Übungen zu Materialwissenschaften II Prof. Alexander Holleitner Übungsleiter: Sandra Diefenbach Musterlösung zu Blatt 2

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1 Übungen zu Materialwissenschaften II Prof. Alexander Holleitner Übungsleiter: Sandra Diefenbach Musterlösung zu Blatt 2 Aufgabe 3: Hagen- Rubens- Gesetz Das Hagen- Rubens Gesetz beschreibt das Reflektionsvermögen von Metallen im Infraroten. (a) (Wiederholung aus der Vorlesung:)Durch welche Modelle kann die Frequenzabhängigkeit der Reflexion beschrieben werden? Welche Annahmen werden dabei gemacht? (b) Ab welcher Frequenz wird ein Metall durchsichtig? (c) Im Infraroten erfüllen Metalle die Annahme ωτ 1. Zeigen Sie, dass die komplexe Permittivität durch die imaginäre Komponente dominiert wird (siehe Abbildung 1): ɛ i σ DC Die Wechselstromleitfähigkeit lässt sich direkt aus dem Drude- Modell herleiten und sei hier gegeben als σ AC = σ DC 1 1 iωτ mit der Gleichstromleitfähigkeit σ DC = n e e 2 τ/m, Ladungsdichte n e, Streuzeit τ, effektive Masse m und Dielektrizitätskonstante ɛ 0. Abbildung 1: Relative elektrische Permittivität mit reeler und imaginärer Komponente ɛ 1 und ɛ 2 abhängig von der Frequenz ν am Beispiel Aluminium (d) Zeigen Sie, dass das Reflexionsvermögen durch das Hagen- Rubens- Gesetz beschrieben werden kann: 8ɛ0 ω R = 1 1 σ DC

2 Treffen Sie hierfür die Annahme, dass für Metalle der Brechungsindex sehr groß ist: n 1. Verwenden Sie außerdem die Relationen ñ = ɛ µ zwischen den komplexen Brechungsindex ñ, Dielektrizitätskonstante ɛ und magnetische Permeabilität µ sowie für die imaginäre Einheit i = 1+i 2 (e) Silber hat einen spezifischen Widerstand von ρ Ag = 1, Ωm, Quecksilber hingegen von ρ Hg = Ωm. Vergleichen Sie das Reflexionsvermögen für beide Metalle bei einer Wellenlänge von λ = 50µm. Verwenden Sie ω = 2πc/λ. (f) Ist die Annahme ωτ 1 für Silber und für Quecksilber gerechtfertigt? Die Ladungsträgerdichten sind n Ag = 5, cm 3 und n Hg = 8, cm 3. Lösung zu Aufgabe 3 (a) siehe Vorlesung ab Seite 42 ff. (Drude: freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Elektronentheorie für Metalle); Lorentz: stark gebundene Elektronen (klassische Elektronentheorie für dielektrische Materialien) ) Abbildung 2: Reflektivität für verschiedene Wellenlängen (b) Plasmafrequenz (Vorlesung Seite 48) (c) Dielektrizitätskonstante aus der Vorlesung lässt sich mit den gegebenen Konstanten 2

3 umformen zu: ɛ(ω) = 1 ne2 ɛ 0 m 1 ω 2 + iω/τ ɛ(ω) = ɛ 0 + i σ AC Im Infraroten gilt erfüllen Metalle die Annahme ωτ 1 (Angabe), daher kann man nähern: σ AC = σ DC 1 1 iωτ σ AC σ DC und dies in die Formel einsetzen: Da ɛ 0 hier sehr viel kleiner ist als i σ DC ɛ = ɛ 0 + i σ AC ɛ 0 + i σ DC ergibt sich die gesuchte Beziehung: ɛ i σ DC (d) Zunächst gehen wir von der Reflektivität aus, die auf Seite 84 im Skript gegeben ist: R = (n 1)2 + κ 2 (n + 1) 2 + κ 2 Gesucht werden also der Realteil n und der Imaginärteil κ des komplexen Brechungsindex. Der komplexen Brechungsindex kann über die Dielektrizität berechnet werden: ñ = n ik = ɛ µ = ɛ, da kein Magnetfeld anliegt (magnetische Permeabilität µ = 0). Mit Hilfe der Formel aus Aufgabe (c) und der Relation i = 1+i 2 umgeformt werden: ñ = ɛ = i σ DC = 1 + i σdc 2 aus der Angabe ñ Daraus folgt, dass die Quadrate über Realteil und Imaginärteil des Brechungsindex 3

4 gleich sind: ñ = n ik σdc n = 2 σdc k = 2 n 2 = k 2 Setzt man dieses Ergebnis in die gegebene Formel für die Reflektivität R ein und vereinfacht die Formel, ergibt sich: R = (n 1)2 + κ 2 (n + 1) 2 + κ = n2 2n n 2 ( 2n + 2n) 2 (n + 1) 2 + n 2 = (n2 + 2n + 1) + n 2 4n 4n = 1 (n + 1) 2 + n 2 (n + 1) 2 + n 2 Nun ist die angegebene Näherung sehr einfach anwendbar(treffen Sie hierfür die Annahme, dass für Metalle der Brechungsindex sehr groß ist: n 1) folgt (n + 1) 2 + n 2 2n 2 und damit das Hagen- Rubens- Gesetz: 4n R = 1 (n + 1) 2 + n 1 4n 2 2n = n 8ɛ0 ω = 1 σ DC (e) Als Anwendungsbeispiel seien hier Silber und Quecksilber gegeben, der Leitwert ist der reziproke Widerstand σ = 1/ρ und die Wellenlänge ist mit der Frequenz über ω = 2πc/λ verwand: R = 1 8ɛ0 ω σ DC = 1 16πcρDC ɛ 0 λ Mit den gegebenen Werten lässt sich daraufhin leicht berechnen: R(50µmAg) = 0, 934 R(50µmHg) = 0, 943 4

5 (f) Um die Annahme ωτ 1 zu überprüfen, formen wir nach τ um: und setzen die gegebenen Werte ein: σ DC = ne2 τ m τ = σ DCm n e e 2 = m ne 2 ρ τ(ag) = 3, τ(hg) = 4, Bei der Wellenlänge von 50µm, die schon in Aufgabe (e) verwendet wurde, lässt sich berechnen: ωτ(ag) = 1, 38 > 1 ωτ(hg) = 0, Für Quechsilber trifft die Annahme somit zu, für Silber allerdings nicht. Aufgabe 4: Plasmafrequenz von Aluminium Im neuen Personalausweis werden neben Name, Geburtsdatum und Staatsangehörigkeit auch ein Passbild und zwei Fingerabdrücke auf einem RFID - Chip (Radio Frequency IDentification) gespeichert. Der Chip arbeitet mit einer Frequenz von 13,56 MHz. Sie wollen diese Strahlung mit einer haushaltsüblichen Aluminiumfolie mit einer Dicke von etwa 0, 01mm abschirmen. Die Teilchendichte von Aluminium beträgt n Al = 6, cm 3, die atomare Masse 27 u. Berechnen Sie die Plasmafrequenz von Aluminium unter der Annahme, dass die Polarisierbarkeit des Materials verschwindend klein ist (ɛ el = 1): ω P = ne 2 /ɛ 0 ɛ el m Berechnen Sie die Eindringtiefe δ. Reicht eine Schicht Aluminiumfolie aus, um den RFID- Chip vollständig abzuschirmen? Lösung zu Aufgabe 4 Für die Plasmafrequenz von Aluminium ist m = 27u 1, kg/u = 4, kg 5

6 mit den weiteren Angaben in die gegebene Formel einzusetzen: ω P = ne 2 /ɛ 0 ɛ el m = 6, /s Die Eindringtiefe δ = 1/a wurde bereits in Aufgabe 2 im ersten Übungsblatt berechnet und im Skript auf Seite 11 zu finden. Mit der Umformung aus Aufgabe 3 bleibt nur die Abhängigkeit von der Wellenlänge und vom komplexen Brechungsindex: a = 2ωκ c = 4πc λc δ = λ 4πκ Mit der Plasmafrequenz lässt sich der komplexe Brechungsindex und damit die Eindringtiefe berechnen: κ = ωp 2 /ω2 1 = 3, δ = 2, Für eine Schicht haushaltsübliche Aluminiumfolie ergibt sich somit eine Absorption von: I(d) I 0 = exp( d/δ) = = 2, 8% (1) Eine Schicht ist also für eine vollständige Abschirmung nicht ausreichend. 6