von Martin Kroesen im Rahmen des Seminars zur Quantenmechanik bei Prof. Dr. Wolschin im Wintersemester 2013/14

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1 Die WKB-Näherung von Martin Kroesen im Rahmen des Seminars zur Quantenmechanik ei Prof. Dr. Wolschin im Wintersemester 203/4 Kurzzusammenfassung: Im Rahmen dieses Seminarvortrags wird die WKB-Näherung zunächst hergeleitet. Im Folgenden werden die physikalischen Anwendungsgrenzen estimmt und die Näherung wird auf den harmonischen Oszillator sowie den Tunneleffekt angewandt. Schließlich erfolgt noch ein kurzer Auslick auf moderne Anwendungen. Einleitung: Die semiklassische WKB-Näherung von den Physikern Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers und Leon Brillouin aus dem Jahr 926 liefert eine Näherungslösung für die eindimensionale, stationäre Schrödingergleichung. Die Methode esteht in der Einführung einer Entwicklung der zugrundeliegenden Differentialgleichung nach Potenzen von und der Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung. Sie ist somit allgemeiner als die klassische Näherung und kann auch in klassisch verotenen Bereichen (E > V (x)) angewendet werden. Natürlich unterliegt sie trotzdem gewissen Einschränkungen, so darf sich zum Beispiel das Potential nur langsam mit dem Ort ändern. Kleiner Einschu zur Geschichte: Die WKB-Näherung wurde im Jahr 926 zeitgleich unahängig von den Physikern Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers und Leon Brillouin formuliert das ist das gleiche Jahr in dem Erwin Schrödinger seine erühmte Gleichung formuliert hat. Natürlich haen sich auch vorher schon Mathematiker mit Differentialgleichungen zweiter Ordnung von der Form der Schrödinger-Gleichung eschäftigt. So auch der englische Mathematiker Harold Jeffreys, der ereits 924 ein allgemeines Verfahren zu Näherung von Diffentialgleichungen zweiter Ordnung entwickelt hatte. Aus diesem Grund wird die WKB-Näherung in Großritannien JWKB-Näherung genannt.

2 Herleitung der WKB-Formel: Zugrunde liegt die stationäre Schrödingergleichung: (Wir etrachten erst den den drei dimensionalen Fall und gehen dann so ald wie nötig in eine Dimension üer.) [ ] 2m + V ( r) Ψ = EΨ () Zur Lösung verwenden wir den Ansatz: Ψ = exp[ i σ( r)] (2) Hier ist σ eine komplexe Funktion. Dies edeutet fast keine Beschränkung der Allgemeinheit außer an den Nullstellen von Ψ. Wollen wir nun die Schrödingergleichung lösen, so enötigen wir die zweite Aleitung: Ψ = i exp[ i σ( r)] σ exp[ i σ( r)]( σ)2 (3) Einsetzen in die Schrödingergleichung ergit: so dass direkt 2 2m ( i σ ( σ)2 ) + V = E (4) folgt. Schreit man jetzt σ( r) als Potenzreihe von ħ: iħ 2 σ + ( σ) 2 = 2m(E V (r)) (5) σ( r) = σ 0 ( r) + ħ i σ ( r) + ( ħ i )2 σ 2 ( r) + ( ħ i )3 σ 3 ( r)... (6) und setzt man dies oen ein und ordnet nach Potenzen von ħ : {( σ 0 ) 2 2m(E V (r))} + ħ i { 2 σ σ 0 σ }+ ( ħ i )2 { 2 σ + 2 σ 0 σ 2 + ( σ ) 2 } +... = 0 (7) Setzt man die einzelnen Terme hinter ħ einzeln Null und richt ei ( ħ i i )2 a, so folgt: ( σ 0 ) 2 2m(E V (r)) = 0 (8) 2

3 und 2 σ σ 0 σ = 0 (9) Da der eindimensionale Fall für das grundlegende Verständnis mehr leistet, wenden wir uns jetzt diesem Fall zu: Die oigen Gleichungen verwandeln sich jetzt in: sowie Löst man (0) nach x σ 0 auf, folgt: ( x σ 0 ) 2 2m(E V (x)) = 0 (0) 2 xσ 0 + 2( x σ 0 )( x σ ) = 0 () x σ 0 = ± 2m(E V (x)) = ± (2) Das ist natürlich genau der Impuls. Auch () kann man jetzt auflösen: ± x = 2 xσ 0 = x x σ 0 = 2( x σ 0 )( x σ ) = (±)2( x σ ) (3) Es folgt unmittelar: x σ = x 2 = 2 x ln() (4) und damit haen wir σ 0 und σ estimmt: ˆ x ˆ x σ 0 = ± p(x )dx = ± 2m(E V (x ))dx (5) σ = ln() + c (6) 2 Einsetzen von (5) und (6) in den ursprünglichen Ansatz (2) liefert: Ψ(x) = exp( i ħ (σ 0 + ħ i σ )) = C exp(± i ħ ˆ x 2m(E V (x ))dx ) (7) Daraus ergit sich der allgemeine WKB-Ansatz: Ψ(x) = C exp( i ħ ˆ x 2m(E V (x ))dx )+ C 2 exp( i ħ ˆ x 2m(E V (x ))dx ) (8) Unterteilt man noch in klassisch erlaute E V Geiete und klassisch verotene Geiete E < V, so ergeen sich folgende Ansätze: 3

4 Für klassisch erlaute Geiete : Ψ(x) = C exp( i ħ ˆ x 2m(E V (x ))dx ) + C 2 exp( i ˆ x 2m(E V (x ))dx ) ħ (9) Für klassisch verotene Geiete: Ψ(x) = C exp( ħ ˆ x 2m( E V (x ) )dx ) + C 2 exp( ˆ x 2m( E V (x ) )dx ) ħ (20) Damit liegen die grundlegenden Gleichungen der WKB-Methode vor. Grenzen der WKB-Näherung: Ausgehend von unserem WKB-Ansatz prüfen wir, wann dieser Ansatz die Schrödingergleichung exakt löst. Daraus ergeen sich Aussagen üer die Anwendungsrenzen der WKB-Methode. Wir etrachten Ψ(x) = C exp(± i ħ ˆ x 2m(E V (x ))dx ) (2) und erechnen die zweite Aleitung: Ψ (x) = ( p (x) 2 ± i ħ )Ψ(x)) = [ 3 4 (p p )2 2 3 ( p 4 p )2 2 p 2 p p p2 ħ 2 p p ħ 2 ] Ψ(x) = p2 ħ 2 Ψ(x) (22) Jetzt soll Ψ(x) möglichst gut die Schrödingergleichung lösen: ħ2 2m Ψ (x) = (E V (x))ψ (23) 4

5 also zum Vergleich mit (22) Man sieht : Ψ (x) = 2m(E V (x)) Ψ = p2 ħ 2 ħ Ψ (24) 2 3 ( p 4 p )2 2 p 2 ħ 2 p p 0 (25) liefert das gewünschte Ergenis. Das edeutet, falls ħ 2 p 2 = 0 und ħ 2 p p 4 p 3 die Schrödingergleichung exakt gelöst. Betrachtet man also = 0 wird ħ p p = ħ d 2 dx p = d ħ dx p = d λ(x) << (26) dx 2π also genau die Aleitung der de Broglie Wellenlänge nach dem Ort x. Schaut man sich das genauer an, so sieht man: d ħ dx = d ħ ħmv (x) = << (27) dx 2m(E V (x)) (2m(E V (x))) 3/2 Das edeutet: V darf sich im Verhältnis zum Impuls nur schwach ändern. Dann ändert sich auch die de Broglie Wellenlänge nur wenig mit x. Doch wo macht die WKB-Näherung wirklich Proleme? Bei = 0! Da geht Ψ. Das passiert an den klassischen Wendepunkten, wenn E = V (x). Da angenommen wird,dass V (x) sich nur mit x ändert, können wir wie folgt vorgehen: Man löse die Schrödingergleichung in einer Umgeung der Wendepunkte exakt, indem man V (x) linear approximiert und als Lösung die Airy-Funktion findet. Geht man nur weit genug vom Wendepunkt weg, so geht die Airy-Funktion in Ψ = 4 x cos( 2c 3 x3/2 π) zw. Ψ = 4 4 x sin( 2c 3 x3/2 π ) üer. Hier flickt man dann 4 die Airyfunktion und die WKB Näherung aneinander. Verindungsgleichungen: Nehmen wir also als Beispiel den harmonischen Oszillator, oder ein ähnliches Potential. a sei der rechte und der linke Wendepunkt. Damit Ψ = C exp( i ˆ x 2m(E V (x ))dx )+ ħ C 2 exp( i ħ ˆ x 2m(E V (x ))dx ) (28) 5

6 regulär leit, also in die Airyfunktion üergeht, muss einerseits Ψ I = C cos( ħ ˆ x gelten und andererseits die rechte Seite geflickt werden: Ψ II = C cos( ħ C cos( ħ p( x)d x π 4 ) (29) p( x)d x + ħ x ˆ x Verlangt man, dass Ψ I = Ψ II, so ist C = ±C und Also ist ħ ˆ x p( x)d x π 4 = ħ ħ p( x)d x + ħ p( x)d x + π 4 ) = ˆ x p( x)d x + π 4 ) (30) p( x)d x + π + Nπ (3) 4 p( x)d x = (N + )π (32) 2 Schliesslich folgt durch Umschreien die Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsedingung: p( x)d x = (N + 2πħ 2 ) (33) Anwendung : Harmonischer Oszillator: Ausgehend vom Impuls = 2m(E 2 mω2 x 2 ) /2 = 2mE( m 2 E ω2 x 2 ) /2 (34) lassen sich die Umkehrpunkte estimmen (Nullstellen von ) 2E x,2 = ± (35) mω 2 Wir enötigen nun p( x)d x : ˆ x2 m p( x)d x = 2 2mE( x 2 E ω2 x 2 ) /2 dx = 2 2mE ˆ ( θ 2 ) /2 2E mω 2 dθ = 2E ω π 6 (36)

7 Nun gilt die Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsedingung: p( x)d x = 2E 2πħ 2πħ ω π = (N + 2 ) (37) Also gilt E = ħω(n + 2 ) (38) Dies ist genau das Ergenis aus der quantenmechanischen Rechnung. Anwendung: Der Tunneleffekt: Tunneleffekt Mit der WKB-Näherung wurde der Grundstein für die quantenmechanische Erklärung von Tunnelprozessen gelegt. Mit dieser Methode konnten 928 George Gamow ei seinem Aufenthalt ei Max Born in Göttingen, Ronald W. Gurney und Edward U. Condon den Alphazerfall und Ralph Howard Fowler und Lothar Wolfgang Nordheim die Feldemission von Elektronen erklären. Man etrachte hierfür die Streuung an einer rechteckigen Potentialarriere. Links der Barriere gilt: Ψ(x) = Ae ikx + Be ikx (39) mit der einfallenden Amplitude A und der reflektierten Amplitude B. (k 2mE/ ) Rechts der Barriere gilt nun: Ψ(x) = F e ikx (40) 7

8 F ist die transmittierte Amplitude. Für den Transmissionskoeffizienten gilt: T = F 2 A 2 (4) Im Tunnelereich wird nun die WKB-Näherung für den klassich verotenen Bereich angewendet: Ψ(x) = C exp( ħ ˆ x 2m( E V (x ) )dx )+ D exp( ħ ˆ x 2m( E V (x ) )dx ) Ist die Barriere sehr hoch oder sehr reit, so muss der Koeffizient des exponentiell zunehmenden Terms D klein sein. Die Verhältnisse der Amplituden für die einfallende und die transmittierte Welle werden im Wesentlichen durch die gesamte Aschwächung des Exponentialterms üer dem nichtklassischen Bereich estimmt: Folglich gilt T = e 2γ mit F A exp( ħ γ ħ γ wird als Tunnelfaktor ezeichnet. Beispiel Alphazerfall: 0 0 (42) dx (43) dx (44) Alphazerfall 8

9 Mit dem Potential V (x) = γ = ˆ r2 r 2Ze 2 4πɛ 0 r ergit sich für den Tunnelfaktor: 2Ze 2m( 2 2mE E)dr = 4πɛ 0 r 2mE ˆ r2 r r2 r dr = [r 2 ( π 2 sin r r 2 ) r (r 2 r )] (45) Verlangt man weiter r << r 2 : ergit sich mit sin(x) x für klein x γ = 2mE [ π 2 r 2 2 r r 2 ] = K r 2 + K 2 r2 = k Z E + k 2 (46) Für den Transmissionskoeffizienten ergit sich schließlich: T (E) Z = exp( 2(K r 2 + K 2 r2 )) = exp( 2(k E + k 2 )) (47) Zeitahängiger Fall: Schlisslich soll noch der zeitahängige Fall der Schrödingergleichung etrachtet werden. Dazu gilt: 2m Ψ + V ( x, t)ψ = i tψ (48) mit dem gewohnten Ansatz: Ψ = A( x, t) exp( i S( x, t)) (49) Auch hier setzen wir (49) in (48) ein, ordnen nach und trennen den Term vor 0 a: 2m ( S)2 + V ( x, t) + t S = 0 (50) Wir identifizieren S mit S = p und schreien: H( x, p, t) + t S = 0 (5) 9

10 Da aer folgt: ds dt = i S x i x i t + S t = i ˆ S = S x i ẋ i H = L (52) Ldt (53) Dies entspricht der klassischen Wirkung. Auslick: Die WKB-Methode ist ald Hundert Jahre alt, und man könnte meinen, sie sei von gestern. Ihre Anwendungen sind keineswegs auf die Schrödingergleichung eschränkt. Beispielsweise wird sie in der Akustik genutzt. Aer auch in der Astronomie findet sie Anwendungen is in die neueste Zeit. Immer, wenn die Differentialgleichung die Form der Schrödingergleichung hat und die Randedingungen erfüllar sind, ildet sie ein geeignetes Instrument für physikalische Untersuchungen. Quellen: David J. Griffiths, Quantenmechanik: Eine Einführung, S Pearson Studium Physik, 202 Alert Messiah, Quantenmechanik Band, S , De Gruyter, 99 Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 5/2: Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen, S , Springer, 202 Links: pdf