Quantentheorie I. (Kompendium) Herausgegeben von. Jeffrey Kelling Felix Lemke Stefan Majewsky

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1 Quantentheorie I (Kompenium) Herausgegeben von Jeffrey Kelling Felix Lemke Stefan Majewsky Stan: 23. Oktober

2 Inhaltsverzeichnis Grunlagen er Quantentheorie 3 Kommutatorrelationen 3 Statistische Aussagen 3 Darstellung in en Eigenräumen er Funamentaloperatoren 3 Funamentalbeispiel: Einimensionaler harmonischer Oszillator 3 Bewegungsgleichungen er Quantenmechanik 4 Grunlegene Zeitabhängigkeiten 4 Schröingerbil 4 Heisenbergbil 4 Diracbil (Wechselwirkungsbil) 4 Wahrscheinlichkeitsamplitue 4 Störungstheorie 5 Dirac-Theorie 5 Schröinger-Theorie 5 Ritzsches Variationsverfahren 5 Symmetrien un Erhaltungsgrößen, Drehimpulse 6 Transformationen 6 Darstellung von Transformationen 6 Grunlagen es Drehimpulses 6 Wichtige Beispiele für Drehimpulse 6

3 AGeS-Kompenium Grunlagen er Quantentheorie Seite 3 Kommutatorrelationen Orts- un Impulsoperator: [ˆx i, ˆx j = [ˆp i, ˆp j = 0 un [ˆp i, ˆx j = /i δ ij 1 beliebiger Operator F(ˆ x, ˆ p): [F, ˆx k = /i F/ ˆp k un [F, ˆp k = /i F/ ˆx k Bahnrehimpulsoperator ˆ l = ˆ x ˆ p: [ˆli, ˆx k = /i ε ijk ˆx j un [ˆl i, ˆp j = /i ε ijk ˆp k Bahnrehimpulsoperator ˆ l = ˆ x ˆ p: [ˆli, ˆl j = /i ε ijk ˆl k un [ˆ l 2, ˆl i = 0 Statistische Aussagen Sei F er (hermitesche) Operator zur Observablen F. Erwartungswert: F = F = ϕ Fϕ = Sp(P ϕ F) = Sp(FP ϕ ) mit ϕ ϕ = 1 Eigenarstellung es Erwartungswertes: F = λ λ ϕ(λ) 2 λ Durch Messung er Observablen F geht as System in einen Eigenzustan von F über. Kommutierene Observablen haben ieselben Eigenvektoren, können also gleichzeitig interferenzfrei gemessen weren. Messwahrscheinlichkeit es Eigenwertes λ: w λ = λ ϕ 2 = Sp(P ϕ P Uλ ) Streuung: Str F = F 2 F 2 = [F F 2 verschwinet, wenn ϕ Eigenvektor von F ist Unschärfe: F = Str F Unschärferelation: F G 1 2 [F, G Energie-Zeit-Unschärfe: E t F /2 mit t F = F/ t F (Zeit, in er sich ie Observable F um ihre Unschärfe änert) Darstellung in en Eigenräumen er Funamentaloperatoren Orts-Translationsoperator: T (ξ) = e i ξ ˆp mit T (ξ) u x = u x+ξ Ortsarstellung er Funamentaloperatoren: ˆxϕ(x) = x ϕ(x) un ˆpϕ(x) = /i ϕ (x) Impuls-Translationsoperator: S(ξ) = e i ξ ˆx mit S(ξ) u p = u p+ξ Impulsarstellung er Funamentaloperatoren: ˆxϕ(p) = /i ϕ (p) un ˆpϕ(p) = p ϕ(p) Zusammenhang beier Darstellungen: ϕ(p) = (2π ) 1/2 e i px ϕ(x) x Zusammenhang beier Darstellungen: ϕ(x) = (2π ) 1/2 e i px ϕ(p) p Funamentalbeispiel: Einimensionaler harmonischer Oszillator Hamilton-Operator: H = 1 2m ˆp2 + mω 2 ˆx2 = ω (ˆb + ˆb ) ω (ˆn ) (Eigenvektoren von H un ˆn stimmen überein) Hebungs- un Senkungsoperator: ˆb = 1 2 [ mω ˆx + i mω ˆp un ˆb [ mω + = 1 2 ˆx i mω ˆp Kommutatoren er neuen Operatoren: [ˆb, ˆb + = 1 un [ˆb q, ˆn = q ˆb q un [(ˆb + ) q, ˆn = q (ˆb + ) q Zusammenhang zwischen en Eigenvektoren: ˆb u = n u n 1 un ˆb + u = n + 1 u n+1 Generierung aller Eigenvektoren aus em Grunzustan: u = (n!) 1/2 (ˆb + ) n u 0 mit n = 0, 1, 2, 3,... Energieeigenwerte: E n = ( n + 1 2) ω Die Verwenung ieses Kompeniums für Klausuren un anere Prüfungen ist nicht gestattet.

4 AGeS-Kompenium Bewegungsgleichungen er Quantenmechanik Seite 4 Grunlegene Zeitabhängigkeiten zeitliche Änerung einer Observable: F = i [H, F + t F Axiom: P ϕ = 0, also t P ϕ = i [H, P ϕ unitäre Transformation: F B(ˆx(t), ˆp(t), t ) = A(t, t 0 ) F (ˆx(t 0 ), ˆp(t 0 ), t ) A 1 (t, t 0 ) Eigenschaften er Transformation: A(t 0, t 0 ) = 1 un A(t, t 0 ) = A(t, t 1 ) A(t 1, t 0 ) un A + (t, t 0 ) = A(t 0, t) Ehrenfest-Theorem: t F (t) = F (t) (Erhaltungsgrößen: F = 0) Schröingerbil efinierene Transformation: A S (t, t 0 ) = 1 Observable: t F S (t) = ( t F) S Projektionsoperator: t PS ϕ (t) = ( t P ϕ Zustansvektor: t ϕs (t) = i HS (t) ϕ S (t) ) S = i [HS, P S ϕ formale Lösung er Bewegungsgleichung: ϕ S (t) = U S (t, t 0 ) ϕ S (t 0 ) Hierbei ist U S unitär, t U S (t, t 0 ) = i HS (t) U S (t, t 0 ) un U S (t 0, t 0 ) = 1. Die Zeitabhängigkeit liegt ausschließlich beim Zustansvektor, ie Observablen bleiben zeitunabhängig. Heisenbergbil efinierene Transformation: t AH (t, t 0 ) = i HH (t) A H (t, t 0 ) Observable: t F H = i [H H (t), F H (t) + ( t F) H (t), also F H (t) = F(ˆx H (t), ˆp H (t), t) Projektionsoperator: t PH ϕ = 0 Zustansvektor: ϕ H (t) = ϕ H (t 0 ) Die Zeitabhängigkeit liegt ausschließlich bei en Observablen, er Zustansvektor ist zeitunabhängig. Diracbil (Wechselwirkungsbil) Betrachte einen Hamilton-Operator H(t) = H 0 (t) + H 1 (t) (mit einem Störungsanteil H 1 (t)). efinierene Transformation: t AW (t, t 0 ) = i HW 0 (t) A W (t, t 0 ) Observable: t F W = i [H 0 W (t), F W (t) + ( t F) W (t) Projektionsoperator: t PW ϕ = i [H 1 W (t), P W ϕ (t) Zustansvektor: t ϕw (t) = i HW 1 (t) ϕ W (t) (formale Lösung wie beim Schröingerbil möglich) formale Lösung er Bewegungsgleichung: ϕ W (t) = U(t, t 0 ) ϕ W (t 0 ) Hierbei ist U W unitär, t U W (t, t 0 ) = i HW 1 (t) U W (t, t 0 ) un U W (t 0, t 0 ) = 1. Die Dynamik er Observablen wir urch H 0, ie es Zustansvektors urch H 1 bestimmt. Wahrscheinlichkeitsamplitue Betrachte einen nicht explizit zeitabhängigen Operator F mit en Eigenwerten λ un Eigenvektoren u λ. Die Wahrscheinlichkeitsamplitue ist als Skalarproukt (.h. als ϕ(λ, t) = λ ϕ(t) ) bilunabhängig. Zeitabhängige Schröingergleichung: t ϕ(λ, t) = i Hϕ(λ, t) Die Verwenung ieses Kompeniums für Klausuren un anere Prüfungen ist nicht gestattet.

5 AGeS-Kompenium Störungstheorie Seite 5 Dirac-Theorie Der Hamiltonoperator enthalte einen Störungsterm: H(t) = H 0 +H 1 (t) Es sollen im Wechselwirkungsbil Aussagen über ie Veränerung es Zustansvektors getroffen weren. iterative Lösung er Bew.gleichung: U W (n) (t, t 0) = 1 i t t 0 H W 1 (t 1 ) U W (n 1) (t 1, t 0 ) t 1 mit U W (0) (t, t 0) = 1 Zum Zeitpunkt t 0 befine sich as System im Zustan ϕ W (t 0 ) = u a (Eigenzustan von H 0 ). Übergangswahrscheinlichkeit urch Störung: w a b (t) = b ϕ W (t) 2 Lösung in erster Ornung: w a b (t) = 1 t 2 t 0 exp [ i (E0 b E0 a) (t 1 t 0 ) 2 b H 1 (t 1 )u a t 1 Sei er Störungsterm nicht explizit zeitabhängig. Für hinreichen große Zeiten t gilt asymptotisch: Golene Regel er Quantentheorie: w a b (t) = b H 1u a 2 2πt δ(ω ba ) mit ω ba = (Eb 0 E0 a)/ Schröinger-Theorie 2 Der Hamiltonoperator enthalte eine kleine Störung H = H 0 + λ H 1 Wie veränern sich ie Energieeigenwerte u (0) urch ie Störung? Ansatz: E n = E (0) n + λ E (1) n + λ 2 E (2) n +... un u = u (0) + λ u (1) + λ 2 u (2) +... Das Eigenwertproblem liefert nach Koeffizientenvergleich für Potenzen von λ as Gleichungssystem: H 0 u (0) = E n (0) u (0) H 0 u (1) + H 1 u (0) = E n (0) u (1) + E n (1) u (0) H 0 u (2) + H 1 u (1) = E n (0) u (2) + E n (1) u (1) + E n (2) u (0) Die Orthonormierungsbeingung liefert auf ähnliche Weise: iterative Lösung er Energieeigenwerte: E (m) n. δ mn = (0) m u (0) 0 = (0) m u (1) + (1) m u (0) 0 = (0) m u (2) + (1) m u (1) + (2) m u (0). = n (m 1) H 1 u n (m 1) Energieeigenvektor in erster Ornung: u = u (0) + m n u(0) m (0) m H1u(0) E n (0) E m (0) 0 n H1u0 m 2 Energiekorrekturen in erster un zweiter Ornung: E n (1) = (0) n H 1 u (0) un E n (2) = m n Bei entarteten Energien muss iese Summe alle Eigenvektoren zu aneren Eigenwerten enthalten. Ritzsches Variationsverfahren E n (0) E m (0) Gesucht ist ie Energie E 0 es Grunzustanes u 0 für ein System mit em Hamiltonoperator H. Rayleigh-Ritz-Prinzip: E 0 H = ϕ Hϕ ϕ ϕ für alle Zustansvektoren ϕ Ritzsches Variationsverfahren: Man wählt ϕ als Funktion eines Parameters un sucht as Minimum er Energie E(µ) = ϕ(µ) Hϕ(µ) ϕ(µ) ϕ(µ). Die Verwenung ieses Kompeniums für Klausuren un anere Prüfungen ist nicht gestattet.

6 AGeS-Kompenium Symmetrien un Erhaltungsgrößen, Drehimpulse Seite 6 Transformationen Transformation: g (Struktur a priori unbekannt) mit zugehörigem unitären Operator D(g) Anwenung auf eine Observable: F = D(g) F D 1 (g) Die Menge er Transformationen bilet mit er Verkettung (bzw. Operatormultiplikation) eine Gruppe. Transformationsgruppe es Hamilton-Operators: D(g) mit [D(g), H = 0 Nicht explizit zeitabhängige D(g) aus er Transformationsgruppe von H sin Erhaltungsgrößen. Struktur einer kontinuierlichen Symmetrieoperation: D(g) = e i g F mit Generator F = F + Die D(g) sin genau ann in er Transformationsgruppe von H, wenn F eine Erhaltungsgröße ist. Darstellung von Transformationen Betrachte eine Transformation D(g) aus er Transformationsgruppe es Hamilton-Operators H. Ist u λ ein Eigenvektor von H, ann auch D(g) u λ (zum selben Eigenwert). Beschreibung er Transformation im Falle er Entartung: D(g) u µ λ = t λ µ µ =1 Dµ λ (g) uµ Die entstehene Matrix D λ (g) heißt reuzibel, wenn sie in Untermatrizen in Blockgestalt zerfällt. Die minimalen Untermatrizen entsprechenen irreuziblen Unterarstellungen. Grunlagen es Drehimpulses allgemeiner Drehimpulsoperator: J generiert eine kontinuierliche Transformationsgruppe (Kommutatoren zwischen en J i un mit J 2 in Analogie zum Bahnrehimpuls) Transformationen: R e (α) = e i α ( e J ) (Drehung um Achse entlang Einheitsvektor e) Eigenwertproblem: J 2 u m j = j(j + 1) 2 u m j un J z u m j = m um j mit m = j,..., j Hebungs- un Senkungsoperatoren: J ± = J x ± i J y mit J 2 = J J + + J z + J 2 z Kommutatorrelationen: [J +, J = 2 J z un [J z, J n ± = ±n J n ± Zusammenhang zwischen en Eigenvektoren: J ± u m j = j(j + 1) m(m ± 1) u m±1 j mit J ± u ±j j = 0 ) j±m Erzeugung aus Extremalzustänen: u m j = (j m)! u j j (2j)! (j±m)! Beschreibung es unitären Raumes benötigt man noch minestens eine weitere kommutierene Observable Wichtige Beispiele für Drehimpulse Beim Bahnrehimpuls ˆ l ist j (bzw. l) ganzzahlig. Ortsarstellung er entsprechenen Operatoren: [ ˆl± = e ±iϕ ± ϑ + i cot ϑ ϕ ˆlz = i ϕ [ ˆ l 2 = 2 1 sin ϑ ϑ sin ϑ ϑ + 1 sin 2 ϑ 2 ψ( r) = 1 ϕ 2 r 2 [r ψ( r) 1 r 2 r 2 ˆ l 2 ψ( r) 2 Der Spin ˆ s ist nicht im gewöhnlichen Orts-Impuls-Raum beschreibbar. Es sin j s = 1/2 un m = ±1/2. Im neuen zweiimensionalen Spin-Raum gibt es ie folgenen Spinoperatoren (in Matrixarstellung): m ˆ s 2 u m = m ŝ + u m = 0 0 m ŝ x u m = 2 ( 1 0 ) i m ŝ z u m = m ŝ u m = 1 0 m ŝ y u m = 2 i 0 Pauli-Spinmatrizen: Matrixarstellungen er Operatoren ˆσ i = 2 ŝ i mit i = x, y, z Rechenregeln: ŝ 2 ± = 0 un ŝ 2 i = 1 3 ˆ s 2 = ( J± Rechenregeln: ŝ x ŝ y = ŝ y ŝ x = 2i ŝ z un ŝ x ŝ y ŝ z = 3 8i 1 λ Die Verwenung ieses Kompeniums für Klausuren un anere Prüfungen ist nicht gestattet.