Lösung zur Klausur im Fach Wärmeübertragung, Modul mit 6 LP

Transkript

1 Dr.-Ing. A. Moschallski Lösung zur Klausur im Fach Wärmeübertragung, Modul mit 6 LP Stimmen folgende Aussagen? Bei einem Wärmeübertragungs-Problem steigt mit der Nußelt-Zahl immer auch die Wandwärmestromdichte. Die Kombination der Größen zu α L stellt eine Kennzahl T 2 λ 2 dar. Bei einem Wechsel der Strömungsrichtung von Gleich- auf Gegenstrom wird bei einer stationären Wärmeübertragung mit Phasenwechsel ein größerer Wärmestrom transportiert. Beim Anklemmen von Thermoelementen an einen Datenlogger ist die Polung ( + oder - ) zu beachten. Zur berührungsfreien Messung von sehr hohen Temperaturen sind Thermografiesysteme für den langwelligen Spektralbereich prädestiniert. Lösung mögl. Korrektur ja nein ja nein k. A.

2 2. Stimmen folgende Aussagen zur Wärmeleitung? Die Wärmestromdichte in radialer Richtung einer stationär gekühlten Zylinderwand ist konstant. Bei einer schlechten Wärmedämmung ist der Wärmeleitwiderstand gering. Beim Modell der halbunendlichen, ebenen Wand wird unterstellt, dass ein Temperatursprung an einer Wandseite auch zu einer Temperaturänderung an der anderen Wandseite führt. Hohe Biot-Zahlen besagen, dass beim Wärmeübergang zwischen Fluid und Wand im Fluid Temperaturgradienten auftreten. Bei einem expliziten Finite Differenzen Verfahren zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung liegt für eine bestimmte Zeit- Schrittweite die Orts-Schrittweite fest. Lösung mögl. Korrektur ja nein ja nein k. A. 3. Stimmen folgende Aussagen zur konvektiven Wärmeübertragung? Zur Bestimmung der kalorischen Mitteltemperatur einer Rohrströmung ist die Kenntnis der radialen Temperatur- und der radialen Geschwindigkeitsverteilung erforderlich. Bei einer Plattenüberströmung mit TW = const ändert sich der Temperaturgradient an der Wand mit wachsender Überströmlänge. Eine Erhöhung der Reynolds-Zahl bei einer turbulenten Rohrströmung führt zu einer Verbesserung des Wärmeüberganges, da die Geschwindigkeitsgradienten an der Wand abnehmen. Die turbulente Wärmeleitfähigkeit nimmt mit wachsendem Wandabstand zu. Der Wärmeübergang bei einer natürlichen Konvektion hängt vom Temperaturniveau ab. 2

3 4. Stimmen folgende Aussagen zum Zweiphasen-Wärmeübergang? Bei der laminaren Filmkondensation an einer senkrechten Wand mit TW = const steigt die lokale Nußelt-Zahl mit der Koordinate in Fließrichtung. Tanzende Wassertropfen auf einer heißen Herdplatte resultieren aus der guten Wärmeleitfähigkeit des flüssigen Wassers. Bei einer Erhitzung eines Drahtes in Wasser kommt es am Draht zum Übergang vom Filmsieden zum Blasensieden. Beim stillen Sieden in einem Behälter ergibt sich in der Flüssigkeit ein linearer Temperaturverlauf. Beim Strömungssieden kann die Siedekrise. Art prinzipiell vermieden werden. Lösung mögl. Korrektur ja nein ja nein k. A. 5. Stimmen folgende Aussagen zur Wärmestrahlung? Bei allen konvektiven Wärmeübergängen treten immer auch gleichzeitig strahlungsbasierte Wärmeübergänge auf. Das Wiensche Verschiebungsgesetz besagt, dass sich das Maximum der spezifischen spektralen Ausstrahlung eines Schwarzen Körpers mit steigender Temperatur zu größeren Wellenlängen verschiebt. Beim Modell des Schwarzen Körpers wird unterstellt, dass bei jeder Temperatur die gesamte spezifische Einstrahlung absorbiert und die maximal mögliche Energie emittiert wird. Gasstrahlung kann durch das Modell des grauen Strahlers angenähert werden. Es gibt Oberflächen, bei denen sich Emissionsgrad und Absorptionsgrad unterscheiden. 3

4 Dr.-Ing. A. Moschallski Lösung zur Klausur im Fach Wärmeübertragung, Modul mit 6 LP Lösung zu Aufgabe : (25 Punkte) a) (5 Punkte) Die Nußelt-Zahl charakterisiert den konvektiven Wärmeübergang, die Reynolds-Zahl die erzwungene Überströmung und die Prandtl-Zahl die Stoffwerte. Der funktionale Zusammenhang lautet Nu = Nu(Re, Pr). Als charakteristische Länge in den Kennzahlen Nußelt und Reynolds kann entweder der Durchmesser des Zylinders D i, was hier genutzt wird, oder die Überströmlänge L i = π D i /2 gewählt werden. Die Länge des Zylinders ist dagegen keine charakteristische Größe, da der auf die Länge bezogene Wärmeübergang in der Form Nu L = Nu L (Re L, P r) sich aufgrund des zweidimensionalen Problems (Effekte an den Stirnflächen werden vernachlässigt, in jeder radialen Ebene des Zylinders sind die physikalischen Vorgänge identisch) nicht mit der Länge verändert. b) (5 Punkte) Die Forderung nach der vollständigen physikalischen Ähnlichkeit in Bezug auf den Wärmeübergang am quer angeströmten Zylinder ergibt, dass alle für das Problem charakteristischen Kennzahlen identisch sind. Da die Stoffwerte temperaturabhängig sind und die Prandtl-Zahl nur Stoffwerte berücksichtigt, muss gelten Pr W =Pr T = 4,27 Aus der Stoffwertetabelle für Wasser folgt mit einer linearen Interpolation zwischen den Prandtl-Zahlen Pr(40 C) = 4,327 und Pr(45 C) = 3,908 eine Temperatur von t W =40,68 C bei der die Versuche mit Wasser durchgeführt werden müssen. c) (6 Punkte) Die Re-Zahl charakterisiert die Strömung, so dass gelten muss Re W =Re T u W D W ν W = u T D T ν T 4

5 Damit ergibt sich u W =u T DT DW ν W ν T Für die Temperatur t W = 40,68 C ergibt sich aus der Stoffwertetabelle für Wasser eine linear interpolierte kinematische Viskosität von νw(40,68 C) = 0, m 2 /s und damit ein Wertebereich für die bei den Versuchen einzustellenden Geschwindigkeiten d) (6 Punkte) u 0, W =0,5 2 0, u W =0,069 m/s... 0,554 m/s 0, , Bei vollständiger physikalischer Ähnlichkeit müssen auch die den Wärmeübergang charakterisierenden Kennzahlen gleich sein. Also gilt Nu T =Nu W α T D T λ T = α W D W λ W αt =αw DW DT αt =00 2 λ T λ W 0,28 0,632 αt =243,0 W/m 2 K wobei sich aus der Stoffwertetabelle für Wasser die Wärmeleitfähigkeit durch lineare Interpolation zu λ W(40,68 C) = 0,632 W/m K ergibt. e) (3 Punkte) eine vollständige physikalische Ähnlichkeit kann nicht erreicht werden, weil bei Gasen Pr gilt und nur eine schwache Temperaturabhängigkeit der Prandtl-Zahl vorliegt, die Luftgeschwindigkeit würde ansteigen, da ν L > ν T vorliegt und ν i in der Reynolds- Zahl im Nenner auftritt, der Wärmeübergangskoeffizient würde sinken, da λ L < λ T und λ i in der Nußelt-Zahl im Nenner vorkommt. Lösung zu Aufgabe 2: (25 Punkte) a) (5 Punkte) Die Stoffwerte bei der mittleren Temperatur zwischen Hitzdraht und Umgebung t = t B = (t HD + t )/2 = ( )/2 = 40 C betragen λ = 0, W/m K und ν = 28, m 2 /s und Pr = 0,

6 Es gilt Q HD =P HD = U HD I HD = U 2 HD R HD Q HD = 0,552 6 Q HD =0,05 W b) (5 Punkte) Mit q HD αm = (THD T ) und folgt Q HD q HD = Q HD = A HD π DHD L HD q HD 0,05 = π q HD = W/m 2 α m = α m =6686,7 W/m 2 K c) (6 Punkte) Aus der Korrelation für die erzwungene Konvektion am quer angeströmten Kreiszylinder folgt mit Nu m =(0,43 + 0,5 Re 0,5 ) Pr 0,38 Re = u D HD [ Re = [ Re = ν Re =0,87 2 ( Nu m Pr 0,38 ] 2 0,43) 0,785 2 ( 0,43) 0,70540,38 ] 2 und damit die Anströmgeschwindigkeit u = Re ν D HD u 0,87 28, = u =6, m/s 6

7 d) (9 Punkte) Die Stoffwerte sind nun bei der mittleren Temperatur zwischen Hitzdraht und Umgebung t 2 = t B = (t HD + t 2)/2 = ( )/2 = 60 C einzusetzen und betragen λ 2 = 0, W/m K und ν 2 = 30, m 2 /s und Pr 2 = 0,7050. Die Anströmgeschwindigkeit ändert sich nicht, u = u 2. Nu m2 =(0,43 + 0,5 Re 0,5 2 ) Pr 0,38 2 ( ) u Nu m2 =(0,43 + 0,5 2 DHD 0,5 ) Pr 0,38 ν2 2 ( ) 6, ,5 Nu m2 =(0,43 + 0,5 ) 0,7050 0,38 30, Nu m2 =0,768 Die an die Luft übertragene thermische Leistung Q HD2 entspricht der elektrischen Leistung des Hitzdrahtes P HD2. Q HD2 = Nu m2 λ 2 (T HD T 2) π D HD L HD D HD Q HD2 = 0,768 0,03539 (240 80) π Q HD2 =0,04 W Q HD2 =P HD2 = U 2 HD2 R HD UHD2 = Q HD2 R HD U HD2 = 0,04 6 U HD2 =0,496 V 7

8 Lösung zu Aufgabe 3: (25 Punkte) a) (4 Punkte) Der Emissionsgrad, der beide strahlende Flächen berücksichtigt (auch Strahlungsaustauschzahl genannt), ergibt sich zu ε ZR = ε ZR = ε ZR = b) (8 Punkte) ε Z + A Z A R ε ZR = 0,695 ( ε R ( ε Z + π 2 R Z L Z π 2 R R L R + π 2 0,002 0,7 0,7 π 2 0,05 0,7 ) ε R ( ) ) 0,8 Es kann das method of lumped capacitance -Modell unterstellt werden. Dieses besagt, dass bei der Erwärmung (oder Abkühlung) eines Körpers nur Temperaturgradienten im Fluid, nicht aber im Körper auftreten. Die innere Energie im Körper wird zu einem Zeitpunkt durch eine Temperatur gekennzeichnet. Das Kritierium lautet Bi = α x λ K < 0, mit der charakteristischen Länge x = 2 R Z und der Wärmeleitfähigkeit des Körpers λ K = λ Z. Der konvektive Wärmeübergangskoeffizient α kann mit der Lineariserung der Temperatur ersetzt werden durch Es folgt α = ε ZR σ 4 T 3 R α = 0,695 5, α = 4,26 W/m 2 K 4,26 0,002 Bi = 240 Bi = 3, < 0, Das Kriterium ist also erfüllt! 8

9 c) (6 Punkte) Die Energiebilanz zwischen Rohr (Index R) und Zylinder (Index (Z) lautet unter Verwendung der Linearisierung des Strahlungsteils m Zc Z dt Z dτ = ε ZRσ A Z(T 4 R T 4 Z ) = ε ZR σ A Z 4 T 3 R (T R T Z) Umgestellt ergibt sich m Zc Z dt Z ε ZR σ A Z 4 T 3 R (T R T Z) = dτ Integriert zwischen τ0 = 0 und τ bzw. TZ0 und TZ folgt ( ) T τ = ln R TZ m Zc Z TR TZ0 ε ZR σ A Z 4 TR 3 bzw. die Temperatur des Zylinders als Funktion der Zeit d) (3 Punkte) TZ(τ ) = TR + (TZ0 TR) exp( ε ZRσ A Z 4 TR 3 m Zc Z Mit A Z = π 2 RZ L Z = 8,8 0 3 m 2 und der in c) hergeleiteten Gleichung ergibt sich mit den Zahlenwerten und TZ(τ ) = TZ = 290 K ( ) τ 0, = ln ,695 5, , e) (4 Punkte) τ = 573 s Die am Zylinder übertragenen Wandwärmestromdichten betragen zu den Zeiten τ 0 und τ τ ) q W(τ 0 ) = ε ZP σ 4 T 3 R (T R T Z0) q W(τ 0 ) = 0,695 5, ( ) q W(τ 0 ) = 4,9 W/m 2 q W(τ ) = ε ZP σ 4 T 3 R (T R T Z) q W(τ 0 ) = 0,695 5, ( ) q W(τ ) = 42,6 W/m 2 Da die treibende Temperaturdifferenz kleiner wird und sich der Term ε ZP σ 4 TR 3 aufgrund der vorausgesetzten Linearisierung der Temperaturdifferenz nicht verändert, verringert sich auch die am Zylinder übertragene Wandwärmestromdichte. 9