar. Besetzen gleiche Zustände. 6

7 Elektronische Eigenschaften von FK 1. Das freie Elektronengas 1.1 Freie Elektronen im Kasten 1.2 Pauli-Prinzip und Fermi-Dirac Statistik 1.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen 7

8 Spezifische Wärme von Metallelektronen Vergleich von klassischem Gas und Metallelektronen Klassisches Gas mit Teilchendichte n: jeder Freiheitsgrad nimmt thermische Energie ½k B T auf Energiedichte spezifische Wärme u = 3 2 nk BT c = u T = 3 2 nk B Dulong-Petit Metallelektronen (experimentell): spez. Wärme ~100-mal kleiner als Dulong-Petit-Wert! spez. Wärme ist temperaturabhängig: c ~ T für kleine T! 8

9 Spezifische Wärme von Metallelektronen Einfache Abschätzung temperaturabh. Anteil der Energiedichte: u(t ) = k B T k B T D(E F ) = k B 2 T 2 D(E F ) mittlere therm. Energie eines Elektrons Anteil der Elektronen, die unter Beachtung des Pauli-Prinzips überhaupt nur angeregt werden können c = u T = 2D(E )k 2 F BT 9

10 Spezifische Wärme von Metallelektronen T = f (E) de ~ k B T E / E F T > 0 Abbildung 7.8: Plausibilitätsbetrachtung zur Wärmekapazität des Elektronengases. Gezeigt ist eine Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion bei T = 0 (rot) und T > 0 (blau). Der schattierte Bereich zeigt den Der schattierte Bereich zeigt den Energiebereich der Breite k Energiebereich der Breite k B T, aus dem die Elektronen zur Wärmekapazität beitragen können. B T, aus dem die Elektronen zur Wärmekapazität beitragen können Für die Wärmekapazität erhalten wir damit 10

11 Spezifische Wärme von Metallelektronen T = f (E) de ~ k B T E / E F T > 0 Abbildung 7.8: Plausibilitätsbetrachtung zur Wärmekapazität des Elektronengases. Gezeigt ist eine Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion bei T = 0 (rot) und T > 0 (blau). Der schattierte Bereich zeigt den Energiebereich der Breite k B T, aus dem die Elektronen zur Wärmekapazität beitragen können. FürErhöhen die Wärmekapazität wir erhalten die wir Temperatur damit von T = 0 auf die Temperatur T, so erzeugen wir eine Umbesetzung der Elektronenzustände = An dieser Umbesetzung p2 3 k2b TD(EF). kann nur ein ganz (7.2.6) kleiner Bruchteil der C V = U T V Elektronen mit Mit der Zustandsdichte D(E F Energien )= 3 N im Intervall kbt um die Fermi-Energie 2 E F erhalten wir schließlich teilnehmen C V = p2 2 Nk T Die Anzahl dieser B = g T Elektronen ist Nth D(EF)kBT (7.2.7) T F Jedes dieser Elektronen trägt etwa die Energie kbt zu U bei. mit dem Sommerfeld-Koeffizienten g = p2 3 k2 B D(E F), (7.2.8) 11

12 Spezifische Wärme von Metallelektronen c = u T = T 0 dε εd(ε) f (ε,t ) = dε εd(ε) T f (ε,t ) 0 D(E F ) = π 2 Berechnung der spezifischen Wärme 0 3 D(E F )k B dε ε T f (ε,t ) 2 T 12

13 Spezifische Wärme von Metallelektronen Fermi-Dirac-Verteilung und ihre Ableitungen " " f (ε,t ) = 1+ exp ε E %% F $ $ '' # # kt && df dε = 1 kt exp " ε E F $ # kt df dt = ε E F kt 2 1 % " " ' 1+ exp ε E %% F $ $ '' & # # kt && " exp ε E % " " F $ ' 1+ exp ε E %% F $ $ '' # kt & # # kt && 2 2 = ε E F T df dε Rechnung für kt = 0.01E F 13

14 Spezifische Wärme von Metallelektronen Berechnung der spezifischen Wärme also: mit Sommerfeld-Koeffizient d.h. spez. Wärme hängt nur von D(E F ) ab!! 14

15 Spezifische Wärme von Metallelektronen 15 Vergleich mit Dulong-Petit Zustandsdichte: spez. Wärme: Petit Dulong F F B B F c T T T T nk T k E D c " # $ % & ' = " # $ % & ' = = 3 2 ) ( π π π F B F T k n E D 2 3 ) ( = T << T F für Metalle!!

16 Spezifische Wärme von Metallelektronen Experimentelle Überprüfung im Experiment misst man die Summe der spezifischen Wärmen von Elektronen und Gitter: cexp = cel + cgitter = γ T + βt 3 also: Gitterbeitrag für Metalle T <<θdebye (VL MTME, WS 11/12) 16

17 Spezifische Wärme von Metallelektronen Sommerfeld-Koeffizient und "effektive Masse" Sommerfeld-Koeffizient ist proportional zur Masse der Ladungsträger: γ = π 2 2 k B 3 D(E " F ) = m k B $ # % ' & 2 3 3π 2 n γ exp > γ 0 m* > m 0 Man findet häufig: bzw. "Massenrenormierung" Ursachen: - WW mit dem periodischen Kristallgitter - Elektron-Phonon-Wechselwirkung - Elektron-Elektron-Wechselwirkung Es gibt Materialien, in denen die "effektive" Masse, die aus dem Sommerfeld-Koeffizient bestimmt wird, einer bis zu 1000-fachen Elektronenmasse entspricht: "SCHWERE-FERMIONEN-SYSTEME" z.b. CeCu 2 Si 2, CeAl 3, UBe 13 17

18 Spezifische Wärme von Metallelektronen Sommerfeld-Koeffizient und Zustandsdichte γ = π 2 k B 2 3 D(E F ) Sommerfeld-Koeffizienten einfacher Metalle 18

19 Spezifische Wärme von Metallelektronen Sommerfeld-Koeffizient und Zustandsdichte π 2 kb2 γ= D(EF ) 3 Sommerfeld-Koeffizienten einfacher Metalle Zustandsdichte von Ni und Cu 19

20 Allgemeine Anmerkungen Achtung: Vorlesungszeit und Ort haben sich geändert!!! Di. 15:00-16:00, Hörsaal 3, Hörsaalgebäude, Hubland Mi. 14:00-16:00, Seminarraum E36, Mathematik Übungen Di. 16:00-17:00, Seminarraum E36 20