Ferienkurs Quantenmechanik I WKB-Näherung und Störungstheorie

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1 Ferienkurs Quantenmechanik I WKB-Näherung und Störungstheorie Sebastian Wild Freitag, 6.. Inhaltsverzeichnis Die WKB-Näherung. Grundlegendes Tunnelwahrscheinlichkeit Energien gebundener Zustände Beispiel: Der halbierte harmonische Oszillator Stationäre Störungstheorie 5. Ansatz und Resultate Beispiel

2 Die WKB-Näherung Die WKB-Näherung ist eine Näherungsmethode für die eindimensionale Schrödingergleichung. Sinnvolle Anwendungsgebiete sind die Berechnung von: Tunnelwahrscheinlichkeiten Energien gebundener Zustände. Grundlegendes Befindet sich ein Teilchen mit Energie E in einem konstanten Potential V < E, so gilt für die Eigenfunktion des Hamiltonoperators: x = A exp±ikx me V k = Für ein allgemeines Potential V x geht das natürlich nicht mehr so einfach. Falls aber die Längenskala, auf der V x sich nennenswert ändert, groß gegenüber der Wellenlänge λ = π k ist, bleibt die Wellenfunktion näherungsweise von der Form A exp±ikx, jetzt allerdings mit ortsabhängiger Amplitude Ax und me V x Wellenzahl kx =. Analoge Überlegungen gelten für den klassisch verbotenen Bereich V > E mit exponentiell abfallenden Lösungen A exp±κx Wichtige Formeln Verwendet man obige Idee und setzt sie in die SG ein, ergibt sich für die Wellenfunktion im klassischen Bereich E > V x: W KB x c + expiφx + c exp iφx kx kx x x me V φx = kx dx x = dx x x Die untere Integrationsgrenze x ist dabei zunächst beliebig. Im klassisch verbotenen Bereich E < V x ergeben sich exponentiell abfallende Lösungen: c x W KB x exp± κx dx κx x mv x E κx = Welches Vorzeichen hier zu wählen ist, hängt davon ab, ob der verbotene Bereich links oder rechts des klassisch erlaubten Bereichs liegt. Hinweis: Die Vorraussetzungen der WKB-Näherung treffen in der Nähe klassischer Umkehrpunkte, d.h. bei E V x nicht mehr zu. Um die Lösungen der klassisch erlaubten und klassisch verboten Regionen zusammenzukleben, ist einiger Aufwand nötig Stichwort Airy-Funktion, siehe z.b. Griffiths S. 35ff.

3 . Tunnelwahrscheinlichkeit Als erste Anwendung betrachten wir eine Teilchen mit Energie E, welches wie in der Abbildung gezeigt von links auf eine Potentialbarriere treffe. a und b seien die klassischen Umkehrpunkte, d.h. E = V a = V b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit T, das Teilchen rechts von der Barriere wiederzufinden Tunneln? Es sei x = Ae ikx + Be ikx x < a x = De ikx x > b Es gilt dann T = D A. Gemäß obiger Formel für die WKB-Wellenfunktion im klassisch verbotenen Bereich nimmt die Amplitude im Bereich der Potentialbarierre um folgenden Faktor ab: D A = exp b a κxdx Beachte dabei, dass κa = κb gilt. Für die Tunnelwahrscheinlichkeit ergibt sich somit b b mv x E T exp κxdx = exp dx a.3 Energien gebundener Zustände Die WKB-Näherung kann zur approximativen Berechnung der erlaubten Energieniveaus eines beliebigen Potentials verwendet werden. Es werden drei allgemeine Fälle unterschieden: Zwei harte Wände Betrachte ein Potential der Form { beliebige Funktion, falls < x < a V x = sonst a 3

4 Wir nehmen an, dass im Bereich von bis a stets E > V x gilt. Die Anwendung der WKB-Näherung ohne Herleitung liefert folgende Quantisierungsbedingung: a können damit die erlaubten Ener- Im Zusammenhang mit kx = gieniveaus E n berechnet werden. Eine harte Wand kxdx = nπ me V x mit n N Betrachte nun ein Potential der Form { beliebige Funktion falls x > V x = falls x < In diesem Fall lautet die Quantisierungsbedingung für die Energien E: x kxdx = n π mit n N wobei x der klassische Umkehrpunkt ist, der durch die Bedingung E = V x definiert ist. Keine Wand Wir betrachten nun ein beliebiges Potential V x und untersuchen wieder einen gebundenen Zustand mit der Energie E. Die Bedingung lautet x kxdx = n π mit n N x wobei hier x und x die beiden klassischen Umkehrpunkte sind E = V x = V x.. Beispiel: Der halbierte harmonische Oszillator Gegeben sei ein halbierter harmonischer Oszillator : { V x = mω x falls x > falls x < Gesucht: Die erlaubten Energieniveaus der gebundenen Zustände. Wir sind offenbar im Fall Eine harte Wand. Für den klassischen Umkehrpunkt x gilt E = mω x x = E ω m Somit folgt: kx = me mω x = n x π = kxdx = mω m mω x x = mω x x x x x dx = y= x x

5 = mω x y dy = ω E π Daraus folgt für die erlaubten Energien: E = n 3 ω =, 7,,... ω Bemerkung: In diesem speziellen Fall liefert die WKB-Näherung sogar die exakten Energien! Dies lässt sich folgendermaßen verstehen: Bei der Lösung des normalen harmonischen Oszillators ergeben sich die Energiewerte E = n + ω. Dabei gehören die Lösungen zu ungeradem n zu Wellenfunktionen mit = siehe entsprechende Vorlesung. Diese Wellenfunktionen lösen genau unseren halbierten Oszillator, da sie die entsprechende Randbedingung bei x = erfüllen. Mit n = k, k N ergibt sich E = k + ω = k ω Stationäre Störungstheorie Insbesondere bei Anwendungen in der Experimentalphysik können zu einem gegebenen Hamiltonoperator H nur sehr selten die exakten Wellenfunktionen und Energieniveaus berechnet werden. Eine der wichtigsten Methoden, um zumindest näherungsweise sinnvolle Ergebnisse zu bekommen, stellt die stationäre Störungstheorie dar. Stationär bezieht sich dabei darauf, dass diese Methode nur für nicht-zeitabhängige Potentiale anwendbar ist.. Ansatz und Resultate Wir gehen von einem Hamiltonoperator H aus, für den die Eigenfunktionen und Energieniveaus bekannt seien: H n = En n mit n m = δnm Der neue Hamiltonoperator H gehe nun aus H durch eine kleine Störung hervor: H = H + λh mit λ Der Paramter λ wird dabei nur zur Bequemlichkeit bei der folgenden Rechnung eingeführt, man kann auch λ = setzen und H H im Sinne von Matrixelementen fordern. Später werden wir tatsächlich λ = setzen und den Term λh = H als die Störung interpretieren. Die unbekannten Wellenfunktionen des gesamten Hamiltonoperators seien H n = E n mit n m = δ nm Wenn die Störung λh klein ist, kann man annehmen, dass sich die Wellenfunktion n und die Energien E n nur wenig von den Eigenfunktionen bzw. Energieniveaus von H unterscheiden, so dass ein Ansatz in Potenzen von λ sinnvoll ist: 5

6 n = n + λ n + λ n +... E n = E n + λe n + λ E n +... Dabei sind n und n die noch unbekannten Korrekturen erster bzw. zweiter Ordnung. Dies setzen wir nun in die Eigenwertgleichung von H = H + λh ein und ordnen nach Potenzen von λ: H +λh [ n+λ n+λ n+...] = E n+λe n+λ E n+...[ n+λ n+λ n+...] = H n + λh n + H n + λ H n + H n +... = = E n n + λe n n + E n n + λ E n n + E n n + E n n +... Der Vergleich der Terme mit Ordnung ergibt keine neuen Informationen H n = E n n. Ein Vergleich der Terme mit Ordnung λ ergibt: H n + H n = E n n + E n n Gleichung I Der Vergleich der Terme mit λ ergibt H n + H n = E n n + E n n + E n n Gleichung II Korrekturen erster Ordnung Ab sofort setzen wir wie oben erwähnt λ =. Multipliziert man Gleichung I von links mit n und integriert, ergibt sich: n H n + n H n = E n + E n Da H ein hermitescher Operator ist, gilt ferner: n H n = H n n = E n Somit fällt dieser Term in der obigen Gleichung heraus und es verbleibt wegen n = : En = n H n Dies ist das wichtigste Resultat der Störungstheorie! In Worten besagt es: Die Energiekorrektur erster Ordnung ist der Erwartungswert der Störung H bzgl. der ungestörten Wellenfunktionen. Um die Korrektur der Wellenfunktion erster Ordnung zu erhalten stellt man zunächst Gleichung I etwas um: H E n n = H E n n Die rechte Seite ist bekannt, um eine Lösung dieser Differentialgleichung für n zu erhalten entwickelt man diese Wellenfunktion nach den ungestörten Wellenfunktionen: n = c m n m m n 6

7 Dabei wurde einerseits verwendet, dass die ungestörten Wellenfunktionen einen vollständigen Satz bilden und andererseits angenommen, dass n keine Komponente mit n enthält genaue Begründung siehe Griffiths S.53. Setzt man dies in obige Gleichung ein, erhält man: hier ohne Herleitung m H n n = m n E n E m m Diese Formel ist nur gülitg, falls das Energiespektrum von H nicht entartet ist, d.h. falls für m n auch E n E m gilt. Es ist anzumerken, dass die Energiekorrektur erster Ordnung meistens ein erstaunlich exaktes Resultat liefert, während die Wellenfunktionen oft stark von den exakten Lösungen abweichen. Korrekturen zweiter Ordnung Wir geben hier noch das Ergebnis für die Energiekorrektur zweiter Ordnung an, die aus Gleichung II durch Multiplikation mit n und Integration folgt. m H n E n = m n E n E m Auch diese Formel ist nur für nicht-entartete Energiespektren gültig. Die Energiekorrektur zweiter Ordnung zum Grundzustand ist immer negativ Übungsaufgabe.. Beispiel Als einfaches Beispiel betrachten wir den unendlich hohen Potentialtopf der Breite a und eine Störung der folgenden Form: H = αδx a/ mit α > Die Wellenfunktionen des ungestörten Systems lauten siehe erste Vorlesung: nπ nx = a sin a x Wir berechnen die Energiekorrektur erster Ordnung: En = n H n = a α a = α a sin nπ sin nπ a x δ x a dx = α nπ a a sin = a = n α a 7

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