Institut für Technische Chemie Technisch-Chemisches Grundpraktikum

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1 Institut für Technische Chemie Technisch-Chemisches Grundpraktikum Experiment 4 Wärmetransport

2 Stuttgart, 6. Dezember 2016

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Aufgabenstellung 2 3 Grundlagen Wärmeleitung Stationäre Wärmeleitung durch eine ebene Wand Stationäre Wärmeleitung durch eine Rohrwand Wärmestrahlung Wärmeübergang Wärmedurchgang Gleichungen für den Wärmedurchgang bei Gleich-, Gegen- und Kreuzstrom Versuchsaufbau 13 5 Sicherheitsaspekte 14 6 Versuchsdurchführung 15 7 Versuchsauswertung 16 Literatur 18 III

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5 1 Einleitung Bei allen chemischen Prozessen spielt der Wärmetransport für die Reaktionsführung eine große Rolle. In den meisten Fällen handelt es sich dabei um Wärme, die innerhalb und zwischen verschiedenen Systemen ausgetauscht wird. Eine genaue Kenntnis der Wärmetransportmechanismen ist unabdingbar, um einen sicheren Ablauf des Prozesses durch richtige Dimensionierung und Ausführung von Reaktoren, Wärmetauschern und Rohrleitungen zu gewährleisten. Dabei sind neben chemischen und verfahrenstechnischen Gesichtspunkten auch wirtschaftliche Aspekte von großer Bedeutung. Zum einen können die Energiekosten für die Durchführbarkeit eines Prozesses entscheidend sein, so dass sie minimiert werden müssen. Zum anderen bestimmen die für einen Wärmeaustausch notwendigen Apparate und die Größe der Wärmeaustauschflächen wesentlich die Investitionskosten. 1

6 2 Aufgabenstellung In der Technik besitzen Kriteriengleichungen für den Wärme- und Stoffübergang eine zentrale Bedeutung für die Maßstabsübertragung. In diesem Versuch soll für einen Doppelrohrwärmetauscher die Kriteriengleichung: Nu = c 1 Re c2 Pr c 3 (1) für den Wärmeübergang des Kaltwasserstroms und des Warmwasserstroms aufgestellt werden. Dazu ist für die Prozessführung im Gleich- und Gegenstrom bei konstantem Durchfluss des Kaltwasserstroms der Durchfluss des Warmwasserstroms zu variieren und die Temperaturen des zu- und ablaufenden Warm- und Kaltwasserstroms sind zu messen. 3 Grundlagen Wärme kann durch Leitung, Konvektion und Strahlung übertragen werden. Den einzelnen Mechanismen [1;2] kommt je nach übertragendem Medium und der treibenden Temperaturdifferenz verschiedene Bedeutung zu. 3.1 Wärmeleitung Die Wärmeleitung [1 3] ist ein molekularer Transportvorgang und tritt in reiner Form nur in unbewegter Materie auf. Der Energieaustausch erfolgt dabei entweder über Molekülschwingungen oder freie Elektronen. Die Grundlage für die Erfassung der Wärmeleitung bilden die Fourierschen Gesetze. Für den stationären Fall gilt die 1. Fouriersche Gleichung: ẇ = Ẇ A = λ gradt, (2) wonach die Wärmestromdichte ẇ dem Temperaturgradienten direkt proportional ist. W ist der Wärmestrom, der durch die Fläche A hindurchtritt. Die Wärmeleitfähigkeit λ ist eine Stoffgröße und kann stark temperatur- und druckabhängig sein. Das negative Vorzeichen bringt zum Ausdruck, dass der Wärmestrom dem Temperaturgradienten entgegen gerichtet ist. 2

7 Abbildung 1: Temperaturprofil für eine eindimensionale Wärmeleitung durch ein Medium mit parallelen Phasengrenzen. Zeitlich veränderliche Temperaturfelder treten z. B. bei Aufheiz- und Abkühlvorgängen auf. In diesem Fall kann die instationäre Wärmeleitung in einem dreidimensionalen System mit folgender Gleichung beschreiben werden: T t = λ ρ c p ( 2 ) T x T y T z 2 + q. (3) ρ c p Die darin auftretenden stofflichen Größen (Wärmeleitfähigkeit λ, Dichte ρ, isobare Wärmekapazität c p ) werden zur Temperaturleitzahl a (in m 2 s 1 ) a = λ ρ c p, (4) zusammengefasst, die ebenfalls eine reine Stoffgröße ist (siehe Tabelle 1). Eine Temperaturerhöhung breitet sich in einem Körper um so schneller aus, je größer dessen Wärmeleitfähigkeit λ und je geringer dessen volumenbezogene Wärmekapazität c p ρ ist. Somit ist a ein direktes Maß für die Zeit, die ein gegebenes System für den Temperaturausgleich benötigt. 3

8 Tabelle 1: Wärmeleitfähigkeiten und Temperaturleitzahlen einiger Stoffe. [1] Wärmeleitfähigkeit in W m 1 K 1 Aluminium ,6 Gusseisen 58 14,7 Chromnickelstahl 14,5 3,85 Kupfer Beton 1,28 0,66 Fensterglas 1,316 0,56 Asbestplatten 0,7 0,443 Wasser 0,598 0,143 Ethanol 0,180 0,0924 Luft 0, ,4 Wasserstoff 0, Temperaturleitzahl a in m 2 s Stationäre Wärmeleitung durch eine ebene Wand Bei einer stationären Wärmeleitung durch eine ebene Wand genügt es, die eindimensionale 1. Fouriersche Gleichung zu lösen: Die Integration dieser Gleichung liefert: ẇ = λ dt dx. (5) x2 x 1 dx = λ ẇ T2 T 1 dt, (6) x 2 x 1 = λ ẇ (T 2 T 1 ), (7) ẇ = λ T. (8) x Der Temperaturverlauf in der Wand ist linear (siehe 1). Die Größe x/λ stellt einen spezifischen, auf die Längeneinheit bezogenen Wärmewiderstand dar. Ist die Wand aus mehreren (n) parallel angeordneten Schichten verschiedener Materialien (Wärmeleitfähigkeiten λ 1,λ 2,...λ n ) unterschiedlicher Dicke ( x 1, x 2, x n ) aufgebaut, so addieren sich die spezifischen Wärmeleitwiderstände: n ẇ = i=1 x i λ i 1 T (9) 4

9 Abbildung 2: Wärmeleitung durch eine geschichtete Wand Stationäre Wärmeleitung durch eine Rohrwand Bei der Wärmeleitung durch eine Rohrwand (Abbildung 3) ist die zum Wärmestrom normale Fläche eine Zylindermantelfläche. Abbildung 3: Temperaturprofil über eine Zylinderwand. 5

10 In diesem Fall ist es vorteilhaft, die 1. Fouriersche Gleichung (5) in Zylinderkoordinaten darzustellen: Nach Integration folgt: Ẇ = λ A dt dr = λ 2 π r l dt dr. (10) ln r 1 r 2 = 2 π lλ Ẇ (T 2 T 1 ), (11) und unter Verwendung des logarithmischen Mittelwertes der Fläche A m A m = A 2 A 1 ln A 2 A 1 (12) wird folgende Gleichung erhalten: Ẇ = λ r A m T. (13) Das resultierende Temperaturprofil (Abbildung 3) ist im Gegensatz zur Wärmeleitung durch eine ebene Platte nicht linear, sondern logarithmisch. 3.2 Wärmestrahlung Jeder Körper sendet in Abhängigkeit von seiner Temperatur elektromagnetische Strahlung aus. [1;3] Im Gegensatz zum Wärmetransport mittels Konvektion und Wärmeleitung ist die Wärmestrahlung jedoch nicht an ein Medium gebunden und tritt zwischen zwei Körpern auch dann auf, wenn keine Temperaturdifferenz vorhanden ist, ein Wärmeaustausch findet jedoch nicht statt. Wärmestrahlung, die auf einen Körper trifft, kann absorbiert, reflektiert oder transmittiert werden. Nach dem Energieerhaltungssatz besteht zwischen dem Reflexionsgrad ϕ, dem Transmissionsgrad τ und dem Absorptionsgrad κ der Zusammenhang ϕ + τ + κ = 1. (14) Darüber hinaus gilt das Kirchhoffsche Gesetz: ε = κ, (15) wonach der Emissionsgrad ε eines Körpers gleich seinem Absorptionsgrad κ ist. Hierbei muss zwischen schwarzen, grauen und selektiven Strahlern unterschieden werden. Der schwarze Strahler absorbiert unabhängig von der Wellenlänge die gesamte auftreffende Strahlung (κ = 1). Die meisten technischen Strahler sind graue Körper, deren Absorptionsvermögen von der Wellenlänge unabhängig ist, die aber einen Teil der auftreffenden Strahlung reflektieren (κ < 1). Körper, deren Absorptions- und Emissionsvermögen stark von der Wellenlänge der Strahlung abhängen, werden als selektive Strahler bezeichnet. Gase sind ausgesprochene Selektivstrahler. Ihr Strahlungsverhalten ist außer von der Temperatur auch vom Partialdruck und von der Schichtdicke abhängig. Die Abhängigkeit der Strahlungsintensität I S des 6

11 schwarzen Strahlers von der Wellenlänge λ S der Strahlung und der Temperatur T liefert das Plancksche Strahlungsgesetz [3] : 2πhc 2 I S (λ,t) = ) (16) λ 5 S (e kλ ch ST 1 mit der Lichtgeschwindigkeit c: = 2, ms 1, dem Plancksches Wirkungsquantum h: = 6, Js, und der Boltzmann-Konstante k: = 1, JK 1. Eine Aussage über die Lage des Maximums der Planckschen Strahlungskurve in Abhängigkeit von der Temperatur liefert das Wiensche Verschiebungsgesetz: λ S,max T = 2, Km. (17) Demnach verschiebt sich das Maximum der Strahlungsintensität mit steigender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen. Die Temperaturabhängigkeit der Wärmestromdichte ẇ ist durch das Stefan-Boltzmann-Gesetz gegeben: bzw. mit demε: Emissionsgrad [ε] = ms 1, ẇ = ε σ T 4 (18) ( T ) 4 ẇ = ε C S (19) 100 der Stefan-Boltzmann-Konstante σ: = 5, Wm 2 K 4, der Strahlungskonstante C S : und der Temperatur T: = 5,67Wm 2 K 4 [T] = K In der Technik wird häufig Gleichung 19 für die Erfassung der Wärmestrahlung zwischen zwei Körpern verwendet. Dazu muss berücksichtigt werden, dass der graue Strahler nicht nur die Strahlungsleistung an gegenüberliegende Flächen emittiert, sondern auch Strahlungsleistung von diesen Flächen empfängt. Für den Wärmestrom Ẇ zwischen zwei Körpern 1 und 2 mit den gleich großen Flächen A 1 und A 2, den Temperaturen T 1 und T 2 sowie den Emissionsgraden ε 1 und ε 2 folgt: [( T1 ) 4 ( T2 ) 4 ] Ẇ = C 1,2 A 1. (20) Der Strahlungsaustauschkoeffizient C 1,2 ist von der Art des Strahlers (grau, selektiv) sowie von der Geometrie und der Anordnung der Strahlungsflächen abhängig. Bei zwei plan-parallelen Flächen 1 und 2 beträgt er: c 1,2 = C S ( ), (21) 1 ε ε 2 1 7

12 wobei ε 1 und ε 2 die Emissionsgrade dieser Flächen sind. Aus der Temperaturabhängigkeit der Wärmestromdichte in Gleichung 19 ist ersichtlich, das die Wärmestrahlung erst ab Temperaturen über 500 C nennenswert zum Gesamtwärmetransport beiträgt. 3.3 Wärmeübergang Ein Wärmestrom, der von einem fluiden Medium in eine feste Wand oder umgekehrt gerichtet ist, wird Wärmeübergang genannt [1;3]. Die mathematische Beschreibung des Wärmeübergangs hängt sehr stark von den aero- bzw. hydrodynamischen Vorgängen, d.h. den Bewegungsmechanismen des Fluids in der Grenzschicht zwischen Fluid und fester Wand ab. Wird die Bewegung der Materie durch Dichteunterschiede im Fluid hervorgerufen, liegt freie Strömung oder Eigenkonvektion vor. Davon zu unterscheiden ist der Transport des Fluids durch erzwungene Konvektion, d.h. durch eine Strömung, wie sie z.b. durch eine Pumpe, einen Rührer oder eine Turbine erzeugt wird. Der Wärmeübergang wird durch eine dem Newtonschen Abkühlungsgesetz analoge Gleichung beschrieben: Ẇ = α A (T W T F ) = α A T. (22) Der Wärmestrom Ẇ ist der Temperaturdifferenz T zwischen der Wand und dem fluiden Medium proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist der Wärmeübergangskoeffizient α. Abbildung 4: Temperaturverlauf beim Wärmeübergang von einem Fluid auf eine feste Wand. In der Praxis wird der Wärmeübergangskoeffizient α durch Modellmessungen nach Gleichung 22 ermittelt und mittels dimensionsanalytischer Wärmetransport-Charakteristiken vom Modell auf die groß- 8

13 technische Anlage übertragen. Die entsprechenden Messungen werden an Modellen durchgeführt, die ähnlich zu dem realen Prozessapparat sind. Eine Ähnlichkeit liegt vor, wenn alle den Prozessapparat und das Modell beschreibenden Größen und physikalischen Gesetze mit Ähnlichkeitsfaktoren ineinander überführt werden können. In der Ähnlichkeitstheorie werden die Abhängigkeiten physikalischer Größen durch Kriteriengleichungen beschrieben, die wiederum aus einem Produktansatz von Kennzahlen bestehen (siehe Aufgabenstellung). Die Zielsetzung der Modellmessung ist es, die Koeffizienten und Exponenten der Kennzahlen in der jeweilig gültigen Kriteriengleichung zu bestimmen. Die in der Kriteriengleichung enthaltenen Kennzahlen werden so gewählt, dass sie alle den Prozessapparat beschreibenden Größen enthalten und zusätzlich immer dimensionslos sind. Kriteriengleichungen werden immer dann zur Formulierung der physikalischen Vorgänge in einem Prozessapparat genutzt, wenn eine exakte Beschreibung über Differentialgleichungssysteme nicht durchführbar ist. Im Fall des Wärmeübergangs wird der Wärmeübergangskoeffizient α aus der dimensionslosen Nusselt- Zahl: Nu = α d λ abgeleitet, wobei d eine für den Wärmeüberträger charakteristische Größe mit der Dimension einer Länge ist. Für die erzwungene Konvektion wird die Nusselt-Zahl in Abhängigkeit von der stofflichen Prandtl- Zahl Pr und der die Strömungsbedingungen charakterisierenden Reynolds-Zahl Re dargestellt: (23) Nu = f (Re, Pr) (24) mit Re = u d ν und der mittlere Strömungsgeschwindigkeit u: [u] = ms 1, der kinematische Viskosität ν: [ν] = m 2 s 1, und der Temperaturleitzahl a: [a] = m 2 s 1. ; Pr = ν a. (25) Bei eigen/natürlicher Konvektion tritt als Prozess-Kennzahl die Grashof-Zahl: mit dem thermischer Ausdehnungskoeffizient β: [β] = K 1, und der Erdbeschleunigung g: an die Stelle der Reynolds-Zahl in der Prozesscharakteristik: Gr = β g d3 ν 2 (26) = 9,81ms 2 Nu = f (Gr, Pr) (27) Formen der Kriteriengleichungen (24) und (27), die sich in der Praxis bewährt haben, können der Literatur entnommen werden [1]. 9

14 3.4 Wärmedurchgang Als Wärmedurchgang wird der Wärmetransport von einem Fluid 1 durch eine Wand in ein zweites Fluid 2 bezeichnet. Bild 5 zeigt schematisch den Wärmedurchgang für den Fall einer ebenen Wand. Er ist von Bedeutung für die Auslegung von Wärmetauschern. Außer den Wärmeübergängen in den Grenzschichten auf beiden Seiten der Wand müssen der Wärmeleitungsvorgang in der Wand sowie, bei großen Temperaturdifferenzen, die Wärmestrahlungsvorgänge berücksichtigt werden. Für den gesamten Vorgang wird die Wärmedurchgangszahl k eingeführt: Ẇ = k A T. (28) Der Durchgangswiderstand 1/k setzt sich additiv aus den einzelnen Wärmewiderständen zusammen: 1 k = 1 α 1 + x λ + 1 α 2. (29) Gleichung 29 gibt Aufschluss über die Bedeutung der einzelnen Teilvorgänge für den Wärmedurchgang. Abbildung 5: Schematische Darstellung des Wärmedurchgangs durch eine ebene Wand Gleichungen für den Wärmedurchgang bei Gleich-, Gegen- und Kreuzstrom Strömt auf der einen Seite einer festen Wand ein warmes Fluid und auf der anderen Seite ein kaltes Fluid, so erfolgt durch die Wand hindurch ein Wärmeaustausch. Infolge des Wärmeaustausches ändern 10

15 sich die Temperaturen der beiden Medien entlang der Wand bzw. des Wärmetauschers. Der Wärmestrom kann nach der allgemeinen Gleichung 28 berechnet werden, wobei es vorteilhaft ist, eine mittlere Temperaturdifferenz T m zu verwenden: Ẇ = k A T m. (30) Im Falle eines Doppelrohrwärmetauschers muss zusätzlich noch die mittlere Fläche A m aus Gleichung 12 verwendet werden. Es kann gezeigt werden [1;4], dass für den Wärmetransport bei Gleich- und Gegenstrom folgende mittlere logarithmische Temperaturdifferenz T m anzusetzen ist: T m = T A T E ln T A T E. (31) Die in Gleichung 31 eingesetzten Temperaturen sind in Abbildung 6 und Abbildung 7 veranschaulicht, Abbildung 6 zeigt den Temperaturverlauf in einem Wärmetauscher bei Prozessführung im Gleichstrom und Abbildung 7 den Temperaturverlauf bei Gegenstrom. Abbildung 6: Temperaturprofil in einem Gleichstromwärmetauscher. Die Temperatur des wärmeren Fluids 1 sinkt von T 1,A auf T 1,E, während die des kälteren Fluids 2 von T 2,A auf T 2,E steigt. Die Anfangstemperaturdifferenz T A zwischen den Fluiden fällt entlang des Wärmetauschers auf die Endtemperaturdifferenz T E. Entlang der Austauschfläche verringert sich dabei die Triebkraft für den Wärmeübergang T. Das bei Gegenstrom vorliegende Temperaturverhalten entlang der Austauschfläche ist in Abbildung 7 dargestellt. Der für den Wärmeübergang erforderliche Temperaturgradient existiert über die 11

16 gesamte Länge des Wärmetauschers. Im Gegensatz zum Wärmetransport bei Gleichstrom, bei dem sich die Temperaturen des ausströmenden Warm- und Kaltwasserstroms im besten Fall angleichen können, kann bei der Prozessführung im Gegenstrom die Temperatur des austretenden warmen Fluids unter der des austretenden kalten Fluids liegen. Abbildung 7: Temperaturprofil in einem Gegenstromwärmetauscher. Auch bei einer gekreuzten Strömung der Fluide 1 und 2 auf beiden Seiten der Wärmeaustauschfläche (Kreuzstrom) kann der Wärmestrom nach Gleichung 28 unter Verwendung einer mittleren Temperaturdifferenz berechnet werden. Für einen Rohrbündelwärmetauscher gilt z.b.: T m = 1 ( ) T 1,A T A,Kr + T 1,E T E,Kr. (32) 2 Die Berechnung der mittleren Temperaturdifferenz ist in diesem Fall aber bedeutend schwieriger als bei Gleich- oder Gegenstrom. In Gleichung 32 bedeuten T A,Kr und T E,Kr die Anfangs- bzw. die mittlere Endtemperatur des im Kreuzstrom um die Rohrreihen strömenden Fluids, T 1A die Anfangstemperatur und T 1E die mittlere Endtemperatur des in den Rohren strömenden Fluids. 12

17 4 Versuchsaufbau Abbildung 8 zeigt ein Schema des im Versuch verwendeten Doppelrohrwärmetauschers. Dieser besteht aus zwei konzentrisch angeordneten Rohren. Im inneren Rohr wird warmes Wasser, im äußeren Rohr kaltes Wasser mittels zweier Thermostate (TH 1, TH 2) im Kreis geführt. An den Ein- und Ausgängen beider Rohre des Wärmetauschers sind Thermoelemente (TI 1-TI 4) zur Messung der Temperaturen des ein- und ausströmenden Wassers angebracht. Mittels zweier Schwebekörperdurchflußmesser (FI 1, FI 2) werden die Wasserdurchsätze bestimmt. Der Querschnitt des 1,96 m langen Doppelrohrwärmetauschers ist in Abbildung 9 dargestellt. Abbildung 8: Schema des Doppelrohrwärmetauschers. Abbildung 9: Querschnitt des Doppelrohrwärmetauschers. 13

18 5 Sicherheitsaspekte Beim Auftreten von Problemen, insbesondere einer Leckage am Doppelrohrwärmetauscher, ist sofort der zuständige Assistent zu benachrichtigen. 14

19 6 Versuchsdurchführung In dem aus Messing bestehenden Doppelrohrwärmetauscher fließt im Innenrohr Warmwasser bei einer Zulauftemperatur von ca. 35 C in gleichbleibender Strömungsrichtung. Durch den äußeren Ringspalt wird der Kaltwasserstrom bei konstanter Zulauftemperatur (ca. 22 C) und konstantem Volumenstrom sowohl im Gleich- als auch im Gegenstrom geführt. Für beide Betriebsarten werden neun verschiedene Volumenströme des Warmwassers zwischen ca. 0,5 l min 1 und 1,6 l min 1 eingestellt. Für diese 18 Betriebsbedingungen werden die Temperaturen des Kaltwasser- und Warmwasserstroms am Zu- und Ablauf gemessen. Zu Beginn werden die Thermostate in Betrieb genommen. Dazu werden die Ventile der Kühlwasserleitungen geöffnet und die für den Warm- und Kaltwasserkreislauf des Wärmetauschers jeweilig gewünschten Temperaturen eingestellt. Dann wird an den Dreiwegehähnen die Betriebsweise im Gleichoder Gegenstrom gewählt und die Strömungsgeschwindigkeit des Warmwassers eingestellt. Der Durchfluss des Kaltwassers wird auf den maximal möglichen Wert eingestellt. Um stationäre Betriebsbedingungen zu gewährleisten, sollten zwischen den einzelnen Messungen mindestens 10 Minuten liegen. 15

20 7 Versuchsauswertung a) Berechnen Sie für den Kaltwasser- und den Warmwasserstrom für die verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten die zugehörige Reynolds-Zahl Re und die Prandtl-Zahl Pr nach: Re = u d ν und Verwenden Sie alle Stoffgrößen (s.u.) bei der mittleren Temperatur: Pr = ν c p ρ. (33) λ T m = T ein + T aus 2 (34) des Fluids! Die Strömungsgeschwindigkeit u kann aus dem Volumenstrom und der durchströmten Querschnittsfläche A berechnet werden. In der Strömungslehre wird als charakteristische Länge in den Kennzahlen für nicht-kreisförmige Querschnitte der hydraulische Durchmesser d h verwendet. Dieser ergibt sich aus dem Verhältnis von flüssigkeitsgefülltem Querschnitt A zu benetztem Umfang U: d h = 4 A U. (35) Berechnen Sie, wie groß der hydraulische Durchmesser für den Ringspalt des Außenrohres ist! Die Reynolds-Zahl beschreibt die Art der Strömung, die im Wärmetauscher vorliegt. Für die Wahl der Kriteriengleichung, die den Wärmeübergang beschreiben soll, ist es wichtig, die Strömungsverhältnisse zu kennen. Die Reynolds-Zahl berücksichtigt jedoch nicht die Einlaufphase der Strömung. Das ist die Strecke, über die sich das Strömungsprofil voll ausbildet. Die charakteristische Größe hierfür ist das Längenverhältnis L/d des Strömungsrohres. Hat dieses einen Zahlenwert unter zehn, so müssen spezielle Kriteriengleichungen für den Wärmeübergang gewählt werden. b) Allgemein hängt bei erzwungener Strömung die dimensionslose Nusselt-Zahl Nu von der Reynolds- Zahl, der Prandtl-Zahl und dem Längenverhältnis d/l ab: Nu = f(re, Pr,d/L) und Nu = α d h λ. (36) Für den Kaltwasserstrom (laminare Strömung, Ringspalt) ist dieser Zusammenhang sehr komplex, da verschiedene Korrekturen eingeführt werden müssen. Für 0,1 < Pr < 1000, Re < 2300, Strömung durch Ringspalte und Wärmeübergang am Innenrohr bei isoliertem Außenrohr gilt folgende Gleichung: Nu dh,lam = 3, ,14 da D 0,19 (Re Pr dh L ) 0, ,117 (Re Pr dh L ) 0,467. (37) 16

21 In vielen Fällen ist die Verwendung des hydraulischen Durchmessers als charakteristische Länge zur Beschreibung des Wärmeübergangs mit der Nusselt-Zahl nur eine unzureichende Näherung. In bestimmten Fällen wird er in Analogie zur Strömungslehre beibehalten und unterschiedliche Kriteriengleichungen für die verschiedenen geometrischen Anordnungen werden in Kauf genommen. Voraussetzung für diese Vereinfachung ist: die Strömung ist laminar oder die benetzte Fläche der Rohrwände entspricht nicht der wärmeübertragenden Fläche (hier: Außenwand isoliert). Bei turbulenter Strömung würde im Fall des isolierten Außenrohrs und bei Wärmeübergang am Innenrohr eine Korrektur der Nusselt-Zahl auf Nu Rohr = 0,86 (D/d a ) 0,16 ausreichen. Berechnen Sie für den Kaltwasserstrom die dimensionslose Nusselt-Zahl Nu dh,lam aus Gleichung 37 und daraus mit Hilfe von Gleichung 36 den Wärmeübergangskoeffizienten α! c) Der während der Experimente vorliegende Wärmestrom kann über die jeweilige Temperaturerniedrigung des Warmwassers berechnet werden: Ẇ = V ρ c p (T W, ein T W, aus ). (38) Bei einem ideal isolierten Wärmetauscher folgt diese Größe auch aus der Temperaturerhöhung des Kaltwasserstroms. Die Wärmedurchgangszahl k wird aus aus Gleichung 30 erhalten. Berechnen Sie den Wärmestrom des Warmwassers und mit Hilfe von Gleichung 30 die Wärmedurchgangszahl k. d) Im nächsten Schritt kann der Wärmeübergangskoeffizient für die Warmwasserseite berechnet werden: 1 k = 1 + x + 1 (39) α 1 λ Wand α 2 wobei x r = 0,5 (d a d i ) ist. Dieser Wärmeübergangskoeffizient wird für die Berechnung der Nusselt-Zahl für den Wärmeübergang auf der Warmwasserseite benötigt. Berechnen Sie die Nusselt-Zahl für die Warmwasserseite nach Gleichung 36. Wenn der Volumenstrom nicht zu niedrig gewählt wurde, liegt hier turbulente Strömung vor. Für den Wärmeübergang bei turbulenter Rohrströmung gilt folgende Kriteriengleichung: Nu dh,turb = 0,024 (Re 0,8 230) (1,8 Pr 0,3 0,8) (40) Vergleichen Sie nun die aus Gleichung 36 erhaltenen Nusselt-Zahlen für die Warmwasserseite mit den nach der obigen Gleichung 40 berechneten Werten! 17

22 e) Es soll versucht werden, für den Wärmetauscher zwei Kriteriengleichungen der Form: Nu = c 1 Re c2 Pr c 3 (41) aufzustellen! Von den 4 verschiedenen Kriteriengleichungen sollen nur die für die Warm- und Kaltwasserseite bei Gleichstrom aufgestellt werden. Die aus Gleichung 36 und 37 erhaltenen Nusselt-Zahlen für die Prozessführung im Gleichstrom werden doppelt-logarithmisch aufgetragen. Trägt man die Werte der Nusselt-Zahl bei konstanter Reynolds-Zahl gegen die Prandtl-Zahl auf, so erhält man aus den Steigungen der Geraden den Exponenten c 3. Durch das Auftragen der Werte der Nusselt-Zahlen gegen die Reynolds-Zahl bei nun bekanntem Exponenten für die Prandtl-Zahl, wird der Faktor c 1 aus dem Ordinatenabschnitt und den Exponenten c 2 aus der Steigung der Geraden erhalten. Für die Auswertung werden folgende Stoffdaten benötigt: λ Wand = λ Messing = 100Wm 1 K 1 und c p, Wasser = 4,18Jg 1 K 1 sowie die Beziehungen: ( ( T )) W λ Wasser = 0,1 + 1, K mk, (42) ( ( T ( T ) 2 ( T ) 3 ) g ρ Wasser = , ,22 + 6, K) 3 K K m 3, (43) ( ( T ( T ) 2 ( T 3 ) η Wasser = 128,3439 1, , K) 3 3, kg 10 K K) m s. (44) Literatur [1] VDI-Wärmeatlas: Berechnungsblätter für den Wärmeübergang, 7., erw. aufl. Ed., 1994, VDI-Verl., Düsseldorf, ISBN [2] Vauck, W. R. A.; Müller, H. A.: Grundoperationen chemischer Verfahrenstechnik, 7., überarb. aufl. Ed., 1988, VCH, Weinheim [u.a.], ISBN [3] Lüders, K.; Oppen, G. v.: Mechanik, Akustik, Wärme: [43 Tabellen], 12., völlig neu bearb. aufl. Ed., 2008, de Gruyter, Berlin [u.a.], ISBN [4] Baehr, H. D.: Wärme- und Stoffübertragung, 9., aktualisierte auflage Ed., 2016, Springer Vieweg, Berlin; Heidelberg, ISBN