Theoretische Physik II Quantenmechanik

Transkript

1 Michael Czopnik Bielefeld, 11. Juli 014 Fakultät für Physik, Universität Bielefeld Theoretische Physik II Quantenmechanik Sommersemester 014 Lösung zur Probeklausur Aufgabe 1: (a Geben Sie die zeitabhängige und die stationäre Schrödingergleichung an. (b Wie lauten die Eigenwertgleichungen für Drehimpulse? Welche Werte können die auftretenden Quantenzahlen im Allgemeinen annehmen? (c Beweisen Sie, dass die Eigenwerte eines hermiteschen Operators reell sind. (d Beweisen Sie, dass die Eigenvektoren eines hermiteschen Operators, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, orthogonal sind. (e Zur Zeit t 0 befinde sich das quantenmechanische System im Energieeigenzustand φ n. In welchem Zustand befindet es sich zur Zeit t > t 0? (10 Punkte (a m xψ(x, t + V ψ(x, t = Eψ(x, t m xψ(x, t + V ψ(x, t = i t ψ(x, t stationär zeitabhängig (b ˆL lm = l(l + 1 lm l = n, n N 0 ˆL z lm = m lm m = l, l + 1,..., l (c ψ Â ψ = a ψ ψ = ψ Â ψ = ψ Â ψ = a a R

2 Sommersemester 014 Quantenmechanik Lösung zur Probeklausur (d Seien a, b Eigenvektoren, a, b Eigenwerte und  = Â. Betrachten wir: Wir können auch schreiben b  a = a b a (1 Subtrahiert man nun ( von (1 ergibt sich b  a = a  b = b a b = b b a ( 0 = (a b b a Da a und b verschieden sind gilt (a b 0 b a = 0 (e φ n (T = Û(t, 0 φ n = e i Ent φ n Aufgabe : Wir betrachten die folgende Wellenfunktion: ψ(x, y, z = N(x + y + z exp [ ] (x + y + z α Mit N einer Normierungskonstante, und α ein geeigneter Parameter. Wir berechnen nun die Ergebnisse der Drehimpulsmessung an diesen System. (a Schreiben Sie die Wellenfunktion günstigerweise erst einmal um in Kugelkoordinaten {r, θ, φ}, und bringen Sie diese auf die folgende Form: ψ(r, θ, φ = R(rT (θ, φ (b Entwickeln Sie T (θ, φ dann in Kugelfunktionen Yl m (θ, φ, und normieren Sie am besten das resultierende Ergebnis. (c Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Messergebnisse: 1. L = und L z = 0.. L = und L z =.. L = und L z =. (18 Punkte

3 Sommersemester 014 Quantenmechanik Lösung zur Probeklausur (a Umschreiben in Kugelkoordinaten: (b Kugelfunktionen x = r sin(θ cos(φ y = r sin(θ cos(φ z = r cos(θ ψ(r, θ, φ = Nr (sin(θ(cos(φ + sin(φ + cos(θ e r /a = R(rT (θ, φ Y1 1 (θ, φ = 8π sin(θeiφ Y1 0 (θ, φ = 4π cos(θ Y1 1 (θ, φ = 8π sin(θe iφ T (θ, φ = l,m a lm Yl m (θ, φ = sin(θcos(φ + sin(θs sin(φ + cos(θ wobei a lm = (Yl m T (θ, φ sin(θdθ dφ besser: ( 1 T (θ, φ = sin(θ (eiφ + e iφ + 1 i (eiφ e iφ Normierung von T (θ, φ: + 4π = 1 sin(θ ( e iφ (1 i + e iφ (1 + i + = 1 8π [ Y 1 1 (1 i + Y1 1 (1 + i] + π 1 = [(1 + iy1 (1 iy1 1 + Y1 0 ] (Y m l Y 1 0 4π Y 1 0 Yl m sin(θ dθdφ = δ ll δ mm = l m lm Somit gilt für T (θ, φ βt (θ, φ: 1 = β T (θ, φt (θ, φ sin(θ dθdφ = β π ( + + = 4πβ β = 1 4π 4π Y 1 0

4 Sommersemester 014 Quantenmechanik Lösung zur Probeklausur (c Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: (1 L = l(l + 1 =, L z = 0 l = 1, m = 0 P = 10 T = 1 = 1 6 ( L =, L z = l = 1, m = 1 P = 11 T = 1 + i = 1 6 ( L =, L z = l = 1, m = 1 P = 1 1 T = 1 + i = 1 6 Aufgabe : Wir betrachten einen eindimensionalen harmonischen Oszillator mit dem Hamiltonoperator Ĥ = ˆp µ + µωˆx mit den Energiezuständen n zu den Energieeigenwerten E n = ω(n + 1/ (n {0, 1,,...}. Zur Zeit t = 0 sei der Zustand durch gegeben. (a Geben Sie ψ(t für t 0 an. ψ(t = 0 = 1 0 i 1 1 (b Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird jeweils die Energie E 0 bzw. E 1 bzw. E gemessen? (c Berechnen Sie die Erwartungswerte von Ort x und Impuls p bezüglich ψ(t. (d Berechnen Sie die Ortsraumdichte ψ(x, t. Dabei ist ψ(x, t = x ψ(t. (15 Punkte 4

5 Sommersemester 014 Quantenmechanik Lösung zur Probeklausur (a ψ(t = 1 ( exp ie 0 = 1 exp t ( exp 0 i ( iω t 0 i exp t ie 1 ( iω t 1 1 (b P 0 (t = 0 ψ(t = 1 P 1 (t = 1 ψ(t = 1 P n (t = n ψ(t = 0 für n. (c Diese Aufgabe löst man am besten mit Hilfe der Auf- und Absteigeoperatoren. Es gilt: mω â = ˆx + i ˆp ( m ω und â n = n n 1, â n = n + 1 n + 1 (4 Aus ( folgt ˆx = mω (â + â, mω ˆp = i (â â Zusammen mit der Orthonormiertheit der n ergibt sich mit Hilfe von (4 x (t = ψ(t ˆxψ(t = mω sin(ωt, m ω p (t = ψ(t ˆpψ(t = cos(ωt Letzteres hätte man auch aus dem Ehrenfestschen Theorem herleiten können: p (t = m d x (t dt (d Die Wellenfunktion ist durch Ψ(x, t = x ψ(t = 1 exp ( iωt ψ 0 (x i ( exp iωt ψ 1 (x (5 5

6 Sommersemester 014 Quantenmechanik Lösung zur Probeklausur gegeben. Es gilt die n-te Energieeigenfunktion ψ n (x = x n = 1 a π n n! H n ( x a exp ( x Dabei ist H n das n-te Hermitesche Polynom und a = /(mω. Setzen wir die Hermitepolynome H 0 (x = 1 und H 1 (x = x ein, ergibt (5 für die Ortsaufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilung Ψ(x, t = 1 ( 1 π a + x a sin(ωt x exp ( x a a Aufgabe 4: Welchen Wert muss L haben, damit die Grundzustandsenergie eines Teilchens (m im Potential κ für x < a mit κ, a > 0 m V (x = 0 für a < x < L sonst a. den Wert Null hat? (10 Punkte Betrachte den Aussenbereich x > L: ψ(x = 0 ψ(±l = 0 Bereich I: a < x < L: Schrödingergleichung liefert: xψ I = 0 ψ I ψ I (x = Ax + B = A(x L Bereich II: a < x < a: Hierauf die Schrödingergleichung angewendet ergibt: ( x κ ψ II = 0 ψ II ψ II (x = C cos(κx + D sin(κx Hierbei ist D = 0, da der Grundzustand keine Knoten hat. Aus den Anschlussbedingungen erhalten wir ψ I (a! = ψ II (a ψ I(a! = ψ II(a A(a L = C cos(κa A = κc sin(κa Teilen der beiden letzten Gleichungen liefert: L = a + cos(κa κ sin(κa 6

7 Sommersemester 014 Quantenmechanik Lösung zur Probeklausur Aufgabe 5*: Der Hamiltonoperator des verschobenen linearen harmonischen Oszillators besitzt die Form Ĥ = ˆp m + mω ˆx γ m ω ˆx mit γ einer dimensionslosen reellen Konstante. (a Wie lauten die exakten Eigenwerte E n (γ und die exakten Eigenvektoren u n (γ von Ĥ? Für welche Werte des Parameters γ ist die Konvergenz einer störungstheoretischen Entwicklung für E n (γ zu erwarten, wenn man W := γ m ω ˆx als Störung ansieht? (b Führen Sie die Berechnung der Eigenwerte E n (γ von Ĥ = H 0 + W, H 0 = ˆp m + mω ˆx, W = γ mω ˆx in erster und zweiter Ordnung Störungstheorie durch. (15 Punkte (a Der Hamiltonoperator des Systems kann zu einem vollständigen Quadrat in ˆx ergänzt werden: Ĥ = ˆp m + mω (ˆx x 0 mω x 0, x 0 := γ m ω. mω Lösung des Eigenwertproblems: ( E n = n + 1 ω mω x 0, n N 0 ; Eigenfunktionen in der Ortsdarstellung ] α u n (x x n = [ n n! π exp α (x x 0 H n (α(x x 0, mit α := (mω/. 7

8 Sommersemester 014 Quantenmechanik Lösung zur Probeklausur Abbildung 1: Potentialverlauf und Energieeigenwerte: (a für den ungestörten Oszillator mit dem Potential V (x = mω x /; (b für den gestörten (verschobenen Oszillator mit dem Potential U(x, γ = mω x / γ m ω x (für γ < 0 gezeichnet. Ĥ(γ u n (γ = E n (γ u n (γ ; E n (γ = ω (n + 1 γ, ] α u n (x x n = [ n n! π exp α (x x 0 H n (α(x x 0, mω γ α :=, x 0 := α Da die exakte Lösung für E n (γ ein Polynom zweiten Grades im Störungsparameter γ ist, hat man zu erwarten, dass sich in zweiter Ordnung Störungstheorie die exakten Eigenwerte E n (γ ergeben, und alle Korrekturen höherer Ordnung null sind, sodass die störungstheoretische Entwicklung für E n (γ für beliebig großes γ, d.h. für beliebig starke Störung, konvergiert. (b Nach Vorlesung gilt: E n (γ = En 0 + ɛ (1 n (γ + ɛ ( n (γ +..., u n (γ = n + χ (1 n (γ + χ ( n (γ +...; n (γ = n W (γ n, χ (1 n (γ = n n ɛ (1 n W (γ n E 0 n E 0 n n, Mit ɛ ( n (γ = n W (γ χ (1 n (γ,... W (γ = γ m ω ˆx = γ ω(â + â, E 0 n E 0 n = (n n ω 8

9 Sommersemester 014 Quantenmechanik Lösung zur Probeklausur folgt und n W n = γ ω[ n + 1δ n,n+1 + nδ n,n 1] ɛ (1 n = 0, χ (1 n = γ[ n + 1 n + 1 n n 1 ], ɛ ( n = γ ω n (â + â χ (1 n = γ ω[ n + 1 n â n + 1 n n â n 1 ] = γ ω[(n + 1 n] = γ ω Damit haben wir tatsächlich in zweiter Ordnung Störungstheorie die exakten Eigenwerte von Ĥ = H 0 + W erhalten: E n ( (γ = En 0 + ɛ (1 n (γ + ɛ ( n (γ = (n + 1 γ ω = E n (γ. 9