D = 10 mm δ = 5 mm a = 0, 1 m L = 1, 5 m λ i = 0, 4 W/mK ϑ 0 = 130 C ϑ L = 30 C α W = 20 W/m 2 K ɛ 0 = 0, 8 ɛ W = 0, 2

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1 Seminargruppe WuSt Aufgabe.: Kabelkanal (ehemalige Vordiplom-Aufgabe) In einem horizontalen hohlen Kabelkanal der Länge L mit einem quadratischen Querschnitt der Seitenlänge a verläuft in Längsrichtung ein freigelegtes elektrisches Kabel der selben Länge mit einem Durchmesser D, das von einer elektrisch nicht leitenden Isolierschicht der Dicke δ ummantelt ist. Durch den im Kabel ieÿenden elektrischen Strom wird Wärme erzeugt und nach auÿen abgeführt. Im stationären Zustand steht das ummantelte Kabel im Wärmeaustausch durch Konvektion und Strahlung mit dem Kanal. Wärmeleitung durch die Luft und Wärmeübergang an den Stirnseiten des Kabels werden vernachlässigt. Die konstanten Temperaturen der Isoliermanteloberäche T 0 und der Luft T L sind bekannt. Berechnen Sie unter diesen Umständen a) den vom horizontalen Kabel an die umgebende Luft im Kanal durch freie Konvektion abgeführten Wärmestrom Q K, b) die Temperatur ϑ W der Kanalwände, wenn ein konstanter Wärmeübergangskoef- zient α W zwischen den Kanalwänden und der Luft angenommen wird und die Lufttemperatur ϑ L konstant bleibt, c) den vom Kabel mit den Kanalwänden ausgetauschten Wärmestrom durch Strahlung Q Str unter der Annahme, dass das Kabel von den Kanalwänden vollständig umschlossen ist (Vernachlässigen Sie die beiden Stirnächen!), d) die pro Volumeneinheit des elektrisch leitenden Kabels erzeugte mittlere Wärmeleistung (Joulesche Wärme) q diss (Hinweis: [ q diss ] = W/m3 ) sowie e) die Temperatur ϑ i an der Innenwand der Isolierschicht. Angaben: D = 10 mm δ = 5 mm a = 0, 1 m L = 1, 5 m λ i = 0, W/mK ϑ 0 = 130 C ϑ L = 30 C α W = 0 W/m K ɛ 0 = 0, 8 ɛ W = 0, Mit der Wärmeleitfähigkeit λ i und dem Emissionsgrad ɛ 0 der Isolierschicht sowie dem Emissionsgrad ɛ W der Kanalwand. Die Erdbeschleunigung beträgt: g = 9, 81 m/s. Stowerte des idealen Gases Luft: Wärmeleitfähigkeit kinemat. Viskosität Prandtlzahl therm. Ausdehungskoe. λ L = 0, 099 W 5 m ν mk L =, P r s L = 0, 708??? ideales Gas!!! Lösung: Kabelkanal (ehemalige Vordiplom-Aufgabe) 1

2 a) Freie Konvektion am horizontalen Zylinder Nu = { { 0, , } Ra f 3 mit f 3 = 1 + ( 0, 559 P r ) } 9 9 Die Rayleighzahl berechnet sich als Produkt von Grashof- und Prandtl-Zahl: Die Grashof-Zahl der Luft ergibt sich zu: Ra = Gr P r Gr L = β g l3 ν T 0 T L = T 0 T L g (D + δ)3 = T L ν wobei die charakteristische Länge der Auÿendurchmesser der Kabelisolierung ist und sich der isobare Volumenausdehnungskoezient β im vorliegenden Fall des idealen Gases zu β = 1 ( ) ( ) v = 1 R T p = 1 R v T p v T v p T T = 1 T ergibt. Die Rayleigh-Zahl Ra und die Funktion f 3 lauten nun: { ( ) } 9 9 0, 559 Ra = Gr P r = und f 3 = 1 + P r Es folgt schlieÿlich die Nuÿelt-Zahl Nu = { 0, , , 6} = 6, 1 Der Wärmeübergangskoezient ergibt sich zu p = 0, 37 α = Nu λ L (D + δ) = 9, 9 W m K Der konvektiv von der Isolierung abgegebene Wärmestrom Q K beträgt Q K = α A zyl (T 0 T L ) = 9, 9 W m K π L (D + δ) 100 K = 87, 56 W b) Damit im stationären Fall die Lufttemperatur T L konstant bleibt, muss der konvektive Wärmestrom Luf t Kanalwand genauso groÿ sein wie der Wärmestrom Kabel Luft. Q K = α W A kanal (T L T W ) = 0 W m K a L (T L T W ) T W = T L Q K a L α W = 95, 85 K ϑ W =, 7 C

3 c) Der Wärmestrom infolge des Strahlungsaustausches zwischen Kanalwand und Kabel, unter Vernachlässigung der Stirnächen, berechnet sich zu Einsetzen der Werte ergibt mit Q Str = σ A 0 (T0 TW ( ) ) 1 ɛ 0 + A 0 1 A W ɛ W 1 A 0 = π (D + δ) L = 0, 095 m bzw. A W = a L = 0, 6 m folgenden Wärmestrom Q Str = 5, W m K 0, 095 m (03, 15 95, 85 ) K ( ) = 53, 36 W 1 0,095 m ,8 0,6 m 0, d) Die spezische Wärmeleistung des Kabels ist nun die auf das Volumen bezogene insgesamt abgeführte Leistung Q ab, die sich als Summe aus Strahlungsleistung und konvektiv abgegebener Wärmeleistung ergibt: Es ergibt sich somit: Q ab = Q K + Q Str = 53, 36 W + 87, 56 W = 10, 9 W q diss = Q ab V Kabel = Q ab π D L = 10, 9 W MW = 1, 196, m3 m 3 e) Die Temperatur an der Isolierschichtinnenseite T i kann man mit Hilfe der Wärmeleitfähigkeit λ i und der Beziehung für den Gesamtwiderstand eines Hohlzylinders berechnen: Q Leitung = 1 R zyl (T i T 0 ) = π λ i L ln ( ) (T D+δ i T 0 ) D Die insgesamt abgegebene Wärme Q ab muss zuvor in Form von Wärmeleitung durch die Isolationsschicht transportiert werden. Daher gilt: Q Leitung = Q ab Es ergibt sich somit für die Temperatur an der Innenseite der Isolierschicht: T i = 03, 15 K + T i = T 0 + Q ( ) ab D + δ π λ i L ln D ( ) 10, 9 W 0, 0 ln = 9, 1 K π 0, W 1, 5 m 0, 01 m K ϑ i = 155, 91 C 3

4 Aufgabe.13: Thermometer im Raum Ein Thermometer bendet sich in der Mitte eines Raumes. Die Temperatur der Raumwände beträgt ϑ W = 15 C und die Temperatur der umgebenden Luft ϑ L = 5 C. Der Glaskolben mit der Thermometerüssigkeit hat die Oberäche A 1 = cm. Der Emissionsgrad beträgt ɛ 1 = 0, 9 und der Wärmeübergangskoezient Glaskolbenoberäche / Umgebungsluft beträgt α = 10 W. m K a) Veranschaulichen Sie sich die Richtung der im stationären Fall am Thermometer auftretenden Wärmeströme. b) Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung des Strahlungswärmestroms von dem Thermometer zur Wand Q T W an. Vergegenwärtigen Sie sich hierzu zunächst die Besonderheit der vorliegenden Geometrie. c) Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung des konvektiven Wärmestroms von der Umgebungsluft zum Thermometer Q L T an. d) Welche Temperatur liest man am Thermometer im stationären Zustand ab? e) Überprüfen Sie das unter c) gefundene Ergebnis. Hinweis: Verwenden Sie zur Auswertung des Strahlungsterms in c) folgende Beziehung TT TW = (T T T W ) (T T + T W ) ( ) TT + TW bzw. ( ) ( ) TT TW (T T T W ) TT + T W T T + TW } {{ } =: f( T T, T W ) = konst. mit einer geeigneten konstanten Schätztemperatur T T = konstant für T T. Lösung: Thermometer im Raum a) Für die Temperatur des Thermometers T T gilt sicher T W T T T L Das heiÿt: Der konvektive Wärmestrom geht von der wärmeren Luft an das kältere Thermometer, während der Strahlungswärmestrom von dem Thermometer an die noch kältere Wand übergeht. Berücksichtigt man dies, so sind alle unten aufgeführten Wärmeströme positiv. b) Bei der Geometrie handelt es sich um einen kleinen Körper 1, der von einem Körper, dem Wohnraum, umgeben ist, der eine wesentlich gröÿere Oberäche aufweist als der Glaskolben des Thermometers: A >> A 1. Die Gleichung, welche den Wärmestrom in diesem Fall beschreibt, lautet ( ) Q T W = σ ɛ 1 A 1 T T TW

5 c) Der konvektive Wärmestrom von der Umgebungsluft zum Thermometer berechnet sich zu: Q L T = α A 1 (T L T T ) d) Im Gleichgewichtszustand muss der dem Thermometer zuieÿende Wärmestrom gleich dem abieÿenden Wärmestrom sein: Es muss also gelten Q T W = Q L T σ ɛ 1 A 1 ( T T T W ) = α A1 (T L T T ) Da diese Gleichung nicht ohne weiteres aufgelöst werden kann, wird der Strahlungsterm zunächst umgeformt: ( ) ( ) σ ɛ 1 A 1 (T T T W ) TT + T W T T + TW = α A 1 (T L T T ) } {{ } =: f( T T, T W ) = konst. Da sich die interessierenden Temperaturen lediglich im Bereich 88, 15 K T 98, 15 K bewegen, sind die Summenterme der Temperaturen bzw. deren Quadrate numerisch hinreichend stabil während die Dierenz zweier nahe beeinander liegender Temperaturen numerisch schwieriger zu verarbeiten ist. Daher kann der träge Summenterm f( T T, T w ) ohne groÿen Fehler als konstant angenommen werden, während die Dierenz der Temperaturen variabel belassen wird. Für die Thermometertemperatur ϑ T wird zunächst das arithmetische Mittel von Wand- und Lufttemperatur eingesetzt: Es gilt somit: Es folgt daher: T T ϑ T = 1 (ϑ W + ϑ L ) = 0 C T T = 93, 15 K f( T T, T W ) = f(93, 15 K, 88, 15 K) = 9, K 3 T T = ( ) ( α A 1 T L + σ ɛ 1 A 1 TT + T W T T + TW ( ) ( ) σ ɛ 1 A 1 TT + T W T T + TW + α A 1 = 0, 5963 W + 1, W/K 9, K 3 88, 15 K 1, W/K 9, K 3 + 0, 00 W/K ) T W = 0, , also T T = 9, 8 K ϑ T = 1, 65 C Es ist erstaunlich, wie wenig sich T T ändert wenn man für TT die theoretischen Extremalwerte = 88, 15 K und = 98, 15 K einsetzt: T T T T T T = 88, 15 K : f( T T, T W ) = 9, K 3 T T = 9, 87 K ϑ T = 1, 7 C T T = 98, 15 K : f( T T, T W ) = 10, K 3 T T = 9, 6 K 5 ϑ T = 1, 9 C

6 e) Man kann das unter c) gewonnene Ergebnis überprüfen, indem man mit der errechneten Thermometertemperatur T T die beiden Wärmeströme Q T W und Q L T bestimmt. Es gilt zunächst für den infolge von Strahlung hervorgerufenen Wärmestrom Q T W : ( ) Q T W = σ ɛ 1 A 1 T T TW Also Q T W = 5, W m K 0, 000 m (9, 8 88, 15 )K = 6, W Für den konvektiven Wärmestrom Q L T gilt: Also Q L T = α A 1 (T L T T ) Q L T = 10 W m K 0, 000 m (98, 15 K 9, 8 K) K = 6, W Die berechnete Thermometertemperatur ist demnach richtig! 6

7 Aufgabe.11: Das spektrale Maximum der Solarstrahlung Bei welcher Wellenlänge λ max weist das solare Spektrum sein Maximum auf, wenn man die Sonne als schwarzen Strahler betrachtet, dessen Oberächentemperatur T S = 5700 K beträgt? Lösung: Das spektrale Maximum der Solarstrahlung Das Maximum der spektralen Intensität kann man mit Hilfe des Wienschen Verschiebungsgesetzes für den schwarzen Körper bestimmen: λ max T = 897, m K Setzt man hier die Oberächentemperatur T S = 5700 K ein, so ndet man: λ max = 897, m K 5700 K = 5, m = 508, nm Man würde diese Wellenlänge auch ermitteln, wenn man das spektrale Maximum der Empndlichkeit des menschlichen Auges sucht. 7

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