Instationäre Wärmeleitung (Ergänzung zur 7. Vorlesung vom )

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1 Technische Universität Dresden Seite 1 Instationäre Wärmeleitung (Ergänzung zur 7. Vorlesung vom ) Beachte: In der Vorlesung wurden z. T. andere Symbole verwendet. Vorlesung Ergänzungsskript Bezeichnung t ϑ Temperatur [ ] τ t Zeit [s] ξ X dimensionslose Länge [-] ϑ Θ dimensionslose Temperatur [-] φ(ξ) f(x) Funktion von ξ [-] ψ( Fo ) g(fo) Funktion von Fο [-] Allgemeines Bei der instationären Wärmeleitung ist die Temperatur an einem bestimmten Ortspunkt P ( x,y,z) zeitlich veränderlich, d.h., in einem Körper ist das Temperaturfeld eine Funktion von Ort und Zeit ϑ = ϑ( x,y,z,t ). Das Temperaturfeld wird dann durch Lösungen der bereits in Abschnitt 3 hergeleiteten Differentialgleichungen des Temperaturfeldes beschrieben (z.b. Gleichung (3-1)). Je nach Aufgabenstellung kann man die Lösungen durch analytische Integration, durch numerische oder grafische Integrationsverfahren ermitteln. Analytische Lösungen ergeben sich nur in wenigen Fällen mit ganz speziellen Voraussetzungen bzw. Vereinfachungen. Abgesehen von der bereits im vorangegangenen Abschnitt 4 besprochenen stationären Wärmeleitung ist die analytische Lösung nur bei geometrisch einfachen Körpern für bestimmte Spezialfälle der Anfangs- und Randbedingungen möglich. Technische Prozesse, z.b. aus dem Bereich der Werkstofftechnik und Baustoffverfahrenstechnik wie die periodische Aufheizung und Abkühlung von Mauerwerk in hargenöfen, die Wärmespeicherung in Regeneratoren, die Abkühlung mit hohen Abkühlgeschwindigkeiten z.b. zum Härten, müssen in der Regel durch numerische Simulationen beschrieben werden. Mit Hilfe der analytischen Lösungen für einfache Spezialfälle lassen sich jedoch mitunter bereits wichtige Hinweise auch für komplexe technische Prozesse finden. In dem hier gesteckten Rahmen wird daher nur auf einige Spezialfälle mit vereinfachten Bedingungen eingegangen. Stand: Okt. 006

2 Technische Universität Dresden Seite Ebene Platte (Analytische Lösung von Gröber 1 ) Für die ebene Platte mit einer endlichen Dicke bei konstanten Stoffwerten und ohne innere Wärmeuellen vereinfacht sich die Differentialgleichung des Temperaturfeldes (Gleichung (3-18)): ϑ ϑ = a t x (5-1) zu der Fourier-Differentialgleichung für den eindimensionalen Fall. Die bei der ebenen Platte vorausgesetzten großen Ausdehnung in y- und z-richtung führen zu: ϑ ϑ = = 0 y z Abb Zeitliche Änderung (t 0 bis t ) des Temperaturverlaufes in einer Platte bei Abkühlung. (5-) Für dieses Beispiel ist in Abb. 5-1 für verschiedene Zeiten t der Temperaturverlauf in x- Richtung in der Platte dargestellt. Die Platte hat zum Zeitpunkt t = 0 die konstante Anfangstemperatur ϑ 0 und wird nun konvektiv abgekühlt, wobei die Umgebungstemperatur unveränderlich ϑ = const u. ist. Zur Verallgemeinerung des Problems werden nun dimensionslose Größen eingeführt. Da es sich um ein symmetrisches Problem handelt, genügt die Betrachtung nur einer Seite, ausgehend von x = 0. Es werden x X = (dimensionsloser Abstand zur Plattenmitte) (5-3) s und 1 Gröber, H.; Erk, S.: Die Grundgesetze der Wärmeübertragung.. Auflage, Springer-Verlag Berlin, Stand: Okt. 006

3 Technische Universität Dresden Seite 3 Θ ϑ ϑ ϑ ϑ u = (dimensionslose Temperatur) (5-4) o u gesetzt. Damit ergibt sich aus Gleichung (5-1) Θ a t s = Θ X (5-5). Fasst man den Ausdruck ( ) a t s als neue dimensionslose Gruppe zusammen mit a t im Körper geleitete Wärme Fo = = (5-6) ( s ) im Körper gespeicherte Enthalpie so ergibt sich aus Gleichung (5-5): Θ Θ = Fo X (5-7) die Differentialgleichung für das Temperaturfeld der ebenen Platte in dimensionsloser Schreibweise bzw. die dimensionslose Formulierung der Fourier-Differentialgleichung für den eindimensionalen Fall. Die Differentialgleichung lässt sich z.b. mit dem Produktansatz ( X ) g Θ = f (5-8) g, wobei f nur vom dimensionslosen Ort X und g nur von der dimensionslosen Zeit Fo abhängen. lösen. Die Lösung ergibt sich aus dem Produkt der beiden Funktionen f ( X ) und Stand: Okt. 006

4 Technische Universität Dresden Seite 4 Differenziert man diese Lösung (Gleichung (5-8)) zweimal nach dx und einmal nach d und setzt die Differenziale in die Differentialgleichung (Gleichung 5-7) ein, so erhält man f ( X ) ( X ) dg d f = g (5-9) dfo dx oder für f ( X ) g 0 1 g 1 d f ( X ) dg = (5-10) dfo f ( X ) dx bzw. g' g ' ( X ) ( X ) f' = (5-11). f Die linke Seite der Gleichung hängt nur von Fo, die rechte Seite nur von X ab. Damit beide Seiten gleich sein können, müssen sie konstant sein: g' g = f' ' f ( X ) ( X ) = β (5-1). Damit hat man aus der partiellen Differentialgleichung zwei gewöhnliche Differentialgleichungen erhalten: g' g = β (5-13) f' ' ( X ) f ( X ) = β (5-14). Als Lösungen für diese gewöhnlichen Differentialgleichungen ergeben sich: Stand: Okt. 006

5 Technische Universität Dresden Seite 5 g ( Fo) = exp β (5-15) und ( ± X ) f = exp β (5-16). Mit dem Produktansatz erhält man somit als Partikularlösung (ohne stationären Fall mit β = 0 ): ± β X β Θ = e e (5-17). β kann nun theoretisch positiv und negativ reell sowie imaginär sein. Damit ergeben sich acht verschiedene Typen von Partikulärlösungen, von denen durch physikalische Einschränkungen einige entfallen: β kann nicht positiv reell sein, da bei konstanter Umgebungstemperatur, die Temperatur im Körper nicht unendlich steigen kann mit zunehmender Zeit, sondern sich an die Umgebungstemperatur ϑ u angleichen muss. β kann auch nicht imaginär sein, da dann gemäß der Eulerschen Beziehung e ± i β = cos ( β ) ± i sin( β ) (5-18) die Temperatur an einem Punkt P ( x,y,z) im Körper zeitlich ( Fo ) schwingen würde. Folglich kann β nur negativ reell sein. Mit β = (5-19) ergibt sich aus der Gleichung (5-17) ± i X Θ = e e (5-0). Stand: Okt. 006

6 Technische Universität Dresden Seite 6 Wendet man auf diese Gleichung erneut die Euler-Beziehung an, so ergibt sich [ cos( X ) ± i sin( X )] e Θ = (5-1). Die Lösung der linearen Differentialgleichung ist damit eine komplexe Funktion, woraus weiter folgt, das sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil sowie Linearkombinationen aus beiden Teilen Lösungen der Differentialgleichung sind. Daher ergibt sich als allgemeine Lösung: c s ( X ) e + sin( X ) e Θ = cos (5-). s s Bei symmetrischen Randbedingungen entfällt der Term mit ( X ) Lösung: sin s und es verbleibt als ( X,Fo) = cos( X ) e Θ (5-3). Diese Gleichungen sind damit Lösung der Differentialgleichung (5-7). Die, s sowie und s sind nun entsprechend der Anfangs- und Randbedingungen zu bestimmen. Für das Beispiel in Abb. 5-1 kann aufgrund der Symmetrie die Lösung in Gleichung (5-3) gewählt werden. Somit muss aus der Randbedingung zunächst nur bestimmt werden. Die Randbedingungen an der Oberfläche der Platte ist so gegeben, dass ein Wärmestrom & konv konvektiv abgeführt wird und dieser aus dem Inneren an die Oberfläche gelangen muss: & ϑ = λ = α ( ϑw ϑu ) (5-4). x w Der Index W bezieht sich auf die Wandoberfläche. In dimensionsloser Schreibweise erhält man daraus: Stand: Okt. 006

7 Technische Universität Dresden Seite 7 Θ X w α = λ ( s ) Θ w (5-5). Die dimensionslose Gruppe ( s ) α λ stellt die Biot-Kennzahl dar: ( s ) α Bi = = λ konvektiv übertragene Wärme im Körper geleitete Wärme (5-6). Aus Gleichung (5-3) ergibt sich durch Differentiation für die Stelle X = 1 (äußerer Rand) Θ X w = sin ( ) e = Bi Θ = Bi cos( ) e w (5-7) bzw. Abb. 5-. Graphische Bestimmung der Eigenwerte. cot = Bi (5-8). ( ), die aufgrund der Randbedingung ( ) Die jeweiligen Bi die Gleichung (5-8) erfüllen, heißen Eigenwerte und müssen iterativ oder aber aus Tabellen oder grafisch bestimmt werden. Aus der Abb. 5- erkennt man, dass es theoretisch unendlich viele solcher Eigenwerte gibt, die eine bestimmte Randbedingung befriedigen. Mit den Eigenwerten, i nimmt die Lösung folgende Form an: i = 1,i [,i cos(,i X ) e ] Θ = (5-9). Die noch unbekannten Konstanten, i müssen nun so bestimmt werden, dass die Anfangsbedingungen erfüllt werden. Das erfolgt mit Hilfe der Fourier-Analyse. Stand: Okt. 006

8 Technische Universität Dresden Seite 8 Zum Zeitpunkt t = 0 ist ϑ = ϑ0, d.h. ( 0, X ) 1 Θ = Θ (5-30). 0 =,i Für den Ausdruck e ergibt sich mit t = 0 bzw. Fo = 0 demnach e 0 = 1. Um die einzelnen, i zu berechnen multipliziert man Gleichung (5-9) dann mit cos(, K X ) und integriert sie zwischen den Grenzen 1 bis +1. (,k X ) dx =,i cos(,i X ) cos(,k X ) dx Θ 0 cos (5-31). i = 1 Mit Θ 0 = 1 ergibt sich für das linke Integral,k 1 cos(,k X ) dx = sin(,k X ) = sin, k (5-3).,k Die Summen- und Integralzeichen können vertauscht werden: i = 1,i cos (,i X ) cos(,k X ) dx = sin, k.k (5-33) cos ( X ) cos( X ) = 0,i, k für i k (5-34) Für i = k wird hingegen: x1 + x x1 x sin x1 + sin x = cos sin Stand: Okt. 006

9 Technische Universität Dresden Seite 9 cos ( X ) sin( ),k cos (,k X ) dx = dx = 1 +,k,k (5-35). Mit Gleichung (5-3) erhält man,k sin 1 + sin,k,k sin,k = (5-36) (,k ),k + sin,k cos, k,k = und schließlich die allgemeine Lösung für die instationäre Wärmeleitung einer ebenen Platte mit konvektivem Wärmeaustauscher mit der Umgebung bei konstanter Anfangstemperatur ϑ 0 und konstanter Umgebungstemperatur ϑ n : ( ) cos( X ) sin,k = Θ exp,k,k (5-37). + sin cos k,k,k, k Die Eigenwerte, k hängen wie gezeigt nur von der Biot-Zahl ab (Gleichung 5-8). Damit ist das Temperaturfeld in dimensionsloser Schreibweise eine Funktion der Größen Bi, Fo und X: ( Bi,Fo, X ) Θ = Θ (5-38). In der Plattenmitte (Scheitelpunkt) ist X M = 0 und M Θ M ( Bi,Fo) Θ = (5-39). An der Wandoberfläche gilt analog dazu X W = 1 W W ( Bi,Fo 1, ) Θ ( Bi,Fo) Θ = Θ = (5-40). W Für die mittlere Temperatur Θ ergibt sich: Stand: Okt. 006

10 Technische Universität Dresden Seite 10 ( Bi,Fo) Θ = Θ (5-41) nach Integration über die Plattendicke. (5-4). Stand: Okt. 006