4 Freie Konvektion Vertikale Platte. Freie Konvektion entsteht durch Dichteunterschiede infolge eines Temperaturgradienten.

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1 4 Freie Konvektion Freie Konvektion entsteht durch Dichteunterschiede infolge eines Temperaturgradienten. 4. Vertikale Platte Wärmeabgabe einer senkrechten beheizten Platte Thermische Grenzschichtdicke hydraulische Grenzschichtdicke W Q w w wenn w bekannt, dann Ansatz wie überströmte Platte x

2 4 Freie Konvektion Potentielle Plattenlänge Energie / Volumen E g ˆ pot W Kinetische Energie / Volumen Ekin w wenn vollständig umgesetzt: g w in der alität ist die Umsetzung nicht vollständig, Wirkungsgrad : durch Erweiterung g mit w g 3 W w =,5 Gr (experimentell)

3 4 Freie Konvektion 3 Gr ˆ Grashof Zahl, immer bei freier Konvektion! aus Messungen : W,5 a q Gr,5 Näherung Damit können Gleichungen für erzwungene Konvektion verwendet werden, indem oder durch ersetzt wird. d äq z.b. gilt für überströmte Platte (laminar): Nu lam 0,5 0,664 Pr 0,33 (Pohlhausen) und für natürliche Konvektion (laminar): 0,664 / 4,5 0, 58 Nu lam Gr 0,5 0,58 Pr 0,33 Näherungsgleichung

4 4 Freie Konvektion 4 oder mit Pohlhausen - Gleichung für turbulente Strömung und Pr Nu 0,8 0,037 und a q Gr,5 Nu turb 0,4 0,06 Gr Näherungsgleichung Beste Ergebnisse: Korrelation von Churchill und Chu (VDI-Wärmeatlas) Nu = 0, , 387 Ra f (Pr) 6 mit f (Pr) = + 0,49 Pr Großer Gültigkeitsbereich: 0, < Ra < 0 (laminar und turbulent), 0,00 < Pr < , Ra = Gr Pr: Rayleigh-Zahl Übergang laminar turbulent : 9 Gr x 0 Besser: Ra krit =. 0 9 Typisch: - laminare freie Konvektion: Nu~Ra /4 - turbulente freie Konvektion: Nu~Ra /3

5 4 Freie Konvektion 5 Vertikale Platte: Grenzschichtgleichungen für freie Konvektion Impuls: w x w x x + w y w x y = ν w x y + β 0 g θ θ 0 Masse: Energie: w x θ x + w y w x x + w y y = 0 θ y = a 0 θ y Auftriebsterm: Boussinesq-Approximation: Dichteänderung (ausschließlich durch Temperaturänderung) erzeugt Auftriebsströmung Näherungslösung der Grenzschichtgleichungen mit Integralmethode: Idee (von Karman und Pohlhausen 9): Bestimmung δ, w x.) keine exakte ösung der Grenzschichtgleichungen, sondern Näherungslösung durch Integration über Grenzschichtdicke δ.) Vorgabe von Verläufen für w und θ

6 4 Freie Konvektion 6 Näherungslösung der Grenzschichtgleichungen mit Integralmethode Thermische Grenzschichtdicke hydraulische Grenzschichtdicke θ w θ x, y w x x, y θ amb Annahmen: - Pr = : δ h = δ th - laminare Strömung - Ansatz für Temperaturverlauf: θ x, y = θ w θ amb y - Ansatz für Geschwindigkeitsverlauf: w x x, y = w (x) y mit w x = C x m und δ x = C x n δ(x) δ x + θamb y δ x

7 4 Freie Konvektion 7 Als Ergebnis erhält man eine Gleichung für die örtliche Grenzschichtdicke δ x x = 3, 93 0, 95 + Pr /4 Gr x /4 Pr / Wärmestrom von Wand an Fluid durch Fourier sches Gesetz: Verwendung des Ansatzes für Temperaturverlauf θ x, y = θ w θ amb y δ x q(x) = λ θ = λ θ w θ amb y y=0 δ x + θamb = λ θ w θ amb 3,93 0,95+Pr /4 /4 Gr x Pr / x Mit α x = q x θ w θ amb Für uft: Pr = 0, 7: kann eine Gleichung für die Nusseltzahl berechnet werden Nu x = α x x λ = 0, 508 Pr / 0, 95 + Pr /4 Gr x /4 Nu m = α m λ = 0, 679 Pr/ 0, 95 + Pr /4 Gr /4 Nu x = 0, 378 Gr x /4 Nu m = 0, 504 Gr /4

8 4 Freie Konvektion 8 Geschwindigkeitsverlauf w x x, y = w y δ(x) y δ x = 5, 7 ν 0, 95 + Pr / Gr x / x y δ(x) y δ x Maximale Geschwindigkeit w x,max durch Extremstellensuche: w x y = 0: Ergebnis w x,max = 4 7 w (x) an der Stelle y = 3 δ(x) mittlere Geschwindigkeit an der Stelle x : w x x, y w x = δ δ y=0 w x x, y dy = w (x)

9 4 Freie Konvektion 9 4. andere Geometrien Für andere Geometrien: Berechnung der charakteristischen änge * A U ˆ ˆ A U Wärmeübertragungsfläche Umfang der Projektion in Strömungsrichtung Gr Pr Ra ˆ Rayleigh Zahl Für die obigen Gleichungen wird Für uft (ideales Gasgesetz): p v R T i W benötigt. v R i = individuelle Gaskonstante p R T i

10 4 Freie Konvektion 0 Für andere Gase oder für Flüssigkeiten gilt T β = thermischer Ausdehnungskoeffizient [K ] W T W T und g ( TW T ) Gr 3 Gr = Auftriebskraft Zähigkeitskraft Für ideale Gase erhält man p Ri T p T T R T i Besser: aus Stoffwerttabelle bei θ Alle anderen Stoffwerte bei mittlerer Filmtemperatur (θ w + θ ) /

11 4 Freie Konvektion Benard Konvektion Von unten beheizter, horizontaler Spalt: - für Ra < 700 reine Wärmeleitung durch den Spalt Nu - für Ra > 700 bilden sich Konvektionszellen Nu 0,069 Ra 0,33 Pr 0,074 s Charakteristische änge = Dicke der Fluidschicht s

12 4 Freie Konvektion 4.3 Überlagerung aus freier und erzwungener Konvektion: Mischkonvektion w 0 w w Freie Konvektion dominant Überlagerung freie + Erzwungene Konvektion Erzwungene Konvektion dominant Richardson-Zahl Ri = Gr : - für Ri : erzwungene Konvektion dominant - für Ri : freie Konvektion dominant

13 4 Freie Konvektion 3 Überlagerung aus freier und erzwungener Konvektion w frei w erzw. res erzw. frei w frei res erzw. Gr,5 verwende res in: Nu Nu min. Nu lam. Nuturb.

14 4 Freie Konvektion 4 Ein waagerecht frei verlegtes Rohr von 50 mm Außendurchmesser wird von heißem Wasser durchströmt. Die äußere Rohroberfläche habe dabei eine Temperatur von o = 90 C. Berechnen Sie den Verlustwärmestrom pro m Rohrleitung (ohne Strahlungsverlust). a) bei ruhender Umgebungsluft b) bei Windgeschwindigkeiten von,, 5, 0, 0 m/s und einer Umgebungstemperatur der uft von 0 C. Stoffwerte: uft b = 50 C Pr = 0,69 m = m²/s λ m = 0,08 W/mK θ b = θ 0 + θ

15 Q l A l 4 Freie Konvektion 5 Wärmestrom je Meter Rohrlänge l: o d a Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten: o Nu, Pr (überströmter Einzelkörper) Überströmlänge: Charakteristische änge A U s Wärmeübertragungsfläche Umfang der Schattenfläche für den waagrechten Zylinder: (quer angeströmt) d a a a d d / a a d d

16 4 Freie Konvektion 6 Allgemein bei freier und erzwungener Strömung: Nu min, erzwungen Gr,5 Nu Nu Nu, lam, turb min Nu Nu Nu, lam, turb 0,3 0,664 Pr ( Zylinder) /3 0,037,443 / 0,8 0, Pr Pr /3 g Gr 3 o für ideale Gase: T o / T / T / T o To T T o

17 4 Freie Konvektion , ,5/ 9,8 / Gr T T T d g Gr o o a 8,,96 0,073 / w d w w a erzw

18 4 Freie Konvektion 8 w / (m/s) / 0 4,44,6 4,59,00,86 43,65 Nu /lam 70,4 94,8 5,7 94,6 74,33 387,7 Nu,turb 68, 08, 67,6 33,0 565,9 978,9 Nu 98,3 44, 09,8 384,3 69, 046,7 Q/l kw/m 0,44 0,64 0,94,7,8 4,69 Vorsicht: Der zusätzliche Wärmeverlust durch Strahlung beträgt hier (bei ε 0, 8, T m = 363 K) etwa gerade soviel wie der durch freien Auftrieb.