Wärmelehre/Thermodynamik. Wintersemester 2007

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1 Einführung in die Physik I Wärmelehre/Thermodynamik Wintersemester 007 Vladimir Dyakonov #15 am Folien im PDF Format unter: Raum E143, Tel , Wärmeleitung in Gasen T 1 T A n 0 Wärmeleitung in Gasen: d < L Elastische Stöße der Teilchen untereinander L x Mittlere freie Weglänge d << Dimension L Erinnerung: d = 1/n 0 σ 1

2 10.11 Wärmeleitung in Gasen Transport kinetischer Energie. Modell: (Wand 1) T T 1 d d z 0 dl = v dt z 0 T > T 1 (Wand ) z d ν Gas zwischen Wänden mit T 1, T > T 1 Wärmetransport durch Ebene z 0 : von links treffen Moleküle mit kin. Energie entspr. z 0 - d, von rechts entsprechend z 0 + d. d: mittlere freie Weglänge. Mittlere kin. Energie eines Moleküls: 3 dt elinks = k T z d, 0 dz 3 dt erechts = k T z + d. 0 dz : Zahl der in Zeiteinheit dt durch die Flächeneinheit in der Ebene z 0 in z-richtung fliegenden Moleküle = 1/6 Zahl der in der Säule der Länge dl befindlichen Moleküle. [ Teilchen m s] dν n0 = v, / dt Wärmeleitung in Gasen Nettoenergietransport j (Wärmestromdichte): dν j = dt n 0 dt J ( e e ) = v k d, dz m z links rechts Phänomenologischer Ansatz für die Wärmeleitung: j z dt = κ. dz (Die Wärmestromdichte ist proportional zum Temperaturgradienten, κ: Wärmeleitfähigkeit [J /(msk)]) n0 1 κ = v k d, mit d = und v = v = n σ 0 s 3kT m : k κ σ 3 kt m = k σ v. κ Hängt nicht von der Teilchendichte n 0 ab, also auch nicht von p! Erst wenn d in die Größenordnung der Gefäßdimensionen kommt, sinkt κ proportional zur Teilchenzahl. Dann ist diese Formel nicht mehr anwendbar.

3 10.11 Wärmeleitung in Gasen Durch Bewegung der Gasmoleküle; leichte Atome/Moleküle leiten besser als schwere Wärmetransport abhängig von der mittleren freien Weglänge: 1) Mittlere freie Weglänge d klein gegen die Dimensionen des Behälters (d.h. viele Stöße untereinander; Wärmeübertragung durch zwischenmolekulare Stöße): - Wärmeleitung ist unabhängig vom Druck, Dichte - Leichte Gase besitzen bessere Wärmeleitfähigkeit als schwere ) Mittlere freie Weglänge d groß gegen die Dimensionen des Behälters (d.h. Stöße der Moleküle nur mit den Wänden; geringe Gasdichte; Austausch von Wärmeenergie ist dann abhängig von Zahl der Stöße): - Wärmeleitung Temperaturdifferenz, Gasdichte Wärmeleitung in Gasen Versuch 3

4 10.11 Wärmeleitung in Flüssigkeiten Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten ist im allgemeinen sehr klein Experiment mit Reagenzglas Wärmeleitung in Flüssigkeiten Leidenfrost sches Phänomen: Wärme der heißen Unterlage überträgt sich in die aufliegende Wasserschicht des Tropfens und breitet sich dann im Tropfen weiter aus, was aber eine gewisse Zeit benötigt. Ist die Unterlage deutlich heißer als der Siedepunkt des Tropfens, verdampft nur die untere Schicht des Tropfens, während der obere Teil noch recht kühl ist. Heiße Platte Kalte Platte Video 4

5 10.11 Wärmeisolation Dämmstoffe sind aus Materialien, die eine geringe Wärmeleitfähigkeit haben und Konvektion verhindern. Der Wärmestrom der durch eine Platte mit der Fläche A geht ist proportional zur Temperaturdifferenz: J = λ A ( T 1 T) λ bezeichnet man als Wärmeleitwert Besteht eine Wand aus mehreren Schichten, berechnet sich der Wärmeleitwert der ganzen Wand zu 1 λ ges = + + λ λ λ 1 3 Addition von Wärmewiderständen: - Analog zum Ohmschen Gesetz - 1/λ ι : Wärmewiderstand R i λ λ1 λ Wärmeisolation 1)Wärmewiderstände in Reihe (stationär) ) Wärmewiderstände, parallel (stationär) T 1 T T 3 R T 1 T Bsp.: R R gesamt = +R. 1/R gesamt = 1/ +1/R... 5

6 Körper geben/nehmen immer Wärme durch transversale EM- Strahlung ab und auf (auch im Vakuum, da nicht an Materie gebunden) Die Wärmestrahlung hat folgende Eigenschaften, wie Experimente zeigen: Wärmestrahlung ist abhängig von der Temperatur. Wärmestrahlung ist absorbierbar, abhängig von Material und Dicke. Wärmestrahlung ist reflektierbar - dunkler Körper absorbiert viel, reflektiert wenig - farbiger Körper reflektiert/ absorbiert teilweise Wärmestrahlung ist abhängig vom betrachteten Frequenzbereich Wärmestrahlung messbar mit einer Thermosäule Wärmestrahlung Ein Körper zeigt: - Absorption - Reflektion - Transmission - Emission Einfallende Strahlungsleistung: P o Absorptionsvermögen: A = P abs /P o Transmissionsvermögen: T = P trans /P o Reflektionsvermögen: R = P refl /P o Emissionsvermögen: E es gilt: A + R + T = 1 6

7 Φ r Φ Φ tr Reflexionsgrad ρ: Transmissionsgrad: τ Absorptionsgrad: α ρ = τ = α = Φr Φ Φtr Φ Φa Φ Φ tr = Φ Φ r Φ a Aufgrund des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik bedeutet ein hohes Absorptionsvermögen auch ein hohes Emissionsvermögen. Wie hängen Absorption A und Emission E zusammen? Annahme: Transmission T = 0 Körper im thermodynamischen Gleichgewicht (T1=T) tauschen Wärmeenergie über Wärmestrahlung aus: E 1 E * T1 E 1 *R * T=T1 Energietransfer von 1 : E 1 +E +E 1 R + E R... = (E 1 +E ) (1+R +(R ) +...)+ Energietransfer von 1: Alle Indizes vertauschen!!! 7

8 Beide Energietransfers sind gleich im thermodynamischen Gleichgewicht (gleiche Temperaturen) E 1 +E = E +E 1 R A + R = 1 E 1 +E (1-A 1 ) = E +E 1 (1-A ) E 1 /A 1 = E /A Großes Absorptionsvermögen bedeutet großes Emissionsvermögen!!! Kirchhoff sches Strahlungsgesetz: E/A = konstant Konstante ist nur abhängig von der Temperatur und der Frequenz Schwarzer Körper: A = 1 (Hohlraum absorbiert vollständig) Schwarzer Strahler: Geheizter Hohlkörper mit kleiner Öffnung Schwarzer Strahler Für schwarzen Körper (Hohlraumstrahler) gilt: E ist maximal (idealer Strahler) d.h. Emissionsgrad des schwarzen Körpers ist die gesuchte Konstante 8

9 E E = A A 1 S S 1 E = A S E = 1 : ( ) Unabhängig von der Oberflächenbeschaffenheit ist das Verhältnis zwischen Emissions- und Absorptionsvermögen einer Fläche konstant und stets gleich dem Emissionsvermögen des Schwarzen Körpers, der durch A S =1 gekennzeichnet ist. Andere Formulierung: Das Emissionsvermögen eines nicht- schwarzen (grauen) Körpers ist um den Faktor A 1 kleiner als das Emissionsvermögen eines schwarzen Körpers. Experimentell zeigt sich: Das Emissionsvermögen des Schwarzen Körpers E S ist nur eine Funktion der Temperatur Strahlungsleistung des schwarzen Körpers Emission des schwarzen Körpers kann durch spektrale Energiedichte ρ(ν,t)dν beschrieben werden. (Energie des Strahlungsfeldes pro Volumen und pro Frequenzintervall) ρ( υ, T ) dυ = 8πhυ / c dυ hυ / kt e K 6000 K Planck sches Strahlungsgesetz 4000 K h ist das Planck sche Wirkungsquantum h = Js 3000 K Hz 9

10 Strahlungsleistung des schwarzen Körpers Fragen: 1.Wie viel Licht wird bei einer bestimmten Frequenz emittiert?. Wie viel Lichtenergie wird insgesamt abgestrahlt? Man betrachte einen kubusförmigen Hohlraum des Volumens V, welcher EM- Hohlraumstrahlung im thermischen Gleichgewicht enthält. Es können sich nur stehende Wellen ausbilden (d.h. zwischen gegenüberliegende Hohlraumflächen passt jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellen). Strahlungsleistung des schwarzen Körpers Welche Eigenmoden besitzt der Resonator? je kürzer die Wellenlänge umso höher die Frequenz (Energie) Farbe des Lichtes ändert sich von rot über gelb, grün nach blau 10

11 Strahlungsleistung des schwarzen Körpers Man betrachte einen kubusförmigen Hohlraum des Volumens V, welcher EM- Hohlraumstrahlung im thermischen Gleichgewicht enthält. Es können sich nur stehende Wellen ausbilden (d.h. zwischen gegenüberliegende Hohlraumflächen passt jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellen). Es sind also nur bestimmte diskrete Schwingungszustände (=Moden) erlaubt; die gesamte Hohlraumstrahlung setzt sich aus diesen stehenden Wellen zusammen. Im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν gibt es insgesamt 8πν 3 Vdν c erlaubte Schwingungszustände. Die Anzahl erlaubter Schwingungszustände nimmt bei höheren Frequenzen zu, weil es für Wellen mit kürzerer Wellenlänge mehr Möglichkeiten gibt, sich so in den Hohlraum einzupassen. Die Zustandsdichte, das heißt die Anzahl erlaubter Schwingungszustände im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν und pro Volumeneinheit, ist Strahlungsleistung des schwarzen Körpers Die Anzahl erlaubter Schwingungszustände nimmt bei höheren Frequenzen zu, weil es für Wellen mit kürzerer Wellenlänge mehr Möglichkeiten gibt, sich so in den Hohlraum einzupassen. Die Zustandsdichte, das heißt die Anzahl erlaubter Schwingungszustände im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν und pro Volumeneinheit, ist 8πν 3 dν c Nach dem Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik zu erwarten, dass im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T im Mittel jeder dieser Oszillatoren die kinetische Energie kt/ und die potentielle Energie kt/, also insgesamt die Energie kt trägt. Die Energiedichte der Hohlraumstrahlung im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν wäre demnach 8πν ρ( v, T ) dv = ktdν 3 Dies ist das Strahlungsgesetz nach Rayleigh-Jeans. c 11

12 Strahlungsleistung des schwarzen Körpers Nach der von Planck eingeführten Quantenhypothese kann ein Oszillator der Frequenz ν jedoch nur ganzzahlige Vielfache der Energie hν aufnehmen Schwingungszustände, deren Mindestenergie hν deutlich über der thermisch zur Verfügung gestellten Energie kt liegen, können nicht angeregt werden Schwingungszustände, deren Mindestenergie wenig über kt liegt, können mit gewisser Wahrscheinlichkeit angeregt werden, so dass von ihnen ein bestimmter Bruchteil zur gesamten Hohlraumstrahlung beiträgt. Lediglich Schwingungszustände mit niedriger Mindestenergie hν, also kleineren Frequenzen, können die angebotene thermische Energie vollständig aufnehmen und werden (im Mittel) mit Sicherheit angeregt. Die statistische Thermodynamik zeigt, dass unter diesen Bedingungen ein Schwingungszustand der Frequenz ν im Mittel die Energie trägt. e hν hv ( ) kt Wärmetransport Grenzfälle des Planck schen Strahlungsgesetzes ρ( υ, T ) dυ = 8πhυ / c dυ hυ / kt e 1 Planck sches Strahlungsgesetz 1. Grenzfall: hν << kt: e x 1 + x, ( x << 1). Grenzfall: hν >> kt: e x >> 1 8πν ρ( ν )dν 3 c kt dν 3 8π hν ρ( ν )dν e 3 c hν kt dν Bei kleinen Frequenzen ist das Plancksche Strahlungsgesetz gut genähert durch das Rayleigh-Jeans-Gesetz Bei hohen Frequenzen nimmt die Energiedichte exponentiell mit der Frequenz ab 1

13 Emissionsmaximum Das Maximum der emittierten Strahlung verschiebt sich mit steigender Temperatur zu höheren Frequenzen (zu kürzeren Wellenlängen). Berechnung des Frequenzmaximums ν liefert das Wiensche Verschiebungsgesetz Verschiebung 10 Hz max = K T 6000 K 5000 K 4000 K Wilhelm Wien ( ) : Professor für Physik, Würzburg, Nobelpreis K Hz Gesamtemission des Schwarzen Strahlers Mit steigender Temperatur wächst die Fläche unter der Kurve im Planckschen Strahlungsgesetz stark an. Integration über alle Frequenzen liefert die emittierte Gesamtleistung: P = σ T σ = ; W 4 m K Stefan-Boltzmann-Gesetz: Abgestrahlte Leistung nimmt mit der 4. Potenz der Temperatur zu K 3000 K 3000 K Hz Hz 13

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