Ferienkurs Quantenmechanik 2009

Transkript

1 Ferienkurs Quantenmechanik 9 Quantenmechanik mit Näherungsmethoden, oder: Wie rechne ich etwas aus? Vorlesungskript für den 6. August 9 Max Knötig Inhaltsverzeichnis Einführung Zeitunabhängige, nicht-entartete Störungstheorie. erste Ordnung zweite Ordnung Zusammenfassung Variationsprinzip 6 3. Theorie Beispiel Zusammenfassung WKB-Näherung 9. Zwei vertikale Wände Eine vertikale Wand Keine vertikale Wand Zusammenfassung

2 Einführung Leider lassen sich in der Quantenmechanik nur die wenigsten Probleme analytisch lösen. Wir benötigen dennoch Methoden, ein breites Spektrum an Fragen ordentlich zu lösen. Die drei wichtigsten Methoden sind hierbei die Störungstheorie, (Ritzsche-) Variationsverfahren und die quasiklassische Näherung (WKB). Zeitunabhängige, nicht-entartete Störungstheorie. erste Ordnung Die Zeitunabhängige Störungstheorie ist maßgeschneidert auf Probleme, in denen der Hamiltonoperator in zwei Teile zerfällt H = H + λh () V(x) a x Abbildung : Unendlicher Potentialtopf mit kleiner Störung Der zweite Term λh beschreibt eine kleine Störung, im Vergleich zu H. Der erste Term soll den ungestörten Zustand beschreiben, dessen Lösung bereits bekannt ist H Ψ n = E nψ n () Oder um gleich die Dirac-Notation zu verwenden H n = E n n (3) Wir versuchen nun uns vom ungestörten Zustand n zum korrekten Zustand vorzuarbeiten. Wir suchen also die richtigen Energieeigenwerte und Zustände von H H n = E n n () Wir nehmen an, dass sich diese Energieeigenwerte und Zustände in eine Potenzreihe von λ entwickeln lassen E n = E N + λe n + λ E n +... (5) n = n + λ n + λ n +... (6)

3 Und setzten nun (), (5), (6) zusammen in () ein aus () H n = E n n ( H + λh ) ( n + λ n + λ n ) = ( E n + λe n + λ E n) ( n + λ n + λ n ) Diese Gleichung sortieren wir nun nach Potenzen von λ. Da wir nur bis zur zweiten Potenz entwickeln wollen lassen wir gleich höhere Potenzen, welche durch Multiplikation von λs entstehen weg. H n + λ ( H n + H n ) + λ ( H n + H n ) = = E n n + λ ( E n n + E n n ) + λ ( E n n + E n n + E n n ) (7) Durch Koeffizientenvergleich bekomen wir nun drei Formeln aus unseren Ansatz H n = E n n (8) H n + H n = E n n + E n n (9) H n + H n = E n n + E n n + E n n () Die erste Gleichung (8) ist gleich (3), was zu erwarten war. Die zweite Gleichung (9) können wir noch einen kleinen Schritt weiter malträtieren. Ihr könnt euch selber in der Übung davon überzeugen, dass die Korrekturen zum Grundzustand n, n,...(siehe Gl.(6)) Orthogonal zueinander sind n i n j = δ ij () Wir multiplizieren also (9) mit n und nutzen () aus n H n + n H n = n E n n + n E n n E n n n + n H n = E n n n + E n n n n H n = E n () Die letzte Gleichung () ist die zentrale Gleichung der Störungstheorie. Für die Praxis ist sie die möglicherweise wichtigste Gleichung der Quantenmechanik. Sie besagt, dass die Korrektur zur Energie in erster Ordnung Störungstheorie nichts anderes ist, als der Erwartungswert der Störung H zum ungestörten Zustand n. Damit können wir gleich ein Beipiel rechnen! 3

4 Die ungestörte Wellenfunktion eines unendlichen eindimensionalen Potentialtopfes ist ( nπ ) Ψ n (x) = a sin a x Die Störung sei konstant. H = V für < x < a. H = V für < x < a Was ist die Energie eines Zustandes in erster Ordnng Störungstheorie? zu ) E n = n H n = = a a n x V x n dx = V n x x H n dx a Ψ n Ψ ndx = V (3) Daraus folgt für die Gesamtenergie E n = E n + E n = E n + V () Dies macht Sinn, alle Energieniveaus werden einfach nur um das Potential V verschoben. Es ist sogar die exakte Lösung. Alle Korrekturen zu höheren Ordnungen verschwinden. zu ) a/ En = n H n = n x x H n dx = a/ = V n x V x n dx = V a Ψ n Ψ ndx = V a/ Ψ n Ψ ndx (5) Daraus folgt für die Gesamtenergie E n = E n + E n = E n + V (6) In diesem Fall ist die Energie eines jeden Niveaus um V verschoben, was nicht das exakte Resultat ist. Dennoch ist dieses Resultat in erster Näherung plausibel.

5 Die Formel () berechnet die Korrektur zur Energie in erster Ordnung. Wenn wir die Korrektur zum Grundzustand n haben wollen müssen wir Gleichung (9) noch umschreiben H n + H n = En n + En n ( H En ) n = ( En H ) n (7) Die rechte Seite sieht schonmal gut aus. Sie beinhaltet den bereits den urspünglichen Zustand n. Die linke Seite müssen wir noch nach den n entwickeln, um die n in Abhängigkeit von den n zu bekommen. n = m n m m (8) Wir setzten dies nun in (7) ein. n m ( H m En m ) = ( En H ) n m n m ( Em En) m = ( En H ) n (9) m Die linke Seite wird für m = n gleich und die rechte Seite wird zur (). Wir berechnen nun deshalb den anderen Fall, für m n. Wir teilen durch die Differenz der Energie ( Em En) und multiplizieren mit einem weiteren ungestörten Zustand l von links n m ( Em En) l m = l ( En H ) n }{{} m n δ lm n l = l H n (E l E n) Dies sind sie Koeffizienten in der Entwicklung von n in Abhängigkeit von den n. Wir setzten also in (8) ein. n = m n () m H n (E n E m) m () Die Gleichungen () und () sind die komplette Störungstheorie in erster Ordnung. Der Nenner in der letzten Gleichung ist vorerst harmlos, da wir nur über m n summieren. Wenn aber zwei Zustände n und m entartet sind, also E n = E m kriegen wir ein kleines Problem. Hierfür benötigen wir einen anderen Satz von Grundzuständen n. Man verwendet hierfür die entartete Störungstheorie. zweite Ordnung Berechnen wir noch schnell die Formel für die Korrektur der Energie in zweiter Ordnung, also E n. Dazu multiplizieren wir Formel () von links mit n n H n + n H n = n E n n + n E n n + n E n n () Der erste Term auf jeder Seite kürzt sich heraus, außerden benutzten wir auf der rechten Seite n n =. Die Gesamte Gleichung kollabiert zu Dies ergibt am Ende mit () E n = n H n (3) E n = n H m n m H n (En Em) m = m H n n H m (E m n n Em) () 5

6 .3 Zusammenfassung Störungstheorie gestörte Energie E n = E n + E n + E n gestörter Zustand n = n + n Energiekorrektur. Ord. E n = n H n Energiekorrektur. Ord. Zustandskorrektur. Ord. E n = m n n = m n m H n n H m (E n E m) m H n (E n E m) m Grundsätzlich lässt sich die Störungstheorie am besten mit Computern in beliebiger Ordnung berechnen. Die Energie ist grundätzlich erstaunlich gut approximiert, wohingegen der gestörte Zustand eher ungenau ist. Für die Grundzustandsenergie ist die gestörte Energie in erster Ordnung eine obere Schranke Und der zweite Energiekorrekturterm E negativ. E E + E (5) 3 Variationsprinzip 3. Theorie Kommen wir zum Variationsprinzip. Nehmen wir an, wir möchten die Grundzustandsenergie eines Systems berechnen, haben aber keine Ahnung, wie wir die Schrödingergleichung für unsren Hamiltonoperator H lösen. Ein nützliches Theorem hilft uns irgendeine Funktion Ψ (am besten eine gut geratene, sie muss aber nicht normiert sein) zu verwenden. Sehen wir uns einmal den Erwartungswert des Hamiltonoperators bezüglich Ψ an Setzten wir einfach mal eine Eins ein Ψ H Ψ (6) Ψ H Ψ = n = n Ψ n n H Ψ E n Ψ n n Ψ (7) Die Grundzustandsenergie ist kleiner als jeder andere Energieeigenwert E n E (8) 6

7 Damit kann man (7) weiterhin abschätzen E n Ψ n n Ψ E Ψ n n Ψ n n = E Ψ Ψ (9) Ψ H Ψ E Ψ Ψ (3) Diese letzte Gleichung bedeutet also, dass der normierte Erwartungswert eines komplizierten Hamiltonoperators zu einer völlig beliebigen Funktion Ψ größer ist, als die Grundzustandsenergie! Wir müssen einfach nur die Funktion Ψ optimieren. In der Praxis nimmt man einen Satz von anpassbaren Parametern und minimiert folglich E var E E var = Ψ H Ψ Ψ Ψ (3) 7

8 3. Beispiel Finde eine obere Schranke für die Grunzustandsenergie eines Delta-Topf-Potentials d H = αδ (x) (3) m dx Mithilfe einer gausschen Testfunktion mit einem freien Parameter b Ψ = e bx (33) ) Wir berechnen ψ H ψ ψ ψ. Dazu berechnen wir zunächst ψ ψ ) Berechnen wir ψ H ψ ψ ψ = = dx ψ x x ψ = dxe bx = π b dxψ (x) ψ (x) (3) ψ H ψ = ψ T + V ψ = ψ T ψ + ψ V ψ (35) ψ T ψ =... = m = b m dxψ (x) d ψ (x) = dx m dxe bx e bx b m d dγ dxe bx dxe bx x }{{} = b π m b + b d π m dγ γ = bπ m b m ( = bπ m ) bπ = bπ m R dxe γx = d dγ π γ π (b) 3 d ( bx e bx ) dx (36) ψ V ψ =... = dxe bx αδ (x) = α (37) Für unsere Testfunktion erreichen wir also folgende Energieschranke E var = ψ H ψ ψ ψ = b b m α π (38) 8

9 3) Wir müssen die Energie bezüglich b minimieren d db E var = b m α b min = α π πb m! = b min = α m π (39) ) Setze diesen optimierten Wert in die (38) ein Evar min = α m α m π α m π π = α m π α m π E min var Wir vergleichen natürlich noch mit dem exakten Ergebnis = α m π () E = α m () Die Variationsenergie it in der Tat größer als die Grundzustandsenergie Evar min gute Abschätzung. 3.3 Zusammenfassung Variationsverfahren E und liefert eine E E var = Ψ H Ψ Ψ Ψ () WKB-Näherung. Zwei vertikale Wände Die WKB-Näherung ist eine Methode, Näherungen der Schrödingergleichung in einer Dimension zu bauen und kann deshalb auf die radiale Schrödingergleichung erweitert werden. Sie beschreibt Energieniveaus und Tunnelwahrscheinlichkeiten gut. Ich möchte hier nur auf die Ergebnisse eingehen und die wichtigsten Formeln zusammenfassen, die Näherung der Schrödingergleichung diesbezüglich könnt ihr am besten im Griffiths nachlesen. Tatsächlich ist die folgende Wellenfunktion eine gute (WKB-)Näherung ψ = p (x) (C + e iφ(x) + C e iφ(x)) (3) p (x) (C sin (Φ (x)) + C cos (Φ (x))) () wobei Φ die Phase der Welle ist Φ = p (x) dx (5) p (x) = m (E V (x)) (6) 9

10 Für einen Potentialtopf mit einem nicht unbedingt flachem Boden, können wir hier bereits Randbedingungen einsetzten und ein interessantes Ergebnis ableiten { bel. F unktion < x < a V (x) = (7) sonst. Wenn wir uns die Phase näher ansehen folgt ψ () = ψ (a) =! (8) C C = p(x) = (9) C sin (Φ (a)) Φ (a) = p(x) a p (x) dx = nπ (5) Dies ist unser erstes interessantes Ergebnis! Die obige Wellenfkt. lässt sich in den klassisch verbotenen Bereich erweitern. Der Impuls, wie er oben definert ist wird imaginär und die Wellenfunktion zu einer exponentiell abfallenden Funktion. Um die Wellenfunktion an einem Wendepunkt zu beschreiben, brauchen wir noch einen Trick, da wir dort auf ein Problem stoßen. An denn einem klassischen Wendepunkt ist die Energie eines Teilchens gleich seiner potentiellen Energie. Für den Impuls heißt das p (x) = m (E V (x)) = (5) ψ (x) p (x) (5) ψ (x) W endepunkt = ± (53) Das Problem lässt sich beheben, indem wir an den Wendepunkten die WKB-Näherung an die sog. Airy- Funktion angleichen (warum, siehe Griffiths, sog. Langer-Verfahren) ψ Airy = a Ai (α x) + b Bi (α x) (5) α = [ ] m V 3 (x wend ) (55) Definieren wir noch einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Wendepunkt x = linksseitiger W endepunkt, E < V x < x (56) x = rechtsseitiger W endepunkt, E < V x > x (57) so führt die ausführliche und hier viel zu lange Rechnung auf D exp [ x p(x) x p (x ) dx ] für x < x ψ links (x) = ] D x (58) sin p(x) x p (x ) dx + π für x > x [ für einen linksseitigen Wendepunkt x und D sin [ x p(x) x p ] (x ) dx + π ψ rechts (x) = [ ] D exp x p(x) x p (x ) dx für x < x für x > x (59) für einen rechtsseitigen Wendepunkt x. Bemerke hier, dass diese Wellenfunktionen nur in einem Potential gültig sind, dessen Verlauf jenseits der Wendepunkte immer über der Energie des Teilchens liegt. Die Gleichungen (58) und (59) können also nicht direkt für Tunnelphänomene herangezogen werden. Mit diesen Funktionen können wir aber zwei weitere Klassen von Potentialen bearbeiten

11 . Eine vertikale Wand Potentiale mit einer vertikalen Wand und einem rechtsseitigen Wendepunkt x können durch das folgende Potential beschrieben werden { bel. F unktion, für x > V (x) = (6) für x < Wir haben also eine Randbedingung bei x = vorgegeben, aus der unsere Quantisierungsbedingung folgt. Wir setzten in (58) ein ψ ()! = D = sin p (x) x x p (x ) dx + π p (x ) dx + π = nπ (6) Oder umgeschrieben x p (x ) dx = ( n ) π (6).3 Keine vertikale Wand Für Potentiale ohne vertikale Wand mit rechts- und linksseitigen Wendepunkt x und x benötigen wir (58) und (59). Innerhalb des Potentials müssen sie offensichtlich übereinstimmen D sin p (x) x x x ψ (x) links = ψ (x) rechts p (x ) dx π D = sin p (x) + p (x ) dx + x π = x x x x p (x ) dx π + nπ p (x ) dx π x x p (x ) dx = ( n ) π (63) Die letzte Quantisierungsbedingung ist auch als Bohr-Sommerfeld-Quantisierung bekannt.

12 . Zusammenfassung WKB-Verfahren Zwei senkrechte Wände : Eine senkrechte Wand : Keine senkrechte Wand : a x x p (x) dx = n π ; Wand bei und a (6) p (x ) dx = x p (x ) dx = ( n ) π ; Wendepunkt bei x (65) ( n ) π ; Wendepunkt bei x und x (66)